1、数学数学文科文科 第第 1 页（页（共共 6 页页） 吉林市普通中学 20192020 学年度高中毕业班第三次调研测试 文科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。 注意事项： 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，
2、超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求。 1. 已知集合-1,0,1,2A , |10Bx x ，则AB A. 2 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,0,1 2. 已知复数z满足i z 1 1，则z= A. i 11 22 B. i 11 22 C. i 11 22 D. i 11 22 3. 已知向量( ,3),(3, 3)axb，若ab ，
3、则x A. 3 B. 3 C. 1 D. 1 4. 双曲线 xy C ab 22 22 :1的一条渐近线方程为30xy，则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 3 保 密 数学数学文科文科 第第 2 页（页（共共 6 页页） 5. 已知m n,为两条不重合直线，, 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件 是 A. mn mn, B. mn mn, C. mn m, n, D. mn m, n, 6. 等差数列 n a的前n项和为 n S，若 53 4aa, 15 60S ,则 20 a A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
4、的体积为 A. 10 3 B. 3 C. 8 3 D. 7 3 8. 已知函数( )cos(2)(|) 2 f xx 的一条对称轴为 3 x ，则函数( )f x的对称轴 不可能为 A. 6 x B. 5 6 x C. 4 3 x D. 6 x 9. 已知数列 n a为各项均为正数的等比数列，若aaa 768 26，且aa 59 36，则 aaa 768 111 A. 13 18 B. 13 18 或 19 36 C. 13 9 D. 13 6 10. 已知 b abca 0.2 1 2 1 ( ) 2 ,log 0.2, ，则a b c, ,的大小关系是 A. abc B. cab C. a
5、cb D. bca 22 2 1 正视图正视图 俯视图俯视图 侧视图侧视图 数学数学文科文科 第第 3 页（页（共共 6 页页） 11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 222 年，赵爽为周碑算经一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角 三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1） ） ，类比“赵爽弦图”，可类似地构造 如图（2）所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大 正三角形，设ACCA ,若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率 为 A. 3 3 B. 1 3 C. 7
6、7 D. 1 7 12. 设点P为椭圆 22 :1 2516 xy C上一点， 1 F、 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，且 12 PF F 的重心为点G，如果 12 |:| 2:3PFPF ，那么 1 GPF 的面积为 A. 4 2 3 B. 2 2 C. 8 2 3 D. 3 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13. 若点P在角 5 6 的终边上，且|2OP （点O为坐标原点） ，则点P的坐标为 . 14. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组 数据 1122334455 (,),(,
7、),(,),(,),(,),xyxyxyxyxy根据收集到的数据可知60y ，由最小 二乘法求得回归直线方程为0.648yx，则 12345 xxxxx . 15. 已知两圆相交于两点( ,3),( 1,1)A aB ， 若两圆圆心都在直线xyb0上， 则ab 的 值是 . 16. 已知函数 2ln ,1 ( ) 13 ,1 22 x x f x xx ，若实数 12 ,xx满足 12 xx ， 12 ()()4f xf x,则 12 xx 的取值范围为 . A BC A B C 图（图（1）图（图（2） 数学数学文科文科 第第 4 页（页（共共 6 页页） 三、解答题：共 70 分。解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17.（12 分） 在ABC 中，角A B C, ,的对边分别为a b c, ,，且ABC 的面积为 222 3 () 4 acb. （1）求角B的大小； （2）若2,4,ab 求sinC 18.（12 分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期， 我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生 线上学习。 某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系， 对高三 年级随机选取 45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数
