1、1.3 线段的垂直平分线第一章 三角形的证明 第第2 2课时课时 三角形三边的垂直平分线及作图三角形三边的垂直平分线及作图 1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能 够运用其解决实际问题.(重点)2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.学习目标导入新课导入新课复习引入ABCD1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.线段的垂直平分线的作法.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.讲授新课讲授新课三角形三边的垂直平分线的性质一合作探究画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？发现：三
2、角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等 怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？BCAPlnml是AB的垂直平分线m是BC的垂直平分线PA=PBPB=PCPA=PC点P在AC的垂直平分线上证明：连接PA，PB，PC.点P在AB，AC的垂直平分线上，PA=PB，PA=PC（线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.PB=PC.点P在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.BCAPlnm定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点
3、的距离相等.归纳总结u应用格式：点P 为ABC 三边垂直平分线的交点，PA=PB=PC A AB BC CP P 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.做一做尺规作图二做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边a和这边上的高h.求作：ABC，使BC=a，BC边上的高为h.A1DCBAah(D)CBAahA1DCBAahA1提示：能作出无数个这
4、样的三角形，它们并不全等.（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形 如图所示，这些三角形不都全等(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧例 已知：线段a，h.求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.N NM MD DC CB Ba ah hA A
5、作法：1作BC=a；2作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；3以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4连接AB，AC.ABC就是所求作的三角形.典例精析1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.P l试一试ABCP已知：直线 l 和 l 上一点P求作：PC l 作法：1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B2作线段AB的垂直平分线PC直线PC就是所求 l 的垂线lBA作法：2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B.(2)分别以A、
6、B为圆心，大于R的长为半径作圆，相交于C、D两点.(3)过两交点作直线 l,此直线为l 过P的垂线.P CD当堂练习当堂练习1.如图，等腰ABC中，AB=AC，A=20线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于（）A80 B70 C60 D50C CB BA AD DE EC C2.下列说法错误的是()A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称D D【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
7、，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.3.如图所示，在ABC中，B22.5,AB的垂直平分线交BC于点D，DFAC于点F,并与BC边上的高AE交于G.求证：EGEC.F FA AB BC CE EG GD D证明:连接AD.点D在线段AB的垂直平分线上，DADB,DABB22.5,ADEDABB45.AEBC,DAEADE45,AEDE.又DFAC,DFCAEC90,CCAECCDF90,CAECDF,DEGAEC(ASA),EGEC.F FA AB BC CE EG GD D4.已知：线段a.求作：ABC，使ACB=90，AC=BC=a.作法：（1）作直线l.（2）在直线l上任取一条线段DE.（3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C.（4）在射线CE上截取CA=a,在射线CM上截取CB=a.（5）连接AB.ABC就是所求作的三角形.课堂小结课堂小结1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.ABCPabc
