1、有限元第三章-单元类型及单元刚度矩阵 1.Langrange 1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节型形状函数，这时节点广义位移为节点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之确定。确定。2.Hermite 2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点型形状函数，其节点广义位移包含节点位移和节点位移导数。位移和节点位移导数。一、形状函数类型及其特征一
2、、形状函数类型及其特征 在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设适应满足的适应满足的4 4项原则。项原则。包含单元的刚体位移包含单元的刚体位移包含单元的常应变状态包含单元的常应变状态保证不偏惠各坐标轴保证不偏惠各坐标轴保证单元内位移连续保证单元内位移连续体现位移函数完备性体现位移函数完备性体现位移函数几何不变性体现位移函数几何不变性体现位移函数协调性体现位移函数协调性一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征 要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。式的各项应根据帕斯卡三
3、角形来选择。3223221yxyyxxyxyxyx二维单元的帕斯卡三角形二维单元的帕斯卡三角形一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征三三维维的的帕帕斯斯卡卡三三角角形形3222232232221zyzxzzyxyzzxyxyyxxzyzzxyxyxzyx一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征形状函数应该满足以下条件形状函数应该满足以下条件1.1.2.2.3.3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续4.4.保证所定义位移函数反映常应变状态保证所定义位移函数反映常应变状态0011jiiiliXNilXNilXN11miiiXN一、形状函数
4、类型及其特征一、形状函数类型及其特征 工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同，结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同，一维单元又可分为杆单元和梁单元。一维单元又可分为杆单元和梁单元。二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩
5、作用，杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。一次杆单元一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为单元有两个节点，如图所示，编号为i i、j,j,采用局部采用局部坐标坐标 ，记，记 ，并取，并取i i为为x x坐标的原点，则有坐标的原点，则有lxi(1)i(1)j(2)j(2)l lFFxjixxxx10 根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单
6、元内点位移与单元节点位移的关系。描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。对于上述问题，已知节点位移为对于上述问题，已知节点位移为u ui i,u,uj j,而要求节点而要求节点间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算（二点一次拉氏插值），即（二点一次拉氏插值），即 lxNlxlN21;)(212121000uuNNuulxullxu1.1.杆单元杆单元 一次杆单元一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵代入代入 ，有，有 21;1NN令令 21;1得得 2211;NN所以单元内点位移为所以单元内点位移为 2121)(uu
7、xu单元应变单元应变 212111uuddNddNldduldxdddudxdu1.1.杆单元杆单元 一次杆单元一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵 eBuul21111所以，几何矩阵为所以，几何矩阵为 llB11单元应力为单元应力为 E弹性矩阵弹性矩阵 ED 单元刚度矩阵通式为单元刚度矩阵通式为 dVBDBkTVe二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵代入，得代入，得 1111lEABDBAldxBDBAkTlTe这是一次杆单元的单刚阵，它对这是一次杆单元的单刚阵，它对称、对角线元素大于零且奇异！称、对角线元素大于零且奇异！1.1.杆单元杆单元 一次杆
8、单元一次杆单元 当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：1111lGJkei(1)i(1)j(2)j(2)l lMnxMn二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 一次杆单元一次杆单元二次杆单元二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为单元有三个节点，如图所示，端点编号为i i、j,j,三个节点依次为三个节点依次为1 1、3 3、2 2。单元位移可以根据抛物。单元位移可以根据抛物线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即线插值（亦称三点两次拉氏插
9、值）获得，即jixxxx10i(1)i(1)j(2)j(2)l lFFx(3)(3)同样令同样令 21;1二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 2132222212114)1(4222)1)(12(NNN321)2)(2()(0()2()2)(0()(2()(2()(ulllxxulllxxulllxlxxu令令二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元所以单元内点位移为所以单元内点位移为 321321)(uuuNNNxu单元应变单元应变 eBuuuddNddNddNl3211211二、一维单元及其单元刚度
10、阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元)44()14()14(12121lB几何矩阵为几何矩阵为 单元应力为单元应力为 E ED 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 16888718173lEAdxBDBAklTe二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元73)14(201211lEAdxlEAkl元素的计算元素的计算 )!1()!)(!()(122121nmnmxxdxnxxm可以直接应用可以直接应用 元素的计算元素的计算 73)14(022222lEAdxlEAkl163)44(0221233lEAdxlEAkl13
