1、上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 第六节第六节 载荷移置载荷移置上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用第六节第六节 载荷移置载荷移置1.静力等效原则静力等效原则 刚体静力等效原则只从刚体静力等效原则只从运动效应运动效应来考虑，得出移置荷载来考虑，得出移置荷载不是唯不是唯一一的解；变形体的静力等效原则考虑了的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应变形效应，在一定的位移模，在一定的位移模式下，其结果是式下，其结果是唯一唯一的，且也满足了前者条件的。的，且也满足了前者条件的。所以在所以在FEM中，采用中，采用变形体的静力等效原则变形体的静力等效原则。
2、刚体静力等效原则刚体静力等效原则:变形体静力等效原则变形体静力等效原则:使原荷载与移置荷载的使原荷载与移置荷载的主矢量主矢量以及对同一点的以及对同一点的主矩主矩也相同。也相同。在任意虚位移上，使原荷载与移置荷载的在任意虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等虚功相等。单元单元原载荷原载荷在在虚位移上做的虚功虚位移上做的虚功=移置后移置后节点载荷节点载荷在相应在相应虚位移上做的虚功虚位移上做的虚功上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用第六节第六节 载荷移置载荷移置2.移置方法移置方法(1)集中力的移置集中力的移置TPPxPyfffeTLLixLiyLjxLjyLmxLmyFF
3、FFFFFeTiijjmmuvuvuvTduv eTeTLPFdf eTTPNf edN6 22 1eTPLFNf 000000ijmijmNNNNNNNiPxiPyjPxjPymPxmPyN fN fN fN fN fN f集中力按形函数在各节点分配集中力按形函数在各节点分配上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用第六节第六节 载荷移置载荷移置(2)体力的移置体力的移置 Txyfff取微单元，则微单元上的体力：取微单元，则微单元上的体力：f dxdyt可看作集中力。可看作集中力。TAeLNfdytFdxixiyjxjymxmyAtN fN fN fN fN fN fdxd
4、y例：重力移置。例：重力移置。令密度为令密度为 ,则则:0 xyf,fg LixLjxLmxFFF LiyiAFtNg dxdy iAgtN dxdy 13gtA 111333000eTLFgtAgtAgtA TNf dxdyt上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用第六节第六节 载荷移置载荷移置(3)面力的移置面力的移置 Txyfff f tds可看作集中力。可看作集中力。TeLSNf tdsFTixiyjxjymxmyStN fN fN fN fN fN fds取微单元，面积为取微单元，面积为 。则微单元上的力：。则微单元上的力：tds TStNf ds则则:0 xyf
5、q,f LixiijFqtN ds 112200 0 0eTLFqtijqtij 例：三角形单元一边受沿例：三角形单元一边受沿x 方向均布载荷方向均布载荷 。q12 qtijLjxjijFqtN ds 1,2 qtij0LmxF q上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用n（1）节点协调原则：）节点协调原则：节点处保证协调连接节点处保证协调连接 不同单元在同一节点处位移相等不同单元在同一节点处位移相等.iiii（2）节点平衡原则：）节点平衡原则：(1,2,3
6、.)iLieeFFin节点平衡方程节点平衡方程第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵1.组集总体刚度矩阵的原则组集总体刚度矩阵的原则上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用2.总体刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成已知节点载荷：已知节点载荷：122345500 0TLL yL xL yL xL yL xL yFFFFFFFF节点节点1：节点节点2：节点节点3：节点节点4：节点节点5：110 xxFF111yyL yFFF222xxL xFFF222yyL yFFF33333xxxxL xFFFFF33330yyyyFFFF440 xxFF444yyL yFFF5
7、55xxL xFFF555yyL yFFF第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵节点平衡原则节点平衡原则上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 将上面将上面10个方程用矩阵表示：个方程用矩阵表示：110 xxFF111yyL yFFF222xxL xFFF222yyL yFFF33333xxxxL xFFFFF33330yyyyFFFF440 xxFF444yyL yFFF555xxL xFFF555yyL yFFF1223455000L yL xL yL xL yL xL yFFFFFFF112233xyxyxyFFFFFF2233550000 xyx
8、yxyFFFFFF1133440000 xyxyxyFFFFFF3344550000 xyxyxyFFFFFF单元单元单元单元单元单元单元单元 12345节节点点第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵节点平衡方程节点平衡方程组组0000上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用用分块矩阵表示：用分块矩阵表示：12345LLLLLFFFFF12300FFF23500FFF13400FFF34500FFF单元单元单元单元单元单元单元单元 12345节点节点用零（矩阵）升阶使节点力矩阵与节点载荷矩阵同阶用零（矩阵）升阶使节点力矩阵与节点载荷矩阵同阶第七节第七节 整
