1、第一章第一章勾股定理勾股定理复习回顾复习回顾一、知识体系一、知识体系勾勾股股定定理理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。定义：定义：勾股定理勾股定理验证方法：验证方法：割补法、拼接法割补法、拼接法1 1、勾股定理、勾股定理的逆定理：的逆定理：直角三角直角三角形的判别形的判别条件条件如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a、b b、c c满足满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。2 2、勾股数：、勾股数：满足满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2的三个正整数，称为勾股数。的三个
2、正整数，称为勾股数。勾股定理勾股定理的应用的应用在直角三角形中，已知两条边的长，可以在直角三角形中，已知两条边的长，可以根据勾股定理求出第三边的长。根据勾股定理求出第三边的长。立体图形上两点立体图形上两点之间的最短距问题之间的最短距问题求圆柱上两点之间的最短距离求圆柱上两点之间的最短距离生活中的实际应用生活中的实际应用判定三角形的形状判定三角形的形状求直角三角求直角三角形的边长：形的边长：a a2 2+b+b2 2 c c2 2,锐锐角三角形角三角形；a a2 2+b+b2 2 c c2 2,钝钝角三角形；角三角形；a a2 2+b+b2 2=c c2 2,直直角三角形角三角形；求长方体上两点
3、之间的最短距离求长方体上两点之间的最短距离二、考点解析二、考点解析考点一：勾股定理概念的考察考点一：勾股定理概念的考察【例【例1 1】在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（内容指的是（）A.A.如果直角三角形的两条直角边分别为如果直角三角形的两条直角边分别为a a，b b，斜边为，斜边为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2B.B.如果直角三角形的三边分别为如果直角三角形的三边分别为a a，b b，c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2C.C.如果三角形的三
4、边分别为如果三角形的三边分别为a a，b b，c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2D.D.如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a，b b，c c满足满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 ，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形二、考点解析二、考点解析考点一：勾股定理概念的考察考点一：勾股定理概念的考察【变【变1.11.1】已知一个直角三角形的两条边长分别为已知一个直角三角形的两条边长分别为3 3和和5 5，则第三边长的平方为，则第三边长的平方为（）A.A.16 16 B.B.4 4或或34 34 C.C.1616或或34 34 D.D.4 4或或
5、2424 应用勾股定理时，要应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，若没分清直角边和斜边，若没有明确，则需分情况进行有明确，则需分情况进行讨论，以免漏解。讨论，以免漏解。如图，在 中，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为_二、考点解析二、考点解析考点二：利用勾股定理求边长考点二：利用勾股定理求边长【例【例2 2】如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索ABAB的长度为的长度为5 5米，若将它往水平米，若将它往水平方向向前推进方向向前推进3 3米（即米（即DE=3DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为
6、（度为（）A.A.1 1 B.B.2 2 C.C.3 3 D.D.4 4 三角形边长的求解思路三角形边长的求解思路一找直角：找出图中的直角三角形或作辅助线构造直角三角形；二定关系：找出所求线段与直角三角形已知边的关;三计算：根据勾股定理计算相关线段的长度。如图，在 中，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为_二、考点解析二、考点解析考点一：利用勾股定理求边长考点一：利用勾股定理求边长【变【变2.12.1】如图，如图，已知已知RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，AC=6AC=6，BC=8BC=8，CDABCDAB，则，则CDCD等于等于（）A.A.4.84.8 B.B.1414
7、 C.C.1010 D.D.2.42.4ACBD如图，在 中，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为_二、考点解析二、考点解析考点二：利用勾股定理求折叠图形中的线段长考点二：利用勾股定理求折叠图形中的线段长【变【变2.22.2】如图，如图，在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=10AB=10，AD=6AD=6，E E为为BCBC上一点，把上一点，把CDECDE沿沿DEDE折叠，折叠，使点使点C C落在落在ABAB边上的边上的F F处，则处，则CECE的长的长_._.解题通法：利用勾股定理求折叠问题中线段长的思路解题通法：利用勾股定理求折叠问题中线段长的思路设一条未知线段的长为x（一般设所求
8、线段的长为x）；用已知数或含x的代数式表示出其他线段的长；在直角三角形中应用勾股定理列出关于x的方程：解这个方程，从而求出线段的长。如图，在 中，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为_二、考点解析二、考点解析考点三：利用勾股定理求图形的面积考点三：利用勾股定理求图形的面积【例【例3 3】如图，在如图，在ABCABC中，中，A=90A=90，则三个半圆面积，则三个半圆面积S1S1，S2 S2，S3S3的关系的关系_如图，在 中，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为_二、考点解析二、考点解析考点三：利用勾股定理求图形的面积考点三：利用勾股定理求图形的面积【变【变3.13.1】如图，由两个直角三
9、角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是角边长分别是1313，1212则图中阴影部分的面积是（则图中阴影部分的面积是（）A.16A.16 B.25B.25C.144C.144 D.169D.169二、考点解析二、考点解析考点四：判断三角形的形状考点四：判断三角形的形状1 1、勾股定理的逆定理：、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，那么这个三角形是直角三角形直角三角形 2 2、勾股数：、勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17