11、)14)(14(022212lEAdxlEAkl二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元元素的计算元素的计算 二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元)8(3)44)(14(0212223lEAdxlEAkl)8(3)44)(14(0211213lEAdxlEAkl其余元素利用对称性可求得其余元素利用对称性可求得 233212311221kkkkkk2.2.三次梁单元三次梁单元 梁单元如图所示，仅考虑节点在梁单元如图所示，仅考虑节点在xoyxoy平面内的位移平面内的位移为为v v、，这时
12、一个单元有四个自由度，这时一个单元有四个自由度，形状函数为，形状函数为三次多项式，即使用三次三次多项式，即使用三次HermiteHermite插值多项式。插值多项式。二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1 12 2l lMz1xMZ2yzQy2Qy12.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵TvvNNNNlxlxllxxvlxllxvllxlxxv2211432122122212)00)()0)(0()00)(021()0)(0021()(HermiteHermite位移插值多项式位移插值多项式2.2.三次梁单元三次梁单元 22422322
13、2221)1()()23()()(21)1()1()1)(21()(21(llxlxNlxllxNllxxNllxlxN其中其中二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵2.2.三次梁单元三次梁单元 22dxvdy根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）2211242232222212vvdxNddxNddxNddxNdy eB NyNNNNyB 4321其中其中二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵2.2.三次梁单元三次梁单元 )2(2)13(2)21(6)21(6)2(2)23(2)21(6)12(612422231221221
14、llNllNllNllN二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵jixxxx10同样令同样令 2112.2.三次梁单元三次梁单元单元应力为单元应力为 E ED 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 dxNNEJdxdANNyEdxdABDBdVBDBklTzlATlATVTe 0020)()(引入引入 AzdAyJ2二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵2.2.三次梁单元三次梁单元2222346266126122646612612lllllllllllllEJkze单单元元刚刚度度矩矩阵阵 32401112)12(36lEJdxlEJkzlz元素的计算元素的计算 二、一维单元及其
15、单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵2.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵lEJdxlEJkzlz4)23(422022元素的计算元素的计算 32403312)21(36lEJdxlEJkzlzlEJdxlEJkzlz4)13(422044230126)23)(12(12lEJdxlEJkzlz2.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵3401312)21)(12(36lEJdxlEJkzlz元素的计算元素的计算 230146)13)(12(12lEJdxlEJkzlz230236)21)(23(12lEJdxlE
16、Jkzlz2.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵230346)13)(21(12lEJdxlEJkzlz元素的计算元素的计算 lEJdxlEJkzlz2)12)(23(42024其余元素利用对称性可求的其余元素利用对称性可求的 344324422332144113311221kkkkkkkkkkkk 二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种平面单元
17、，即三角形单元和四边形单元，包括一平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一次和二次三角形单元以及一次四边形单元。次和二次三角形单元以及一次四边形单元。三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。一次三角形单元一次三角形单元 第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。形单元，这类坐标不方便，特此引入
18、面积坐标。1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵面积坐标面积坐标 如图所示，在三角形单元如图所示，在三角形单元A A1 1A A2 2A A3 3中，中，有任意一点有任意一点P(x,y)P(x,y)连接连接PAPA1 1、PAPA2 2、PAPA3 3,得到三个小三角形：得到三个小三角形：PAPA2 2A A3 3、PAPA3 3A A1 1、PAPA1 1A A2 2,记面积比为：记面积比为：321213321132321321AAAAPAAAAAPAAAAAPA称称1 1、2 2、3 3为为P P点的面积坐标点的面积坐
19、标xyA1A2A3P(x,y)o三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标面积坐标 由于由于1 1+2 2+3 3=1=1，因此该三，因此该三个坐标不独立。其负号的规定为：个坐标不独立。其负号的规定为：分子分母对应的三角形顶点编号分子分母对应的三角形顶点编号转向相同时为正，反之为负，由转向相同时为正，反之为负，由于三角形于三角形A A1 1A A2 2A A3 3的顶点编号一般规的顶点编号一般规定为逆时针，因此，子三角形顶定为逆时针，因此，子三角形顶点编号为逆时针时面积坐标为正，点编号为逆时针时面积坐标为正，反之为负。
20、反之为负。xyA1A2A3P(x,y)o三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标面积坐标三角形中一些特殊点的面积坐标三角形中一些特殊点的面积坐标顶顶点点)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321AAA边边中中点点)0,21,21()21,0,21()21,21,0(654AAA形心形心)31,31,31(GxyA1A2A3GA6A5A4o三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系 三角形三个顶点在
21、直角坐标系中的坐标为（三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为（x xi i,y,yi i）,则则AA1 1A A2 2A A3 3的面积为的面积为Dyyyxxx2111121321321类似地三个小三角形的面积依次为类似地三个小三角形的面积依次为三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系3232)1(11121yyyxxx1313)2(11121yyyxxx2121)3(11121yyyxxx三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角
