1、向量基本定理1.共线向量定理如果a0，且ba，则存在唯一的实数，使得b=a。如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得ABAC.uuruuu r【思考】（1）定理中的条件“a0”能否省略，为什么？提示：不能。如果a=0，b0，不存在实数，使得b=a。如果a=0，b=0，则对任意实数，都有b=a。（2）这里的“唯一”的含义是什么？提示：如果还有b=a，则有=。2.平面向量基本定理（1）定理：如果平面内的两个向量a，b不共线，则对该平面内的任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得c=xa+yb。（2）基底：平面内不共线的两个向量a，b组成的集合a，b称为该平面上向
2、量的一组基底。【思考】（1）定理中的“不共线”能否去掉？提示：不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底。（2）平面内的每一个向量都能用a，b唯一表示吗？提示：是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底。（）（2）若a，b是同一平面内两个不共线向量，则xa+yb（x，y为实数）可以表示该平面内所有向量。（）（3）若ae1+be2=ce1+de2（a，b，c，dR），则a=c，b=d。（）（4）基底向量可以是零向量。（）提示：
3、（1）。根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底。（2）。根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由不共线向量a，b线性表示。（3）。当e1与e2共线时，结论不一定成立。（4）。基底向量是不共线的，一定是非零向量。2.已知AD是ABC的BC边上的中线，若 =a，=b，则 =（）A.（a-b）B.-（a-b）C.-（a+b）D.（a+b）ABuurACuuu rADuuu r12121212【解析】选D。如图所示，因为 ，所以 （a+b）。AE ABAC 2ADuur uuruuu ruuu r1AD2uuu r3.设向量a，b不平行，向量a+b与a+2b平行，则实
4、数=_。【解析】因为向量a+b与a+2b平行，所以a+b=k（a+2b），则 所以=。答案：k,12k,1212类型一共线向量定理的应用【典例】设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a=2e1-e2，与向量b=e1+e2（R）共线时，的值为（）A.0B.-1C.-2D.-12【思维引】利用向量共线定理解答。【解析】选D。因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立。即e1+e2=u（2e1-e2）=2ue1-ue2，所以 解得=-。1212u,u ，【素养探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本例若把条件“向量b=e1+e2（R）”改为“向量b=2me1+
5、ne2（m，nR）”其他条件不变，试求m+n的值。【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立。即2me1+ne2=u（2e1-e2）=2ue1-ue2。所以 所以m+n=0。2m2n，【类题通】向量共线定理：b与a（a0）共线b=a是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值。【习练破】已知非零向量e1，e2不共线。欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值。【解析】因为ke1+e2与e1+ke2共线，所以存在唯一实数，使ke1+e2=（e1+ke2），即（k-）e1=（k-1）e2，由于e1与e2不共线，只能有 所以k=1。k0
6、k 10 ，【加练固】设两个不共线的向量e1，e2，若向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数，使向量d=a+b与向量c共线？【解析】因为d=（2e1-3e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（3-3）e2，要使d与c共线，则存在唯一实数k使d=kc，即：（2+2）e1+（-3+3）e2=2ke1-9ke2。由得=-2，故存在这样的实数和，只要=-2，就能使向量d与c共线。222k339k,，类型二平面向量基本定理的理解【典例】1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（）A.
