1、第三章第三章 3.3 3.3 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析3.3.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念3.3.2 代数判据代数判据3.3.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念例例稳定性的定义稳定性的定义稳定的充要条件稳定的充要条件稳定的必要条件稳定的必要条件例例1例例3例例2课堂练习课堂练习稳定的摆不稳定的摆1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。GH1GRY5G 1.0H 1r 10y 10G 1.0H 2.0H 5G 无限放大直到饱和无限放大直到饱和无输
2、入时因干拢直至饱和无输入时因干拢直至饱和控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a)外加扰动注意：以上定义只适注意：以上定义只适用于线形定常系统。用于线形定常系统。稳定性的定义稳定性的定义(b)稳定(c)不稳定注意：控制系统自身的固有特性，取决于注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。系统本身的结构和参数，与输入无关。大范围稳定大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意：对于线性系统，小范围稳定
3、注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。大范围稳定。(a)不稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。稳定的条件：0lim0 xt稳定的充要条件
4、稳定的充要条件理想脉冲函数作用下 R(s)=1。对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。)()()()()()(.)()(11011101110jjjjKikjinnnnmmmmjsjspsasBsDsBasasasabsbsbsbsRsC)tsinBtcosA(eec)t(cjjr1jjjtk1itpiji由上式知：如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0。k1ir1jjjjjjjii)j(s)j(s spsc)s(R)s(D)s(B)s(C自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关注意：稳定性与零点无关3
5、P2P1P4P5PnPS平面jO0)()()()(110jjjjKikjijsjspsasD系统特征方程结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件系统特征各项系数具有相同的符号，且无零系数。0asa.sasa)s(Dn1n1n1n0设系统 特征根为p1、p2、pn-1、pnn1ii101p)1(aan2iji202pp)1(aan3ikji303ppp)1(aan1iin0np)1(aa各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积全部根具有负实部)1(sTskmmsK0pK1K1T2T0HH_某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。某水位控制系统如图，讨
6、论该系统的稳定性。为被控对象水箱的传递函数；为执行电动机的传递函数；K1为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；H0为希望水位高；H为实际水位高。)1(sTskmmsk0)1(sTskmmsK0pK1K1T2T0HH_由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为210(1)0mpms T sK K K K令 ,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。结构不稳定系统校正装置01KKKKKmp023KssTm无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别
7、系统的稳定性。劳思劳思(routh)判据判据劳思阵列劳思阵列劳思劳思(routh)判据的特殊情况判据的特殊情况3.3.2 代数判据代数判据性质：第一列符号改变次数=系统特征方程含有正实部根的个数。0asa.sasa)s(Dn1n1n1n0131201a|aaaa|b151402a|aaaa|b121311b|bbaa|c131511b|bbaa|c121211c|ccbb|d131312c|ccbb|d10112123214n3213n3212n5311n420ngsfseesdddscccsbbbsaaasaaas劳思阵列劳思阵列特征方程：劳斯阵列：如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等
8、于零系统稳定；如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数第一列中各数”注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳思劳思(Routh)判据判据05s4s3s2s)s(D234劳思判据判定稳定性劳思判据判定稳定性0asa.sasa)s(Dn1n1n1n0131201a|aaaa|b151402a|aaaa|b121311b|bbaa|c131511b|bbaa|c121211c|ccbb|d131312c|ccbb|d10112123214n3213n321
9、2n5311n420ngsfseesdddscccsbbbsaaasaaas劳斯判据判断系统的相对稳定性 特殊情况1：第一列出现0 特殊情况2：某一行元素均为0劳思劳思(Routh)判据的特殊情况判据的特殊情况特殊情况：第一列出现0。02s3s3ss)s(D234各项系数均为正数2s023s2)(0s031s231s01234解决方法：用任意小正数代之。特殊情况1：第一列出现0特殊情况：某一行元素均为006655)(2345ssssssD6s5/2s62/5s010040s651s651s012345解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:06s5s24010413ss2js2,13js4,31s5例如：特殊情况2：某一行元素均为0劳斯阵列出现全零行:系统在系统在s平面有对称分布的根平面有对称分布的根大小相等符号相反的实根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根EX.劳斯判据劳斯判据 1EX.劳斯判据劳斯判据 2
