1、20222023学年度上学期2021级期末考试数学试卷一、单选题：1方程(2x3y)(2x3y)0表示的图形是 ()A两条直线B双曲线C一个点D一条直线和一条射线2已知正方体的棱长为 1, 以为原点, 为单位正交基底, 建立空间直角坐标系, 则平面的一个法向量是（ ）.A B C D 3 方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（）A B C D4已知点，则的最小值为()A. B. 27C. D. 125设直线与圆交于点，以线段上一点为圆心作一个圆与圆相切，若切点在劣弧上，则圆的半径最大值为( )A. B. C. D. 6若抛物线图象上一点到直线距离的最小值为，则( )AB8 C8或D7已知双曲
2、线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，其双曲线的离心率为A. B. C. D. 8已知圆方程为，将直线：绕逆时针旋转到的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数（ ）A始终为0B是0或1C是1或2D是0或1或2二、多选题：9下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B. 斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 C. 直线的斜率为，则其倾斜角为D. 经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：10已知曲线，则下列命题中的真命题是（ ）A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若m=n0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线11如图所示，平行六面体中，以顶
3、点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（）AB平面C D12已知抛物线 的焦点为,准线为, 过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点 (其中在的上方), 为坐标原点, 过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线 ,点 , 点A、B在准线上的投影分别为点H和点D，则( )A若, 则直线的斜率为BCD若是线段的三等分点, 则直线的斜率为三、填空题：13已知直线的系数中，有两个正数，一个负数，则该直线一定经过第_象限14设，是空间两个不共线的向量，已知，且A，B，D三点共线，实数k_.15过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于16已知抛物线上一点到其焦点的距离
4、为5，双曲线的右顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则正实数的值为四、解答题：17已知直线，.(1)当直线在x轴上的截距是它在y上的截距2倍时，求实数的值；(2)若，实数的值18已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且（1）求直线的方程；（2）求圆的方程19如图，四边形为等腰梯形，将沿折起，为的中点，连接.若图2中，（1）求线段的长；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.20如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面若（1）若分别为的中点，求直线与所成的角；（2）为线段上一点，若平面与平面所成角的余弦值，求的值21已知抛物线，(1)经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公
5、共点，求的方程；(2)设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，的中点为，若，求的面积22已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为.(1)求双曲线C的标准方程.(2)若双曲线的焦点在轴上，点为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.高二年级期末考试数学答案题号123456789101112答案ADAACBDBBDACDABCACD13一 141 151617（1）在两坐标轴都有截距，且令可得，令可得，解得或（2），解得或当时，两直线重合当时，两直线平行综上，的值为18（1），直线的斜率为又中点，方程为：即：5分（2）依题意，圆心在上 设，则，
6、且直线方程为，由勾股定理，7分点到的距离 或 10分故圆的方程为：或12分19（1）解：为中点，在图中，四边形为平行四边形，在为直径的圆上，又图2中，平面，由勾股定理得.（2）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，设为平面的一个法向量，则，即，取，有.，直线与平面所成的角的正弦值为.（其他解法也对应给分）20(1)解：由得，而平面平面，平面平面，平面平面而由，可得因此可以以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系。不妨设，有，分别为中点，（2）设，有，设平面的一个法向量，有，即取，有，而是平面的一个法向量，记，有，即 ,解得或（舍）所以21(1
7、)由图象可知，直线不会垂直于轴（此时与无公共点）因此，可设的方程为由得当时，解得唯一交点，此时直线方程为当时，解得或1对应方程为与即与综上：的方程是或或(2)设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，得，所以，所以，又抛物线的准线为，所以，整理得，解得或（舍）则22（1）因为两渐近线夹角为，所以渐近线为或若渐近线为，设双曲线方程为，将代入可得，即双曲线方程为若渐近线为，设双曲线方程为，将代入可得，即双曲线方程为综上：双曲线的标准方程为或（2）解法1：当直线的斜率不存在时，则可设，代入，得，则，即，解得或，当时，过点，不合题意；当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，整理得，设，则，由，所以所以，即,整理得即，所以或，若，则，直线化为，即，过定点；若，则，直线化为，即，它过点，舍去综上，直线恒过定点（2）解法2：双曲线焦点在轴上，由（1）可得方程为以为坐标原点，重建坐标系，此时曲线的方程为可化为设的方程为，代入上式得因为横坐标不会为0（不与重合），所以上式除以，可得记，有整理得所以，可得可得在新坐标系下，直线经过定点还原到原始坐标系，定点坐标为10