10、；9、40、41；三边之间的数量关系判断三角形的形状二、考点解析二、考点解析考点四：判断三角形的形状考点四：判断三角形的形状【例【例4 4】在在ABCABC中，若中，若ACAC2 2-BC-BC2 2=AB=AB2 2，则（，则（）A.A.A=90A=90 B.B.B=90B=90 C.C.C=90C=90 D.D.无法确定无法确定【变变4.14.1】已知三角形的三边长为已知三角形的三边长为a a、b b、c c，如果，如果 则则ABCABC是（）是（）A.A.以以a a为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形 B.B.以以b b为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形 C.C.以以c c为斜边的直角
11、三角形为斜边的直角三角形 D.D.不是直角三角形不是直角三角形二、考点解析二、考点解析考点四：判断三角形的形状考点四：判断三角形的形状【变变4.24.2】如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BC=10BC=10，D D为为ABAB上一点，上一点，CD=8CD=8，BD=6.BD=6.（1 1）求证：）求证：CDB=90CDB=90；（2 2）求）求ACAC的长；的长；ACBD二、考点解析二、考点解析考点五：利用勾股定理求最短路线长考点五：利用勾股定理求最短路线长确定圆柱上的最短路线确定圆柱上的最短路线（1）将圆柱的侧面展开为一个长方形；（2）确定相应点的位置；（3）连接相
12、应点，构造直角三角形；（4）利用勾股定理求解。二、考点解析二、考点解析考点五：利用勾股定理求最短路线长考点五：利用勾股定理求最短路线长【例【例5 5】已知某植物绕着树干向上生长：已知某植物绕着树干向上生长：（1 1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为30cm30cm，绕行，绕行一圈升高（即圆柱的高）一圈升高（即圆柱的高）40cm40cm，则它绕行一圈的长度是多少？，则它绕行一圈的长度是多少？（2 2）如果树干的周长为）如果树干的周长为80cm80cm，绕行一圈的长度是，绕行一圈的长度是100cm100cm，绕，绕1010圈到达树顶，则树干高多少米
13、？圈到达树顶，则树干高多少米？AB二、考点解析二、考点解析考点五：利用勾股定理求最短路线长考点五：利用勾股定理求最短路线长（1）右侧面向前展开右侧面向前展开：AB2=(a+b)2+c2=a2+b2+c2+2ab（2）上底面向前展开上底面向前展开：AB2=(c+b)2+a2=a2+b2+c2+2bc（3）上底面向左展开上底面向左展开：AB2=(a+c)2+b2=a2+b2+c2+2ac当c最大时，AB最短；当a最大时，AB最短；当b最大时，AB最短；敲黑板：敲黑板：展开长方体相邻两个面时，最长棱单独做展开之后长展开长方体相邻两个面时，最长棱单独做展开之后长方形的一边时，对角线最短。方形的一边时，
14、对角线最短。二、考点解析二、考点解析考点五：利用勾股定理求最短路线长考点五：利用勾股定理求最短路线长【例【例5 5】如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A A处，一只苍蝇在这个长方处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点体的对角顶点G G处，若处，若AB=3cm,AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,BC=5cm,BF=6cm,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓住苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？能最快抓住苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？ABCDEHGF二、考点解析二、考点解析考点六：勾股定理在实际问题中的应用考
15、点六：勾股定理在实际问题中的应用运用勾股定理解决实际问题的一般步骤为：运用勾股定理解决实际问题的一般步骤为：从实际问题中抽象出几何图形（建模）（建模）；确定要求的线段所在的直角三角形直角三角形（不是Rt的作辅助线构造）；找准直角边和斜边，根据勾股定理确定等量关系，列出等式等式：求得结果.二、考点解析二、考点解析考点六：勾股定理在实际问题中的应用考点六：勾股定理在实际问题中的应用【例【例6 6】在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C C处需要爆破，已知点处需要爆破，已知点C C与与公路上的停靠点公路上的停靠点A A的距离为的距离为80080
16、0米，与公路上另一停靠点米，与公路上另一停靠点B B的距离为的距离为600600米，且米，且CACBCACB，如图，为了安全起见，爆破点如图，为了安全起见，爆破点C C周围半径周围半径450450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路路ABAB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明.二、考点解析二、考点解析考点六：勾股定理在实际问题中的应用考点六：勾股定理在实际问题中的应用【变【变6.16.1】如图，在离水面高度为如图，在离水面高度为8 8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，
17、开始时绳子CBCB的的长为长为1717米，此人以米，此人以1 1米每秒的速度收绳，米每秒的速度收绳，7 7秒后船移动到点秒后船移动到点D D的位置，问船向岸边移动了的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）多少米？（假设绳子是直的）二、考点解析二、考点解析考点六：勾股定理在实际问题中的应用考点六：勾股定理在实际问题中的应用【变【变6.26.2】“道路交通管理条例道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过7070千米千米/小时。如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车小时。如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪速检测仪A A正前方正前方3030米米B B处，处，2 2秒后，测得小汽车秒后，测得小汽车C C与车速检测仪与车速检测仪A A的距离为的距离为5050米，这辆小米，这辆小汽车超速了吗？汽车超速了吗？