9、体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用列出各个单元单元刚度方程：列出各个单元单元刚度方程：单元单元 eeFkiiiijimijjijjjmjmmimjmmmFkkkFkkkFkkk12300FFF12345单元单元23500FFF123451311122321223132330000000000000000kkkkkkkkk2325223233355253550000000000000000kkkkkkkkk第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵单元单元位移列位移列阵用阵用整体整体位位移列阵代替移列阵代替 k k单
10、元刚度矩阵单元刚度矩阵用零用零升阶升阶与总体刚度矩与总体刚度矩阵同阶，又称阵同阶，又称单元贡献矩阵。单元贡献矩阵。上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用单元单元1234513400FFF单元单元34500FFF123451311143133344341440000000000000000kkkkkkkkk3334354345445354550000000000000000kkkkkkkkk(1)扩阶后的单元刚扩阶后的单元刚 度度 方程只不过增加了方程只不过增加了两个两个0=0的方程的方程，因此与原方，因此与原方程程等价等价。第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体
11、刚度矩阵（3）用结构的）用结构的整体位移矩阵整体位移矩阵代替代替单元节点位移矩阵单元节点位移矩阵-节点协调原则节点协调原则(2)不影响不影响虚功及应变虚功及应变能能的计算。的计算。k k上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用将以上四式代入节点将以上四式代入节点 平衡方程组：平衡方程组：LkkkkF12345LLLLLFFFFF12300FFF23500FFF13400FFF34500FFF节点平衡方程组节点平衡方程组令：Kkkkk 41eek LFK总体刚度矩阵总体刚度矩阵整体平衡方程整体平衡方程,沟通沟通节点载荷节点载荷与与节点节点位移位移关系关系第七节第七节 整体分析
12、整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵 221menneKk上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用1311121423252122313233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+K Kkkkk13151112142325212224313233343543454142445152535455KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKkKKK总体刚度矩阵的形成：总体刚度矩阵的形成：所有所有升阶后的单元刚度升阶后的单元刚度矩阵矩阵（单元贡献矩阵）（单元贡献矩阵）的叠加！的叠加！第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体
13、刚度矩阵1311122321223132330000000000000000kkkkkkkkk2325223233355253550000000000000000kkkkkkkkk1311143133344341440000000000000000kkkkkkkkk3334354345445354550000000000000000kkkkkkkkk上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用3.总体刚度矩阵的计算规律总体刚度矩阵的计算规律 令：令：为总体刚度矩阵为总体刚度矩阵的任一子块的任一子块 :,1,2,3,4,5rsKr s(1)当当 时：时：为主对角线上子块，由为主对
14、角线上子块，由环绕节点环绕节点 r 或或 s 的单元在单刚矩阵相应的单元在单刚矩阵相应节点上子矩阵的叠加节点上子矩阵的叠加rsrsK如：3333Kk+(2)当当 且且rs为相邻单元的公共边时：为相邻单元的公共边时：为相邻两单为相邻两单元在单刚矩阵相应子块矩阵的叠加。元在单刚矩阵相应子块矩阵的叠加。rsrsK如：1313Kk+(3)当当 且且rs仅为某一单元的一边时：仅为某一单元的一边时：为该单元单刚矩为该单元单刚矩阵相应子块矩阵。阵相应子块矩阵。rsrsK如：1212Kk(4)当当 且且rs为互不相关的两节点时：为互不相关的两节点时：rs0rsK如：240K131112142325212231
15、3233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+1311121423252122313233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+1311121423252122313233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵13151112142325212224313233343543454142445152535455KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKkKKK13111214232
16、52122313233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用3.总体刚度矩阵的性质总体刚度矩阵的性质 对称性对称性 1313Kk+3131Kk+iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk Trssrkk3131313131TTTTKkkkk13131313kkkK+1311121423252122313233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+K 存贮一半元素加上存贮一半元素加上对角线上的元素对角线上的元素 TKK