7、B.C.D.ADABDABCCADCODOBuuu ruuruuu ruuruuu ruuu ruuu ruur与；与；与；与，2.（2019泰安高一检测）如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是（）A.若存在实数1，2，使1e1+2e2=0，则1=2=0B.空间任一向量a可以表示为a=1e1+2e2，其中1，2RC.对实数1，2，1e1+2e2不一定在平面内D.对平面中的任一向量a，使a=1e1+2e2的实数1，2有无数对【思维引】1.根据基底的构成条件判断。2.由平面向量基本定理内容理解判断。【解析】1.选B。不共线；，则 共线；不共线；，则 共线。由平面内向量基底的
8、概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意。ADABuuu ruur与DABC uuu ruurDABCuuu ruur与CADCuuu ruuu r与ODOB uuu ruurODOBuuu ruur与2.选A。选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面内任一向量都可表示为1e1+2e2的形式，故1e1+2e2一定在平面内；选项D错误，这样的1，2是唯一的，而不是有无数对。【内化悟】两个向量能否作为一组基底的条件是什么？提示：两个向量在同一平面内，且不共线。【类题通】对平面向量基本定理的理解（1）在平面内任一向量都可以沿两个不共线的
9、方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0=xa+yb，且x=y=0。（2）对于固定的不共线向量a，b而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组。【习练破】已知平面向量e1，e2是一组基底，实数x，y满足（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6e1+3e2，则x-y=_。【解析】因为平面向量e1，e2是一组基底，所以向量e1，e2不共线，所以 解得x-y=3。答案：33x4y6,2x3y3，类型三用基底表示向量角度1线性运算法【典例】（
10、2019洛阳高一检测）若D点在三角形ABC的边BC上，且 ，则3r+s的值为（）CD 4DB rABsACuuu ruuu ruuruuu r161284A.B.C.D.5555【思维引】利用三角形或平行四边形法则。【解析】选C。如图因为所以所以r=，s=-，所以3r+s=CD 4DB rABsACuuu ruuu ruuruuu r，44CDCB(AB AC)55uuu ruuruur uuu rrABsACuuruuu r，45451248.555【素养探】本题考查平面向量基本定理与向量的线性运算，解答时一般要结合图形分析，体现了直观想象的核心素养。本例若改为“”，其他条件不变，求r+s的
11、值。CD 3DB rABsACuuu ruuu ruuruuu r【解析】因为所以所以r=，s=-，所以r+s=-=0。CD 3DB rABsACuuu ruuu ruuruuu r，33CDCB(AB AC)rABsAC44uuu ruuruur uuu ruuruuu r，34343434角度2向量方程组法【典例】已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a=3e1-2e2，b=-2e1+e2，c=7e1-4e2，试用向量a和b表示c。【思维引】利用向量方程组法，设c=xa+yb，用待定系数法求出x，y。【解析】因为a，b不共线，所以可设c=xa+yb，则xa+yb=x（3e1-2e2）+y
12、（-2e1+e2）=（3x-2y）e1+（-2x+y）e2=7e1-4e2。又因为e1，e2不共线，所以 解得 所以c=a-2b。3x2y7,2xy4，x1,y2,【类题通】平面向量基本定理的作用及注意点（1）根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量。用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算。（2）解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量。【发散拓】平面向量基本定理的推广定理：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯
13、一。【延伸练】如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若 =a，=b，用a，b表示 =（）ABuurADuuu rAGuuu rA.a+bB.a+bC.a-bD.a+b1414341434341313【解析】选D。易知 设 ，则由平行四边形法则可得 由于E，G，F三点共线，则2+2=1，即=，从而 从而 （a+b）。11CFCD CECB.22uu ruuu r uuruur，CGCAuuu ruuu rCG(CBCD)2 CE2 CF uuu ruuruuu ruuruu r，141CGCA4uuu ruuu r，33AGAC44uuu ruuu r【习练
14、破】如图，在AOB中，=a，=b，设 而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量 。OAuuu rOBuurAM 2MBON 3NAuuu ruuu r uuu ruuu r，OPuur【解析】=a+（b-a）=a+b。因为 共线，令 又设 =（1-m）a（1-m）+mb。22OM OAAM OAAB OA(OB OA)33uuu r uuu ruuu r uuu ruur uuu ruur uuu r231323OPOMuuruuu r与12OPtOMOPt().33uuruuu ruur，则abOPuur3ONmOB4uuu ruur所以 所以所以t31m 342tm3（），3m59 t10，33OP.105uurab