22、形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系32132123321xxcyybyxyxaDaycxbyxxxyyyxyxDAAAAPA)()()()(111132322332321321其中其中三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系同理同理DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1222131331132DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1333212112213三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角
23、形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系13213231132xxcyybyxyxa其中其中21321312213xxcyybyxyxakjikjikjkjixxcyybyyxxa,令令i=1,2,3;ii=1,2,3;i、j j、k k按按1,2,31,2,3轮转轮转三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系则则3,2,1)(iDaycxbiiii于是有于是有yxcbacbacbaD11333222111321面面积积坐坐标
24、标直直角角坐坐标标三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系对于单元的三个角点，应有对于单元的三个角点，应有0011111333222111yxcbacbacbaDA A1 1点点0101122333222111yxcbacbacbaDA A2 2点点三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系1001133333222111yxcbacbacbaDA A3 3点点1
25、000100011111321321333222111yyyxxxcbacbacbaD重写上述三式重写上述三式三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系所以有所以有13332221113213211111cbacbacbaDyyyxxx于是有于是有3213213211111yyyxxxyx直直角角坐坐标标面面积积坐坐标标三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元形状函数形状函数根据形状函数的定义根据形状函数的定义
26、332211321),(iiiigggNi=1i=1时，对于时，对于A A1、A A2、A A3 3点点 0)1,0,0(),(:0)0,1,0(),(:1)0,0,1(),(:131321131213211211132111gNNAgNNAgNNAi=1,2,3i=1,2,3所以所以13211),(N三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元形状函数形状函数同理，同理，i=2i=2、3 3时，对于时，对于A A1、A A2、A A3 3点点 0)1,0,0(),(:1)0,1,0(),(:0)0,0,1(),(:232321
27、232223212221232121gNNAgNNAgNNA1)1,0,0(),(:0)0,1,0(),(:0)0,0,1(),(:333321333233213231332131gNNAgNNAgNNA33213),(N所以所以23212),(N于是于是 TTvvvNNNvuuuNNNu321321321321单元应变单元应变 332211332211321321000000vuvuvuxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNxvyuyvxu三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元位移函数位移函数三、二维单元及其单
28、元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元 eTxyyxB其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB332211321321000000单元应变单元应变 利用复合函数求偏导数的公式利用复合函数求偏导数的公式)(1332211332211bbbDxxxx三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元)(1332211332211cccDyyyy几何矩阵几何矩阵 三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元
29、 一次三角形单元一次三角形单元可得可得)3,2,1(iDcyNDbxNiiii；平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx单元刚度矩阵单元刚度矩阵 BDBtAdVBDBkTTVe几何矩阵几何矩阵 三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单元一次三角形单元单元刚阵单元刚阵3332312322211312112)1(4kkkkkkkkkEtke二次三角形单元二次三角形单元xy123645o 二次三角形单元，如图所示，二次三角形单元，如图所示，单元共六个节点，单元共六个节点，1212个自由度，个自由度，三个角节点，三个边中点。三个角节点
30、，三个边中点。三、二维单元及其单刚阵三、二维单元及其单刚阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元形状函数形状函数136325214232221132132),(iiiiiiiggggggNi=1,2i=1,2，6 6节点面积坐标节点面积坐标)0,21,21(6),21,0,21(5),21,21,0(4)1,0,0(3)0,1,0(2)0,0,1(1；xy123645o对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 1)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1,0,0(:0)0,1,0(:1)0,0,1(:
31、161615151414131312121111gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元形状函数形状函数113211)12(),(N形状函数分量形状函数分量),(3211N三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元223212)12(),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3212N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 0)0,21,21(:1)2
