1、2.4 二次函数的应用二次函数的应用第二章 二次函数 第1课时 图形面积的最大值学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）导入新课导入新课复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.（1）y=x2-4x-5;(2)y=-x2-3x+4.解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；（2）开口方向：向下；对称轴：x=；顶点坐标：（，）；3-23-2254由于抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y=ax 2+bx+
2、c 有最小（大）值2bxa 244acbya想一想：如何求出二次函数 y=ax 2+bx+c 的最小（大）值？讲授新课讲授新课例1 写出下列抛物线的最值.（1）y=x2-4x-5;解：(1)a=10，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）,当x=2时，y取最小值，最小值为-9;(2)y=-x2-3x+4.(2)a=-10，对称轴为x=,顶点坐标为（，）,当x=时，y取最大值，最小值为 ;3-22543-23-2254求二次函数的最大(或最小)值典例精析例2 已知二次函数yax24xa1的最小值为2，则a的值为()A3 B1 C4 D4或1解析：二次函数yax24xa1有最小值2，a0，y最小值
3、 2，整理，得a23a40，解得a1或4.a0，a4.故选C.244acba24(1)44a aaC引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h=30t-5t 2（0t6）小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t 2 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.几何图形面积的最大面积小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m303225bt
4、a （），2243045445acbha（）t/sh/mO1234562040h=30t-5t 2 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？典例精析例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，当 时，S有最大值 301522(1)bla 2243 02 2 544(1)a cba也就是说，当l是
5、1 15m时，场地的面积S最大.5 510101515202025253030100100200200lsO变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例1有什么不同？Sx(602x)2x260 x.0602x32，即14x30.设垂直于墙的边长为x m，变式2 如图，用
6、一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x m，则26013022xSxxx 问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题6 如何求最值？由于30 30 1818，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.不正确.问题4 如何求自变量的取值范围？0 0 x 18.18.实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取
7、图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.知识要点例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)x
8、xy解：7x+4y+x=15,157.4xxy1570150154xxx，且，0 x1.48.典例精析设窗户的面积是S m2,则2122Sxxy21157224xxxx2715-22xx2715225-().21456x152251.07S4.02.1456x最 大当时，因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02 m2.例3 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少?xyO-3(-2,-2)(2,-2)4米利用二次函数解决拱桥问题当 时，所以，水面下降1
9、m，水面的宽度为 m.3y 6.x 26264所以水面的宽度增加了 m.解：建立如图所示坐标系,2.yax由抛物线经过点（2，-2），可得21.2yx 所以，这条抛物线的解析式为3.y 当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3xyO(-2,-2)(2,-2)1,2a 设二次函数解析式为xyxy 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?4 m4 mOO请同学们分别求出对应的函数解析式.解：设y=ax2+2，将（-2,0）代入得a=y=+2；12212x设y=a（x-2）2+2，
10、将（0,0）代入得a=y=+2；1221(2)2x解决拱桥问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.知识要点1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .28m3当堂练习当堂练习图12.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（）2251xyA.-10m B.m C.m D.m2525210D3.如图1，在ABC中，B=
11、90,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 s，四边形APQC的面积最小.3ABCPQ图14.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；解：(1)因为矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一
12、边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000（元）(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？OA1.25米OBCA解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点.由题意可知A（0，1.25）、B（1，
13、2.25）、C（x0，0）.xy设抛物线为y=a(x1)2+2.25(a0),把点A坐标代入，得a=1；当y=0时，x=0.5（舍去），x=2.5水池的半径至少要2.5米.抛物线为y=-(x-1)2+2.25.1.256.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式 解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2.点B（6，5.6）在抛物线的图象上，5.6=36a，抛物线的表达式为745 a.2745 yx.（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB
14、上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，t=5.6（1.6）=4 ，解得k=，即k15.07，k25.07CD=5.07210.14（m）设最多可安装n扇窗户，1.5n+0.8（n1）+0.8210.14，解得n4.06则最大的正整数为4答：最多可安装4扇窗户.27445 k6 3577悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端
15、主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；yxO-450450解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得81.5=a4502+0.5.解得故所求表达式为(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；yxO-45045028114502500a
16、210.5(450450)2500yxx(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.yxO-450450解：当x=450100=350（m）时，得213500.549.5(m)2500y 当x=45050=400（m）时，得214000.564.5(m)2500y 课堂小结课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定（二次函数的图象和性质）实 际 问 题数 学 模 型 转化转化回归回归（实物中的抛物线形问题）拱 桥 问 题转 化 的 关 键建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.
