1、1.蒙持卡罗方法的基本思想2.随机数和伪随机数的产生3.任意分布的伪随机数的抽样4.蒙特卡罗方法的特点及其局限性5.蒙持卡罗方法计算积分 6.M-C在材料科学中的应用 7.M-C应用程序简介 蒙特卡罗(Monte-Carlo，简写为M-C)方法属于计算数学的一个分支，它是在二十世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的，但它与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。因而蒙特卡罗方法在近十年来发展很快，特别是随着快速电子计算机的发展，蒙特卡罗方法得到了迅速发展与广泛应用。蒙特卡罗方法也称随机抽样技术(R
2、andom Sampling Technique)或统计试验方法(Method of Statistical Test)。蒙特卡罗是欧洲摩纳哥国的一个重要城市，以赌博著称。蒙特卡罗方法是以概率论与数理统计学为基础的，是通过统计试验达到计算某个量的目的。而赌博时，概率论是一种有力的手段。所以，以蒙特卡罗作为方法的名字，原因大概于此。蒙特卡罗方法不仅可作为理论和实验的补充，同时可可以给出关于体系的实验可观测物理量和通过现有实验所无法观测的物理量的值。如光子和中子的联合输运问题的模拟实验研究和可任意改变系统中的相互作用势；即便是对实验中难以达到的某种极限条件，它也能很容易的实现！由于蒙特卡罗方法是利
3、用一连串的随机数来求解问题的，因此求解随机过程，放射性衰变和布朗运动等问题，它是很有效的。它主要适用于原子尺度和显微尺度的模拟,是一种随机模拟方法。它假设系统由哈密顿(Hamiton)模型来描述,可观测量为模型系统状态的系综合平均。MC 法计算的粒子瞬时分布很接近实际情况,但粒子运动的却与实际情况有差异。MC 法用随机数来控制粒子运动,并使其符合Boltzmann 分布,因此,用MC 法研究物质体系平衡性质是可靠的,用它研究动力学性质就必须谨慎。原子能工业原子能工业线性规划、计算机研制、计算机模拟试验、解决多体问题线性规划、计算机研制、计算机模拟试验、解决多体问题物理、化学、地质、石油物理、化
4、学、地质、石油2.1 蒙持卡罗方法的基本思想用下述两个例子，说明蒙特卡罗方法的基本思想。例1产品合格率的计算 示例：抽取件数N5106015060090012001800产品合格数M575313154882010911631合格率P10.7000.8830.8730.9130.9110.9090.906分析：例2射击问题(打靶游戏)设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，g(r)表示击中r处相应的得分数(环数)，分布密度函数f(r)表示该运动员的弹着点分布，它反映运动员射击水平。为进一步阐明这个思想，我们再举个例子：计算积分蒙特卡罗方法的基本思想 通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率
5、 通过某种“试验”的方法，得到这个随机变数的平均值 首先要建立一个随机模型 然后要制造一系列的随机数用以模拟这个过程 最后要作统计性的处理 关于建立随机模型，因问题而异。=+2.2 随机数和伪随机数的产生 2.2.2 随机数随机数 2.3 2.3 任意分布的伪随机数的抽样任意分布的伪随机数的抽样2.4 2.4 蒙特卡罗方法的特点及其局限性蒙特卡罗方法的特点及其局限性 X0.50.67450.051.960.013改进的方法之一是减少方差。由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样的简单子样X1，X2，XN的算术平均值：的算术平均值：作为所求解的
6、近似值。由大数定律可知，作为所求解的近似值。由大数定律可知，如如X1，X2，XN独立同分布，且具有有限期望独立同分布，且具有有限期望值（值（E(X)），则），则 即随机变量即随机变量X的简单子样的算术平均值，当子样的简单子样的算术平均值，当子样数数充分大时，以概率充分大时，以概率1收敛于它的期望值收敛于它的期望值E(X)。一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样
7、的费用（使用计算机的时间）两者来衡量。的费用（使用计算机的时间）两者来衡量。这就是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为方差这就是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为方差的平方与的平方与c的乘积，其中的乘积，其中c是观察一个子样的平均费用。是观察一个子样的平均费用。显然乘积越小，方法越有效。显然乘积越小，方法越有效。蒙特卡罗方法的特点：误差容易确定 具有同时计算多个方案多个未知量的能力蒙特卡罗方法的局限性 2.5 蒙持卡罗方法计算积分 现从p(x)抽取随机变量X的N个样本：Xi，i1，2，N，则算术平均值 用M-C方法求解的步骤是：如果随机变量如果随机变量Y，其期望值为，其期望值为*，即，即2.5.
