1、工程流体力学第四章第四章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析 本章主要介绍流体力学中的本章主要介绍流体力学中的相似原理相似原理，模型实验方法模型实验方法以及以及量纲分析法量纲分析法。解决流体解决流体力学问题力学问题的方法的方法数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验解决流体解决流体力学问题力学问题的方法的方法数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验解决流体解决流体力学问题力学问题的方法的方法数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验 表征表征流动流动过程过程的物的物理量理量 描述几何形状的描述几何形状的如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速
2、度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的如质量力、表面力、动量等 按性质分应应满满足足的的条条件件一一.几何相似（空间相似）几何相似（空间相似）定义：定义：模型和原型的全部对应线形长度的模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数比值为一定常数 。lChhllLL（4-14-1）以上标以上标“”表表示模型的有关量示模型的有关量 :长度比例尺（相似比例常数）长度比例尺（相似比例常数）lC面积比例尺面积比例尺:222lACllAAC（4-2）体积比例尺体积比例尺:333lVCllVVC（4-3）图图4-1 4-1 几何相似几何相似 满足上述条件，流满足上述条件，流动才能几何相似动才能
3、几何相似 定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。等，即它们的速度场（加速度场）相似。图图4-24-2速度场相似速度场相似 加速度比例尺加速度比例尺:（4-6）lvtvaCCCCtvtvaaC2注：长度比例尺和速度比例尺注：长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。确定所有运动学量的比例尺。时间比例尺时间比例尺:速度比例尺速度比例尺:312123ttttCttt（4-4）tlvCCtltlvvC（4-5）运动粘度比例尺运动粘度比
4、例尺:体积流量比例尺体积流量比例尺:（4-7）VltlVVqVCCCCtltlqqC2333（4-8）vltlvCCCCtltlvvC222第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似三三.动力相似（时间相似）动力相似（时间相似）定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似致、大小互成比例，即它们的动力场相似。图图4-3 4-3 动力场相似动力场相似 （4-104-10）2233vlFCCCtvltvlC又由牛顿定律可知：又由牛顿
5、定律可知：其中：其中：为流体的密度比例尺。为流体的密度比例尺。C第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似（4-94-9）IIttppFFFWWFFFFC力的比例尺：力的比例尺：动力粘度比例尺动力粘度比例尺:功率比例尺功率比例尺:（4-13）CCCCCFvvFPPCvlvFP32（4-14）CCCCCCvl有了模型与原型的密度比例尺，长有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。们确定所有动力学量的比例尺。压强（应力）比例尺压强（应力）比例尺:力力矩（功，能）矩（功，能）比例尺比例尺:CCCCCFllFMMCvllFM2
6、3（4-11）CCCCAFAFppCvAFppp2（4-12）定义：在定义：在几何相似几何相似的条件下，两种物理现的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则象保证相似的条件或准则 。4-10)4-10)122vlFCCCC（4-154-15）2222 vlFvlF（4-164-16）NevlF22（4-174-17）当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是 NeNe 称为称为牛顿数牛顿数，它是作用力与惯它是作用力与惯性力的比值。性力的比值。Ne 一、重力相似准则一、重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则
7、）二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则）三、压力相似准则三、压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则）四、弹性力相似准则四、弹性力相似准则(柯西准则柯西准则)五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则）六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则）流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。则。glFCCCVggVWWC3将重力比将重力比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：121glvCCC 21
8、21 glvlgv Frglv21 （4-18）（4-19）（4-20）称为称为弗劳德数弗劳德数，它是惯性力与重力它是惯性力与重力的比值。的比值。Fr当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是（弗劳德准则）（弗劳德准则）重力场中重力场中 ，则则：1,gCgg21lvCC（a）将粘性力之比将粘性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：（4-21）（4-22）（4-23）（b）FlvCC C C1CCCClv1vlvCCCvllv vllv Revlvl 称为称为雷诺数雷诺数，它是惯性力与粘它是惯性力与粘
9、性力的比值。性力的比值。Re当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是（雷诺准则）（雷诺准则）模型与原型用同一种流体时，模型与原型用同一种流体时，则：，则：1CClvCC1 （4-24）（4-25）（4-26）当压强用压差代替：当压强用压差代替：将压力比将压力比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：2lpFCCpAApFFC12vpCCC22vpvpEuvp2 称为称为欧拉数欧拉数，它，它是总压力与惯性力是总压力与惯性力的比值。的比值。Eu当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。当模型与原型
