1、第二十四章第二十四章 圆圆24.1 圆的有关性质圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径学 习 目 标学 习 目 标学习目标学习目标1理解圆的对称性理解圆的对称性；掌握；掌握垂径定理垂径定理2利用垂直于弦的直径的性质利用垂直于弦的直径的性质解决解决相关实际问题相关实际问题证明证明：如图，设：如图，设CD是是O的任意一条直径，的任意一条直径，A为为O上点上点C，D以外的任意以外的任意一点过一点过点点A作作ABCD，交，交O于点于点B，垂足为，垂足为M，连接连接OA，OB在在OAB中，中，OA=OB，OAB是是等腰三角形等腰三角形又又ABCD，AM=BM即即CD是是AB的的垂直平分线
2、这就是说，对于垂直平分线这就是说，对于圆圆上上任意任意一点一点A，在圆上都，在圆上都有关于有关于直线直线CD的对称点的对称点B，因此，因此，O关于关于直线直线CD对称即对称即圆是轴对称图形圆是轴对称图形，任何，任何一条一条直直径径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴证明证明圆的对称性圆的对称性合作探究，形成知识合作探究，形成知识按下按下面的步骤做一做：面的步骤做一做：第一第一步，在一张纸上任意画一个步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二第二步，得到一条折痕步，得到一条折痕CD；第三第三步步，
3、在，在O上任取一点上任取一点A，过点，过点A作折痕作折痕CD的垂线，垂的垂线，垂足为点足为点M；第四第四步步，将纸打开，设，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点的延长线与圆交于另一点B在在上述的操作过程中，你发现了哪些上述的操作过程中，你发现了哪些相等相等的线段和相等的弧的线段和相等的弧?为什么？为什么？合作探究，形成知识合作探究，形成知识即即直径直径CD平分弦平分弦AB，并且平分弧，并且平分弧AB及弧及弧ACB这个这个定理也叫垂径定理。定理也叫垂径定理。垂直垂直于弦的直径平分弦，于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧平分平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，弦（不是直径
4、）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧合作探究，形成知识合作探究，形成知识AE=BE，=，=AD(BD(AC(BC(垂垂径定理的证明：径定理的证明：合作探究，形成知识合作探究，形成知识证明证明：如图所示，连接：如图所示，连接OA，OB，得到，得到等腰等腰OAB，即即OA=OB因为因为CDAB，所以所以OAM与与OBM都是都是直角三角形直角三角形又因为又因为OM为公共边，为公共边，所以这两所以这两个直角三角形全个直角三角形全等所以等所以AM=BM又因为又因为O关于直径关于直径CD所在的直线对称所在的直线对称，所以所以A点和点和B点点关于直线关于直线CD对称对称所以当所以当
5、圆沿着直径圆沿着直径CD对折时，对折时，点点A与点与点B重合，弧重合，弧AC与弧与弧BC重合因此重合因此AM=BM，弧弧AC与弧与弧BC，同理可得到弧，同理可得到弧AD与弧与弧BD你能用符号语言表达垂径定理吗？你能用符号语言表达垂径定理吗？合作探究，形成知识合作探究，形成知识CD是圆是圆O的直径，的直径，CDAB与点与点MAM=MBAC(BC(AD(BD(=例例1 如如图，图，所在圆的圆心是点所在圆的圆心是点O，过，过O作作OCAB于点于点D若若CD=4 m，弦，弦AB=16 m，求此圆的，求此圆的半径半径解：设圆的半径为解：设圆的半径为R，由题意可得由题意可得OD=R-4，AD=8 m在在R
6、tADO中，中，AO2=OD2+AD2，即即R2=(R-4)2+82解解得得R=10(m)答：此圆的半径是答：此圆的半径是10 m例题应用，深化提高例题应用，深化提高AB(例例2 如图，赵州桥如图，赵州桥是我国隋代建造是我国隋代建造的石拱桥的石拱桥，距今约，距今约有有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它结晶它的的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为）为37 m，拱，拱高（弧的中点到弦的距离）为高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的，求赵州桥主桥拱的半半径径(结果保留小数点后一位
7、结果保留小数点后一位)例题应用，深化提高例题应用，深化提高【教学图片】二次函数图片6赵州桥的图片，用于教学过程。解解得得R27.3(m)ODABCR在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即R2=18.52+(R-7.23)2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 mOA2=AD2+OD2，由题设可知，由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以，所以OD=OC-CD=R-7.23解解：如图，用弧：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB所在圆的所在圆的圆心为圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足