8、2 无偏估计 马氏体相变的模拟马氏体相变的模拟,合金的有序合金的有序-无序转变相无序转变相关特性的模拟关特性的模拟,合金沉积过程的模拟合金沉积过程的模拟,一级相变的一级相变的模拟模拟,对晶粒生长和晶粒边界偏析的模拟等。对晶粒生长和晶粒边界偏析的模拟等。2.6 M-C在材料科学中的应用在材料科学中的应用 正常晶粒生长基本模型相同类型的晶粒间具相同类型的晶粒间具有高能边界的晶界能有高能边界的晶界能图图 2.7 M-C应用程序简介 建立完善的通用蒙特卡罗程序可以避免建立完善的通用蒙特卡罗程序可以避免大量的重复性工作，并且可以在程序的大量的重复性工作，并且可以在程序的基础上，开展对于蒙特卡罗方法技巧的
9、基础上，开展对于蒙特卡罗方法技巧的研究以及对于计算结果的改进和修正的研究以及对于计算结果的改进和修正的研究，而这些研究成果反过来又可以进研究，而这些研究成果反过来又可以进一步完善蒙特卡罗程序。一步完善蒙特卡罗程序。1）M-C方法应用软件的特点方法应用软件的特点2）常用的通用蒙特卡罗程序简介常用的通用蒙特卡罗程序简介MCNP程序输入的描述：MCNP的输入包括几个文件，但主要的一个是由用户编写的的输入包括几个文件，但主要的一个是由用户编写的INP文件，文件，该文件包括描述问题所必须的全部输入信息。文件采用卡片结构，每行该文件包括描述问题所必须的全部输入信息。文件采用卡片结构，每行代表一张卡片，文件
10、由一系列卡片组成，对于任一特定的问题，只需用代表一张卡片，文件由一系列卡片组成，对于任一特定的问题，只需用到到INP全部输入卡片的一小部分。全部输入卡片的一小部分。MCNP输入文件中物理量的单位输入文件中物理量的单位长度厘米能量MeV时间10-8 秒温度MeV（kT）原子密度1024 个原子/厘米3质量密度克/厘米3截面10-24 厘米2原子量中子质量的1.008664967倍阿伏加德罗常数6.0231023 思考题 M-CM-C方法的基本思想是什么方法的基本思想是什么?它适合与解决材料它适合与解决材料设计与模拟中的哪类问题，而不适宜与解决哪设计与模拟中的哪类问题，而不适宜与解决哪类问题？类问题？马尔科夫（马尔科夫（MarkovMarkov）过程与非马尔科夫）过程与非马尔科夫（MarkovMarkov）过程有何区别？）过程有何区别？蒙特卡罗方法的特点及其局限性有哪些？蒙特卡罗方法的特点及其局限性有哪些？M-CM-C方法在材料科学中有哪些应用？方法在材料科学中有哪些应用？正常晶粒生长与异常晶粒生长的概念？晶粒生正常晶粒生长与异常晶粒生长的概念？晶粒生长直接原因有哪些？长直接原因有哪些？正常晶粒生长基本模型的解释？正常晶粒生长基本模型的解释？晶粒生长图形生成的方法？晶粒生长图形生成的方法？