17、第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 奇异性奇异性1311121423252122313233343543454144525354550000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+K 以第一行为例以第一行为例,考察第一行之和：考察第一行之和：+11121314,kkkk第一行子块矩阵有：第一行子块矩阵有：1112111211121112111211121111121213131111131314140kkkkkkkkkkkk单元单元 刚度矩阵刚度矩阵第一行元素之和第一行元素之和单元单元 刚度矩阵刚度矩阵第一行
18、元素之和第一行元素之和反映了弹性体的反映了弹性体的刚体位移刚体位移0K 1311122321223132330000000000000000kkkkkkkkk1311143133344341440000000000000000kkkkkkkkk第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 稀疏性稀疏性当当 且且r、s为互不相关的两节点时：为互不相关的两节点时：rs0rsK则单元越多，不相关的节点越多，等于零的元素越多，称则单元越多，不相关的节点越多，等于零的元素越多，称总刚矩阵的稀疏性总刚矩阵的稀疏性例：例：总刚为总刚为2
19、424阶矩阵，非阶矩阵，非0元素仅占元素仅占37.5%稀疏矩阵稀疏矩阵 一般一个节点的相关结点不会超过九个，如果网格中有一般一个节点的相关结点不会超过九个，如果网格中有200个节点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不大个节点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不大于于9/200，即非零子块，即非零子块在在5%以下以下，零子块在，零子块在95%以上以上。高稀疏矩阵高稀疏矩阵第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 带状性带状性111213KKK21222324KKKK3132333435KKKKK424
20、3444546KKKKK121012111212KKK00 K 如果编码合适，如果编码合适，的非零元素分布的非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内。在以对角线为中心的带状区域内。KB半带宽半带宽B包括对角元素在内的半个包括对角元素在内的半个带状区域内，每行（或列）带状区域内，每行（或列）包含的最多元素个数包含的最多元素个数B=（相邻节点号码的最大差值（相邻节点号码的最大差值+1）2 2存贮包括主对角存贮包括主对角线在内的半个带线在内的半个带状区域元素状区域元素第七节第七节 整体分析整体分析 总体刚度矩阵总体刚度矩阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 第八节第八节 边
21、界条件处理边界条件处理 求解求解上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用1.进行边界处理的原因进行边界处理的原因 总刚矩阵的奇异性：总刚矩阵的奇异性：0K K无逆矩阵无逆矩阵 LKF无法求解无法求解 K的奇异性是由于其中包含了弹性体的刚体位移的奇异性是由于其中包含了弹性体的刚体位移考虑边界约束，消除刚体位移考虑边界约束，消除刚体位移边界处理边界处理 给定位移边界给定位移边界2.边界的约束情况边界的约束情况 对称结构：对称结构：第八节第八节 边界条件处理边界条件处理 求解求解几何形状几何形状，边界约束边界约束及及载荷载荷均关于均关于 x 轴或轴或 y 轴对称。轴对称。上 海
22、工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用2.进行边界处理的方法进行边界处理的方法(1）降阶法：）降阶法：将总体平衡方程中位移为将总体平衡方程中位移为0的相的相应行和列划去应行和列划去1111222233334444555510 10L xL yL xLyL xL yL xLyL xL yFuFvFuFvFuFvFuFvFuFv1112233334444555510 10000L xL yL xLyL xL yL xLyL xL yFuFFFFuFvFuFvFuFv113333444455557 7L xL xL yL xLyL xL yFuFuFvFuFvFuFv第八节第八节 边界
23、条件处理边界条件处理 求解求解1.降阶：降阶：2n 2n降为降为(2n-r)(2n-r)2.奇异矩阵变为非奇异矩阵奇异矩阵变为非奇异矩阵3.打乱打乱K FL的储存顺序的储存顺序,不利于编程不利于编程上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用(2)对角元素置对角元素置1法法111211121222212120102000100000njnnnnnnjnKKKpKKpjKKKpn 0j第八节第八节 边界条件处理边界条件处理 求解求解将位移为将位移为0的所在的所在行和列置行和列置0，对角元素置对角元素置1上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用111211121
24、22221212njjjjjnjjjjnnnnnnKKKpKKpKKKKKKKKp 1 122jjjjjjnnjjjKKKKK()jjjiKKijjjjjjjKK(3)对角元素乘大数法对角元素乘大数法jj令：令：jj第八节第八节 边界条件处理边界条件处理 求解求解上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 由具体结构及给定条件，绘计算简图由具体结构及给定条件，绘计算简图-尺寸、外载荷、约束等；尺寸、外载荷、约束等；有限元法的求解步骤：有限元法的求解步骤：选定坐标系，划分单元，单元与节点编号（整体编号，局部编号）；选定坐标系，划分单元，单元与节点编号（整体编号，局部编号）；S