8、为垂足，OC与弧与弧AB相相交于点交于点C，连接，连接OA根据垂径定理，根据垂径定理，D是是AB的的中点，中点，C是弧是弧AB的的中点，中点，CD就是拱高就是拱高例题应用，深化提高例题应用，深化提高.ADAB113718 522（m），练习巩固，综合应用练习巩固，综合应用1如图，如图，O的直径的直径AB=12，CD是是O的弦，的弦，CDAB，垂足为，垂足为P，且，且BPAP=15，则，则CD的长的长为为()D练习巩固，综合应用练习巩固，综合应用2如图，将半径为如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心经过圆心O，则折痕，则折痕AB的长为的长为_cm 3O
9、的直径为的直径为10，弦，弦AB的长为的长为8，P是弦是弦AB上的一个动点，则上的一个动点，则OP长的取值范围为长的取值范围为3OP52 3人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)4已知已知O中中，若弦，若弦AB的长为的长为8 cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3 cm，求求O的半径的半径 解：连结解：连结OA，过，过O作作OEAB，垂足为垂足为E，则则OE=3 cm，AE=BE AB=8 cm，AE=4 cm 在在RtAOE中，根据中，根据勾股定理可得勾股定理可得OA=5 cmO的
10、半径为的半径为5 cmAEBO练习巩固，综合应用练习巩固，综合应用人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)练习巩固，综合应用练习巩固，综合应用5如图，如图，AB是是O的直径，作半径的直径，作半径OA的垂直平分的垂直平分线，交线，交O于于C，D两点，垂足为两点，垂足为H，连接，连接BC，BD（1）求证：）求证：BC=BD；（2）若）若CD=6，求，求O的半径长的半径长解：（解：（1）连接）连接OCAB是是O的直径，且的直径，且ABCD，CH=DH，BC=BD人教版九年级数学上册24.1.2 垂
11、直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)练习巩固，综合应用练习巩固，综合应用（2）连接）连接OCCD平分平分OA，设，设O的半径为的半径为r，则则OH=rCD=6，CH=CD=3CHO=90，OH2CH2=CO2，即，即(r)232=r2r=2 故故O的半径长是的半径长是2 12121233人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24
12、.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)6银川市银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道理人员准备更换一段新管道如下图如下图所示，污水水所示，污水水面宽度为面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为，水面至管道顶部距离为10 cm，问，问修理人员应准备内径多大的管道修理人员应准备内径多大的管道?练习巩固，综合应用练习巩固，综合应用人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张
13、PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)练习巩固，综合应用练习巩固，综合应用解解：如图所示，连接：如图所示，连接OA，过点，过点O作作OEAB，垂足，垂足为为E，交圆，交圆于于点点F，则，则AE=AB=30 cm令令O的半径为的半径为R cm，则，则OA=R cm，OE=OF-EF=(R-10)cm在在RtAEO中中，OA2=AE2+OE2，即，即R2=302+(R-10)2解解得得R=50所以修理所以修理人员应
14、准备内径为人员应准备内径为100 cm的管道的管道12人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)圆圆的轴对称性；垂径定理的轴对称性；垂径定理及其推论及其推论（1）垂径定理和垂径定理和勾股定理的结合；勾股定理的结合；（2）在圆中解决与弦有关的问题在圆中解决与弦有关的问题时常时常作的辅助线：作的辅助线：过圆心作垂直于弦的线段；过圆心作垂直于弦的线段；连接连
15、接半径半径 课堂小结课堂小结人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)再见再见人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)