9、学时间不少于 5 小时的有 19 人， 余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占 8 13 ，统计成绩后得到如下2 2列 联表： 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 4 19 线上学习时间不足 5 小时 合计 45 （1）请完成上面2 2列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学 生线上学习时间有关”； （2）在上述样本中从分数不少于 120 分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习 时间不少于 5 小时和线上学习时间不足 5 小时的学生共 5 名，若在这 5 名学生中随机抽取 2 人，求至少 1 人每周线上
10、学习时间不足 5 小时的概率. （下面的临界值表供参考） 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式 n adbc K ab cd ac bd 2 2 () ()()()() 其中nabcd） 数学数学文科文科 第第 5 页（页（共共 6 页页） 19.（12 分） 如图所示，在四棱锥PABCD 中，ABCD,ADABCDDAB 1 ,60 2 ，点 E F,分别为CD AP,的中点. （1）证明：PC面BEF； （2）若PAPD ，且PAPD ，面PAD
11、 面ABCD，求PC与底面ABCD所成角 的正弦值. 20.（12 分） 已知倾斜角为 4 的直线经过抛物线 2 :2(0)Cxpy p的焦点F， 与抛物线C相交于A、 B两点,且| 8AB . （1）求抛物线C的方程； （2）求过点,A B且与抛物线C的准线相切的圆的方程. 21.（12 分） 已知函数 2 ( )ln(1)1( ,).f xxaxabxba bR （1）若0a ，试讨论( )f x的单调性； （2）若对 1 , xe e ，( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围. AB CD E F P 数学数学文科文科 第第 6 页（页（共共 6 页页） （二）选考题：共 10 分。
12、请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y （ 为参数） ，以原点O为极 点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 6 . （1）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设,A B为曲线 1 C上位于第一，二象限的两个动点，且 2 AOB ,射线,OA OB交 曲线 2 C分别于,D C，求AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积. 23.（10 分） 已知, ,a b c均为正实数，函数 222 1
13、11 ( ) | 4 f xxx cab 的最小值为1. 证明： （1） 222 49abc； （2） 111 1 22abbcac . 数学数学文科文科 第第 7 页（页（共共 6 页页） 吉林市普通中学 20192020 学年度高中毕业班第三次调研测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A B D C A D A B D C 二、填空题 13. 3,1; 14. 100； 15. -1； 16. 3 2ln2, 三、解答题 17.解： (1)由已知得 222 3 () 4 acb= 1 sin 2 acB -2 分 222
14、 3sin 2 acb B ac , tan3,B -4 分 (0, ), 3 BB -6 分 (2)由正弦定理得 sinsin ab AB 即 3 sin 4 A -8 分 2 cos1 sinABAA 13 4 -10 分 sinsin()CABsin() 3 A 31133 4242 339 8 . -12 分 18.解： （1） 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 15 4 19 数学数学文科文科 第第 8 页（页（共共 6 页页） 线上学习时间不足 5 小时 10 16 26 合计 25 20 45 -3 分 2 2 45(15 16 1
15、0 4) 7.296.635 25 20 19 26 K -5 分 有 99% 的 把 握 认 为 “ 高 三 学 生 的 数 学 成 绩 与 学 生 线 上 学 习 时 间 有 关 ” - -6 分 （2）依题意，抽到线上学习时间不少于 5 小时的学生 15 53 25 人，设为 1 A, 2 A, 3 A，线上学 习时间不足 5小时的学生2人，设为 1 B, 2 B -8 分 所有基本事件有： 11 (,)B A, 12 (,)B A, 13 (,)B A, 21 (,)B A, 22 (,)B A, 23 (,)B A, 12 (,)B B, 12 (,)A A, 13 (,)A A,