32、1,0,21(:1)21,21,0(:0)1,0,0(:1)0,1,0(:0)0,0,1(:262625252424232322222121gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元333213)12(),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3213N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 0)0,21,21(:1)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1,0,0(:1)0,1,0(:0)0,0,1(:36363
33、5353434333332323131gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元3232144),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3214N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 0)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1,0,0(:0)0,1,0(:0)0,0,1(:164615451444134312421141gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二维单元及其单元刚度阵三、二维
34、单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元1332154),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3215N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 0)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1,0,0(:0)0,1,0(:0)0,0,1(:565655555454535352525151gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元2132164),(N形状函数形
35、状函数形状函数分量形状函数分量),(3216N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 1)0,21,21(:0)21,0,21(:0)21,21,0(:0)1,0,0(:0)0,1,0(:0)0,0,1(:666665656464636362626161gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元位移函数位移函数6161iiiiiivNvuNu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B单元应变单元应变 eTxyyxBxvyuyvxu xNyN
36、xNyNxNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNyNyNxNxNxNxNxNxNB665544332211654321654321000000000000三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵几何矩阵几何矩阵)3,2,1()14()14(iDcyNDbxNiiiiii1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元3,2,1,6,5,4)(4)(4kjiccDyNbbDxNikijiikiji三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵几何矩阵几何矩阵平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三
37、角形单元j j、k k根据根据i=4i=4、5 5、6 6依次按依次按1,2,31,2,3轮转轮转三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元注意使用积分公式注意使用积分公式)2()!)(!)(!(2nmlnmlAdxdySnkmjli dSBDBtdVBDBkSTTVe单元刚度矩阵单元刚度矩阵 2.2.矩形单元矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵 矩形单元如图所示，共四个节点，每个节点两个矩形单元如图所示，共四个节点，每个节点两个自由度，单元共自由度，单元共8 8个节点位移。为计算方便，引入个节点位移。
38、为计算方便，引入新的变量：新的变量：,xy123o4令令 )(1)(100yybxxa一次矩形单元一次矩形单元2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵其中其中 2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa)1,1(),(:)1,1(),(:)1,1(),(:)1,1(),(:44332211AAAAAAAA四个角点新坐标四个角点新坐标 xy123o4三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵形状函数形状函数利用形状函数的性质，可得利用形状函数的性质，可得 )4,3,2,1()1)(1(41),(iNiii验
39、证验证 )4,3,2,1,(0)1)(1(41),(1)1)(1(41),(jiNNjijijjiiiiiiii2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵位移函数位移函数4141iiiiiivNvuNu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B单元应变单元应变 eTxyyxBxvyuyvxu2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵 TevuvuvuvuBBBBB443322114321其中其中 4,3,2,100ixNyNyNxNBiiiii几何矩阵几何矩阵2.2.矩形单元矩形单元
40、 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵几何矩阵几何矩阵2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元 xNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNxNxNxNxNB443322114321432100000000三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx 44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkdVBDBkTVe单元刚度矩阵单元刚度矩阵 2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其
