1、1/6/2023 命题w一、判断与命题w1 1判断判断w判断是对思维对象有所断定的一种思维形式判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。这里所说的断定，就是“肯定”或“否定”事物的某种性质或事物之间有某种关系。如：是无理数；它不是一位教师。w判断作为一种思维形式，具有两个基本的逻辑特征：1/6/2023w（1 1）必须有断定）必须有断定。w 凡判断不是肯定某种事物的情况，就是否定某种情况。不作肯定或否定的不是判断。如三角形ABC是等腰三角形吗？雪是白色的吗？都不是判断。w（2 2）必须有真假）必须有真假。w 如果一个判断符合客观现实情况，那么这个判断是真实的；否则就是假的。例如，“1是质数”就是
2、一个假判断。1/6/2023w2 2判断的种类判断的种类w 判断可按不同标准进行分类，首先按判断本身是否还包括其它判断，把一切判断分为简单判断和复合判断。w 简单判断w 本身不再含有其它判断的判断，在简单判断中，可按其判断内容分为性质判断和关系判断 1/6/2023 复合判断复合判断 本身还包含其它判断的判断，在复合判断中，按照组成复合判断的各简单判断之间的结合情况如何，将其区分为负判断、联言判断、选言判断、假言判断等，我们这里不一一介绍。1/6/2023w3 3命题及其基本运算命题及其基本运算w（1）命题的意义w 表达判断的陈述语句叫命题表达判断的陈述语句叫命题。在数学中，每一个数学判断的陈
3、述语句，都称为数学命题。数学命题往往用特有的数学语言组合起来进行陈述。如：w 32；ABC是直角三角形。w命题的基本特征是：要么是真，要么是假，不能又真又假。如：x+2=5和x5不能判断真假，所以它们不是命题。1/6/2023 当命题是真命题时，我们称这个命题的值为1，当命题为假时，我们称命题的值为0。这就给命题赋予了真值。命题可用字母A、B、C或p、q、r等表示。1/6/2023w（2 2）命题的基本运算）命题的基本运算w所谓命题的基本运算，就是将命题用逻辑联词联结起来，构建新的命题。命题的基本运算包括以下几种情况：w10 否定（非）w给定命题p，在其前面加上“并非并非”两字，就构成新命题“
4、并非p”，叫做命题p的否定，记作p，读作“非p”。1/6/2023显然然 p 真时，真时，p 一定假，它们的真值完全相反，所以有下一定假，它们的真值完全相反，所以有下列真值表：列真值表：值得注意的是：“命题的否定”与肯定判断值得注意的是：“命题的否定”与肯定判断 p p 换成否定判断是不同的，例如“一切换成否定判断是不同的，例如“一切 s 是是 p”换”换 1 0 成否定判断：“一切成否定判断：“一切 s 不是不是 p”，而否定则是“并”，而否定则是“并 0 1 非一切非一切 s 是是 p”（这里并不排除有些”（这里并不排除有些 s 是是 p）。）。1/6/202320 合合取取（与与、并并且
5、且）给给定定命命题题 p、q，用用逻逻辑辑联联词词“与与”联联结结起起来来得得到到的的新新命命题题“p与与 q”称称为为命命题题 p、q 的的合合取取式式，记记作作“pq”，pq 的的真真值值是是当当且且仅仅当当 p、q 都都真真时时，pq 为为真真，其其余余为为假假，其其真真值值表表如如下下：在在数数学学中中合合取取式式可可以以简简写写，如如（14）（15 可可简简记记为为：1415。又又如如（5 是是质质数数）（7 是是质质数数）p q pq 简简单单叙叙述述为为：5 和和 7 都都是是质质数数。1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1/6/2023 p q pq 30 析析取取
6、（或或）1 1 1 给给定定命命题题 p、q，用用逻逻辑辑联联词词“或或”1 0 1 联联结结起起来来得得到到新新命命题题“p 或或 q”称称为为命命 0 1 1 题题 p、q 的的析析取取式式，记记作作，pq。0 0 0 pq 的的真真值值是是当当 p、q 中中至至少少有有一一个个为为真真 时时，pq 为为真真，否否则则是是假假的的。真真值值表表如如下下：1/6/2023“或”是“可可兼兼”的意思，相当于日常用语中的“或”，如“两条直线平行或相交”就是把“两条直线平行”与“两条直线相交”用“或”联结而成的。1/6/2023p q pp q pq q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
7、 11/6/20231/6/2023 注意，等价式与逻辑等价不一样，注意，等价式与逻辑等价不一样，等价式是由等价式是由 p、q 构成的一个新命题，构成的一个新命题，而逻辑而逻辑等价是指两个命题具有真值等价是指两个命题具有真值 完全相同的关系，即完全相同的关系，即 pq。1/6/2023二、命题运算应用举例二、命题运算应用举例 运用以上的五种逻辑联词及真值表，可以进行命题的多种复合运算。在运算的过程中，还要应用逻辑运算律，这里不做介绍（可参阅有关的逻辑学文献）。这里介绍中学数学中关于命题运算的应用。1/6/20231命命题题的的四四种种关关系系 首首先先我我们们来来研研究究蕴蕴涵涵式式命命题题的
8、的四四种种形形式式。给给出出一一个个数数学学命命题题 若若 p 则则 q，可可以以得得到到如如下下四四种种形形式式：原原命命题题 pq 逆逆命命题题 qp 否否命命题题 逆逆否否命命题题 它它们们的的真真值值表表如如下下：1/6/2023p q pq qp 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 从真值表中得出：pq ，qp 1/6/2023即即原原命命题题与与逆逆否否命命题题逻逻辑辑等等价价；逆逆命命题题与与否否命命题题逻逻辑辑等等价价。如如果果用用命命题题运运算算律律也也可可证证明明上上面面的的等等值值