16、23 (,)A A 共10种 -10 分 至少 1 人每周线上学习时间不足 5 小时包括： 11 (,)B A, 12 (,)B A, 13 (,)B A, 21 (,)B A, 22 (,)B A, 23 (,)B A, 12 (,)B B共 7 种 故 至 少1人 每 周 线 上 学 习 时 间 不 足5小 时 的 概 率 为 7 10 （ 或0.7 ） -12 分 19. （1）证明：连接AC交BE于H，连接FH. ,ABCEHABHCE BHACHA ABHCEH -3 分 AHCHFHPC FH 面,FBEPC 面FBE AB CD E F P H O 数学数学文科文科 第第 9 页
17、（页（共共 6 页页） PC面FBE -5 分 （2）取AD中点O，连PO，OB,OC.由PAPD，POAD. 又面PAD面ABCD， PO面ABCD，PCO即为PC与底面所成角 -7 分 设2AD ， 则1P OOD，4DC . 又 由60DAB，120ODC -8 分 在ODC中 ， 由 余 弦 定 理 得 222 2cosOCODDCOD DCODC21 -10 分 22 22PCPOOC -11 分 122 sin 2222 PCO 即PC与底面ABCD所成角的正弦值为 22 22 -12 分 20. 解： （1）由题意设直线AB的方程为 2 p yx，令 11 ( ,)A x y、
18、22 (,)B x y， 联立 2 2 2 p yx xpy 得 2 2 30 4 p ypy -2 分 12 3yyp -3 分 根据抛物线的定义得 12 4AByypp -4 分 数学数学文科文科 第第 10 页（页（共共 6 页页） 又8AB ， 48,2pp 故所求抛物线方程为 2 4xy -5 分 （2）由（1）知 12 36yyp， 1212 4xxyyp AB的中点为(2, 3)M，AB的垂直平分线方程为3(2)yx 即5yx -7 分 设过点,A B的圆的圆心为( ,5)aa， 该圆与C的准线1y 相切， 半径6ra -9 分 圆心( ,5)aa到直线:1AB yx的距离为 2
19、4 2 a d ,8AB 222 24 ()4(6) 2 a a ，解得6a 或2a -11 分 圆心的坐标( 6,11)为，半径为12，或圆心的坐标为(2,3)，半径为4 圆的方程为 22 (6)(11)144xy或 22 (2)(3)16xy -12 分 21. 解： （1）依题意0x，当0a时， 1 ()(1)fxb x -1 分 当1b时 ，()0fx恒 成 立 ， 此 时( )f x在 定 义 域 上 单 调 递 增 ； -3 分 当1b时，若 1 0, 1 x b ，( )0fx；若 1 , 1 x b ，( )0fx 数学数学文科文科 第第 11 页（页（共共 6 页页） 故 此
20、 时( )f x的 单 调 增 、 减 区 间 分 别 为 1 0, 1b 、 1 , 1b -5 分 (2)由 1 ( )21fxaxab x ，又(1)0f， 故( )f x在1x 处取得极大值，从而(1)0 f ，即1210,aabba -7 分 进而得 1 ()221fxaxa x (21)(1)axx x -8 分 当0a时 ， 若 1 ,1x e ，( )0fx则 ； 若1,xe， 则()0fx。 所 以 ( )= (1)0f xf 最大值 故0a符合题意 -10 分 当0a时，依题意，有 1 1 2 ( )0 a f e 即 2 1 2 2 (1) a e a e ，故此时 2
21、2 0 (1) e a e 综上所求实数a的范围为 2 2 (1) e a e -12 分 22. 解： （1）由曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y （为参数）消去参数得 2 2 1 3 x y -2 分 曲线 2 C的极坐标方程为sin()2 6 即sincoscos sin2 66 340xy -4 分 数学数学文科文科 第第 12 页（页（共共 6 页页） （2）依题意得 1 C的极坐标方程为 22 22 cos sin1 3 - 5 分 设 1 (, )A , 2 (,) 2 B , 3 (, )D , 4 (,) 2 C 则 22 22 1 1 cos sin1 3
22、， 22 22 2 2 sin cos1 3 ，故 22 12 114 3 -7 分 22 1212 2114 3 ， 当 且 仅 当 12 （ 即 4 ） 时 取 “=” -8 分 故 12 13 24 AOB S ，即AOB面积的最小值为 3 4 -9 分 此时 34 1122 22 sin() cos() 4646 COD S 4 8 cos 3 故所求四边形的面积为 329 8 44 -10 分 23. 证明 （ 1 ）, ,0a b c ， 222 111 ( ) 4 f xxx abc 222 111 () 4 xx abc 222 111 4abc 222 111 4abc 1 -3 分 由柯西不等式得 222 (4)abc 222 111 () 4abc 2 (1 1 1)9 当且仅当23abc时取“=”。 222 49abc -5 分 （2） 22 112 , abab 22 111 , 4bcbc 22 111 4acac 数学数学文科文科 第第 13 页（页（共共 6 页页） （以上三式当且仅当23abc时同时取“=”） -7 分 将以上三式相加得 211 abbcac 222 111 2()2 4abc 即 111 1 22abbcac -10 分