41、单元刚度阵其中其中 )4,3,2,1,(jidxdyBDBtkAjTiij对于平面应变问题对于平面应变问题22211211)21)(1(4kkkkEtkij)31(221)31()1(11jijijijibaabk2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵jijik22112)31(221)31()1(22jijijijibaabkijijk221212.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元二次矩形单元二次矩形单元xy123o487651111令令
42、)(1)(100yybxxa2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa)0,1(),()1,0(),()0,1(),()1,0(),()1,1(),()1,1(),()1,1(),()1,1(),(87654321AAAAAAAA八个节点新坐标八个节点新坐标 三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元xy123o487651111形状函数形状函数利用形状函数的性质，可得利用形状函数的性质，可得 )4,3,2,1()1)(1)(1(41),(iNiiiii三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形
43、单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元)8,6()1)(1(41),(2iNii)7,5()1)(1(21),(2iNii三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元位移函数位移函数8181iiiiiivNvuNu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B单元应变单元应变 eTxyyxBxvyuyvxu三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元几何矩阵几何矩阵 TevuvuvuBBBB882211821163 xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB8822118218211
44、63000000平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx dVBDBkTVe1616单元刚度矩阵单元刚度矩阵 三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元 工程中的一切问题都对应着空间三维问题，都可以工程中的一切问题都对应着空间三维问题，都可以用三维单元来构成其总体结构。本课程介绍三维单元用三维单元来构成其总体结构。本课程介绍三维单元及其单刚阵，包括六面体、四面体和曲线等参单元。及其单刚阵，包括六面体、四面体和曲线等参单元。四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元 单元如图所示，共单
45、元如图所示，共8 8个节点，个节点，每个节点的位移参数是每个节点的位移参数是u u、v v、w w，在进行单元分析时，同矩形单在进行单元分析时，同矩形单元一样，常用局部坐标元一样，常用局部坐标 表示，其原点位于六面表示，其原点位于六面体形心，坐标方向同体形心，坐标方向同x x、y y、z z一一致，其相互关系为：致，其相互关系为：,yz123o4x8567yz123o4x8567四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元令令 )(2)(2)(2000zzcyybxxa2)(2)(2)(510154102101412zzzzzcyyyxxxyybxxa四、三
46、维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元形状函数形状函数)8,2,1(8)1)(1)(1(),(iNiiiiyz123o4x8567)1,1,1(),()1,1,1(),()1,1,1(),()1,1,1(),()1,1,1(),()1,1,1(),()1,1,1(),()1,1,1(),(87654321AAAAAAAA八个角点新坐标八个角点新坐标 四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元位移函数位移函数818181,iiiiiiiiiwNwvNvuNu验证验证 )8,2,1,(0)1)(1)(1(81),(1)1)(
47、1)(1(81),(jiNNjijijijjjiiiiiiiiiii四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元应变单元应变 eTzxyzxyzyxBzuxwywzvxvyuzwyvxu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元几何矩阵几何矩阵 TewvuuwvuBBBB8882111821246四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元几何矩阵几何矩阵)8,2,1(00000000036ixNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiii
48、i三维问题的应力为三维问题的应力为 DTzxyzxyzyx四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元)1(2)21(0)1(2)21(00)1(2)21(0001000)1(1000)1()1(1)21)(1()1(对称ED弹性矩阵弹性矩阵 dVBDBkTVe2424单元刚度矩阵单元刚度矩阵 四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元888281282221181211kkkkkkkkkke 5762424四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元33323122222113121
49、1)21)(1(16kkkkkkkkkEVkij单元刚度矩阵单元刚度矩阵 为为3x33x3的块方阵，的块方阵，i i，j=1j=1，2 2，8 8，且，且 cbaV)31)(31()31)(31(221)31)(31()1(22211jijijijijijijijijicbak四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元刚度矩阵单元刚度矩阵 )31)(31()31)(31(221)31)(31()1(22222jijijijijijijijijicabk)31)(31()31)(31(221)31)(31()1(22233jijijijijijijiji
50、jiback四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元刚度矩阵单元刚度矩阵 )221)(31(112jijijiabk)221)(31(113jijijiack)221)(31(121jijijiabk)221)(31(123jijijibck四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元刚度矩阵单元刚度矩阵 )221)(31(131jijijiack)221)(31(132jijijibck四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵2.2.四面体单元四面体单元 工程实际中的结构往往比较复杂，仅用形状规则