9、式式：pq qq ，qp pp q 1/6/20231/6/20232 2合并命题合并命题 中学数学教材中是把平行线的两个性质定理分开来叙述的：“若两直线平行，则同位角相等”；“若两直线平行，则内错角相等”，为了简化叙述，可以把这两个定理合并成一个，合并方法如下：设p：两直线平行；q1：同位角相等；q2：内错角相等。1/6/2023两两个个性性质质定定理理的的合合取取式式是是：（pq1）（pq2）（p q1）（p q2）p（q1q2）p（q1q2）这这就就是是“若若两两条条直直线线平平行行则则同同位位角角相相等等且且内内错错角角相相等等”。1/6/2023同同样样对对平平行行线线的的两两个个判
10、判定定定定理理：“若若同同位位角角相相等等两两直直线线平平行行”；“若若内内错错角角相相等等则则两两直直线线平平行行”的的合合并并如如下下进进行行：（q1p）（q2p）（q1p）（q2p）（q1q2）p q1q2 p （q1q2）p 这这两两个个判判定定定定理理的的合合取取式式是是：“两两直直线线被被第第三三条条直直线线所所截截，若若同同位位角角或或内内错错角角相相等等，则则两两直直线线平平行行”。1/6/20233 3逆命题的制作逆命题的制作 逆命题是相对于原命题而言的一种命题形式，交换原命题的题设和结论后即得逆命题。而当命题的条件和结论都是合取式时，对等交换条件和结论分支命题所得的新命题就
11、不能称作逆命题，而应称为偏逆命题。1/6/2023 例例如如：讨讨论论“等等腰腰三三角角形形顶顶角角平平分分线线也也是是底底边边的的中中线线和和高高线线”的的逆逆命命题题和和偏偏逆逆命命题题。解解：如如图图，将将原原命命题题可可写写为为下下面面的的形形式式：（AB=AC）（AD 平分A）A（AD 平分 BC）（ADBC）B D C 1/6/2023其其逆逆命命题题是是：其其偏偏逆逆命命题题是是：1/6/2023w数学推理数学推理w一、推理的意义w 数学中的推理是由一个或几个命题得到一个由一个或几个命题得到一个新命题的思维形式新命题的思维形式。w例如：等腰三角形的两底角相等，w 因为ABC是等腰
12、三角形，w 所以ABC两底角相等。w这是一个推理，是由、得出一个新命题的推理。1/6/2023w又如：（1）矩形的对角线相等，w （2）正方形是矩形，w 所以（3）正方形对角线相等。w也是一个推理。w从以上的推理可看出，推理的结构是由前提、结论和推理形式三部分组成。作为推理出发点的命题，称为前提，如以上两个推理“所以”前面的已知命题都是前提。由前提派生得到的新命题，称为结论。1/6/2023 以上推理中，“所以”后面的命题是结论。由前提派生结论的方式，即前提与结论之间的联系关系，称为推理形式。推理形式是舍去具体的推理内容，由特定形式的命题排列而成的，如上面两个例题中具有共同的推理形式：pq，s
13、p sq1/6/2023 按推理中表现的思维进程看，有以下三种情况的推理，从一般到特殊的推理、从特殊到一般的推理、从特殊到特殊的推理。由此可将推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理。1/6/2023二二、推推理理规规则则 正正确确的的推推理理形形式式称称为为推推理理规规则则，中中学学数数学学中中常常用用的的推推理理规规则则有有：规规则则 1 1 若若 p pq q 真真，且且 p p 真真，则则 q q 真真。即即：（p pq q）p pq q。规规则则 2 2 若若 p pq q 真真，且且 q qr r 真真，则则 p pr r 真真。即即：（p pq q）（q qr r）p pr r 。规
14、规则则 3 3 若若 p pq q 真真，则则 p p 真真；若若 p pq q 真真，则则 q q 真真。即即：（p pq q）p p；（p pq q）q q。规规则则 4 4 若若（p pq q）真真，且且 p p 真真，则则 q q 真真。即即：（p pq q）p pq q。同同样样有有：（p pq q）q q p p。1/6/2023规规则则 5 5 若若 p pq q 真真，且且 q q 真真，则则 p p 真真。即即：（p pq q）q q p p。规规则则 6 6 若若集集合合 A A 中中的的每每一一个个元元素素 x x，都都具具有有属属性性 P P，则则集集合合 A A 中中
15、的的任任一一非非空空子子集集 B B 中中的的每每一一个个元元素素 y y 也也具具有有属属性性P P。即即：xAP（x）（AB）yBP（y）使使用用以以上上推推理理规规则则的的推推理理称称为为演演绎绎推推理理，在在中中学学中中经经常常用用到到。尤尤其其是是其其中中推推理理规规则则 3 3 和和规规则则 6 6，更更是是几几何何推推理理的的常常用用规规则则。1/6/2023w三、推理的类型三、推理的类型w 按照推理结果的确信程度的不同，用二分法可以把推理分为两大类：论证推理和似真推理（波利亚称其为合情推理）。w 论证推理是当推理的前提为真时，结论一定为真的推理。前提和结论的真假关系是必然关系。论证推理是进行证明必备的工具。1/6/2023 似真推理是当推理的前提为真时，结论可能是真也可能是假，前提和结论的真假关系是或然关系。似真推理能不断逼近结论，促使发现结论，不断提高结论的信任度，但并未最后证明结论。论证推理的主要类型有演绎推理和完全归纳推理；似真推理的主要类型是不完全归纳推理和类比推理。下面我们来介绍这几种推理方法。