10、的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。这就是这就是（欧拉准则）（欧拉准则）2vpEu22vpvp（4-27）（4-28）将弹性力之比将弹性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：2lkeeFCCVdVKAVdVAKdpAAdpFFC（4-29）12kvCCC（4-30）KvKv22（4-31）CaKv2 称为称为柯西数柯西数，它是，它是惯性力与弹性力的惯性力与弹性力的比值。比值。Ca当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（柯西准则）（柯西准则）CaaC若流场中的流体为气体，由于若流场
11、中的流体为气体，由于 （c c 为声速）为声速）则弹性力之比则弹性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：（4-32）2cK22lcFCCCC1cvCC（4-33）cvcv（4-34）Macv 称为马赫数，它称为马赫数，它是惯性力与弹性力是惯性力与弹性力的比值。的比值。Ma当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（马赫准则）（马赫准则）MaMa 称为称为马赫数马赫数，它，它是惯性力与弹性力是惯性力与弹性力的比值。的比值。当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦当模型与原型的弹性
12、力相似，则其马赫数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是（马赫准则）（马赫准则）将表面张力之比将表面张力之比 带入式带入式(4-154-15)得得:lFCCllFFC（4-35）12CCCCvl（4-36）lvlv22（4-37）Welv2 称为称为韦伯数韦伯数，它，它是惯性力与表面张是惯性力与表面张力的比值。力的比值。We当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（韦伯准则）（韦伯准则）WeWe （4-38）（4-39）（4-40）将惯性力之比将惯性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得
13、：13tvlxxItItFCCCCtvVtvVFFC1tvlCCCvtltvl Srvtl 称为称为斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。性力的比值。Sr当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则）SrSr 以上给出的以上给出的牛顿数牛顿数、弗劳德数弗劳德数、雷诺数雷诺数、欧拉欧拉数数、柯西数柯西数、马赫数马赫数、韦伯数韦伯数、斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数均称均称为相似准则数。为相似准则数。如果已经有了某种流动
14、的运动微分方程，可由该如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。令方程中的有关力与惯性力相比。流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。都成比例。v1 1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；v2 2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即相似流场对应点上的各种物
15、理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件；流动满足单值条件；v3 3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。相似也必须满足的条件。v1 1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质；型，选择流动介质；v2 2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；v3 3用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及
16、其他相似流动中去。式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。图图4-4 4-4 油池模油池模型型 以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是是几何相似几何相似、运动相似运动相似和和动力相似动力相似。前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。型设备中去。简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可简化模型实验
17、方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用采用和和。在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为之为。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数虑雷诺数ReRe，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这
18、两个数自模拟了。又比个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又比如，在圆管流动中，当如，在圆管流动中，当Re2320Re2320时，管内流动的速度分布都是一时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当轴对称的旋转抛物面。当Re4Re4105105管内流动状态为紊流状态，其管内流动状态为紊流状态，其速度分布基本不随速度分布基本不随ReRe变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的虑模型的ReRe与原型的与原型的ReRe相等否，只要与原型所处同一模化区即可。相等否，只要与原型所处同一模化区即可。图图4-5 4-5 弧型闸门弧型闸门 图图4
19、-6 4-6 内装蝶阀的管道内装蝶阀的管道 一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则二、瑞利法二、瑞利法三、三、定理定理 1.1.基本量纲：基本量纲：(独立量纲)长度(L)时间(T)质量(M)2.2.导出量纲：导出量纲：3.3.一致性原则一致性原则物理方程中要求每一项量纲都相同例:量纲为L.22vpzhgg 1.1.定义定义：根据量纲量一致性原则，确定 相关量的函数关系。312123.naaaanykx x xx2.举例：图图4-74-7 三角堰三角堰 1.选取影响流动的 n 个物理量写出下述函数关系如 (1)2.选择 m 个独立变量，原则是要既相互独立，又包含三个基本量纲.一般选 :几何尺度 速度 质量 12(.)0nF x xxlv13LLTML12nnnxxx3.用 n m 个无量纲写出准则方程 (2)4.求 (3)5.将 带入(2)式，求得 准则方程 12(.)0n mf ii2121iiiiiiabciinnniiabcnnnxxxxxxxx