25、B 计算单刚矩阵：单元面积计算单刚矩阵：单元面积 A，,，形成单刚；，形成单刚；组集总刚；组集总刚；载荷移置；载荷移置；边界处理；边界处理；求解线性方程组。求解线性方程组。高斯消去法、三角分解法、追赶法、分块解法、波前法、超松弛迭高斯消去法、三角分解法、追赶法、分块解法、波前法、超松弛迭代法、雅可比迭代法、高斯代法、雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法，等等。赛德尔迭代法，等等。第八节第八节 边界条件处理边界条件处理 求解求解上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用第八节第八节 边界条件处理边界条件处理 求解求解有限元法程序设计有限元法程序设计:划分单元划分单元 输入参数输入参
26、数:（坐标，编码，材料常数，载荷，约束）（坐标，编码，材料常数，载荷，约束）计算：形成单刚子程序计算：形成单刚子程序 形成总刚子程序形成总刚子程序 形成载荷子程序形成载荷子程序 边界处理子程序边界处理子程序 解线性方程组子程序解线性方程组子程序 计算结果处理（整理，分析，显示）计算结果处理（整理，分析，显示）前处理前处理（Preprocessor）求解求解（Solution）后处理后处理(Postprocessor)上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用解解:（1）对称问题处理：）对称问题处理：几何形状，边界约束，几何形状，边界约束，和载荷和载荷均关于均关于 x 轴和轴和
27、 y 轴对称。轴对称。单元号单元号总体总体局部局部节节 点点单元单元单元单元ijmijm123341 如图为厚度为如图为厚度为t t的矩形薄板。两的矩形薄板。两端受均布拉力端受均布拉力1N/m1N/m，板长，板长2m2m，宽，宽1m,1m,材料常数为材料常数为 E=1，在不计自，在不计自重的情况下，试用有限元法求板内重的情况下，试用有限元法求板内应力分布。应力分布。31m m有限元求解例：有限元求解例：（2）划分单元，单元及节点编号）划分单元，单元及节点编号imjimji,j,m 逆时针方逆时针方向编码，保证向编码，保证单元面积为正单元面积为正上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析
28、与 应 用(3)求单刚矩阵：求单刚矩阵：以单元为例：以单元为例：1A4,ji1m2101y1b11y2,1m2j0i11y1b1y21,jim1x11c01x11,mji1x11c11x10 imj1y10b01y10imj1x10c11x11imj有限元求解例：有限元求解例：上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用 30320201212033 2744232214 132120242402 0212 012TEtkBS tA 1100 0 0220001 0 111011 0220001 010 0 01110000002 0 2224012 1 2 0ijmBijmi
29、ijjmmbbbcccAAcb cbcb ()1312313111000 0 03 032 0 22231 00001 0 11 016 0 682 111012 1 2 00 0011 022EESADBm m kkk有限元求解例：有限元求解例：单元单元 可通过单元可通过单元 的的逆时针旋转逆时针旋转而得到：而得到：平面应力问平面应力问题弹性矩阵题弹性矩阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用（4）组集总刚矩阵）组集总刚矩阵 30320201212033 27442214 13212320242402 0212 012Etkijmijm,1111113330407032
30、3201012013iimmKkkkkEtEt,21213323221jiEtKkk,313131330202043232202040miimKkkkkEtEt701332732141332044274021201342003272120021413EtK对称对称414134232212jmEtKkk以子块以子块 为例：为例：11K21K31K41K有限元求解例：有限元求解例：单元单元单元逆时针旋转单元逆时针旋转180180 单元刚阵单元刚阵上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用(5)边界条件处理：边界条件处理：11240uvvu 分别对应于节点位移矩阵的第分别对应于节点
31、位移矩阵的第1、2、4、7行，划去总刚矩阵的第行，划去总刚矩阵的第1、2、4、7行与列，得到：行与列，得到：22333344734732201302113LxLxLyLyFuFEtuFvvF对称(6)载荷移置：载荷移置：231/,0,0.25xyL xL xfN m fFF 0.250.2500TLF有限元求解例：有限元求解例：.233470 253470 253220130021130uEtuvv对称701332732141332044274021201342003272120021413EtK 对称上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用(7)求解线性方程组：求解线性方程组：.23342 4512 453 563 56uuEtvv 11223344Tuvuvuvuv S S有限元求解例：有限元求解例：1002.4502.453.5603.56TEt.003 032 0 2312 451 016 0 680012 1 2 02 453 56EEt.0 2510 130t2.453.563 032 0 23101 016 0 683.56012 12 000EEt0.2510.130t从材料力学角度从材料力学角度思考，两个单元思考，两个单元内应力为何相等？内应力为何相等？上 海 工 程 技 术 大 学有 限 元 分 析 与 应 用
