1、河南省八市重点高中联盟河南省八市重点高中联盟 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月领军考试试题月领军考试试题 文（含文（含 解析）解析） 一、选择题：一、选择题： 1.设集合 2 |2,1,0,1,2,3Ax xxB ，则AB （ ） A. 2,3 B. 0,1,2 C. -1,0,2,3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 将集合 A 化简，再与集合 B 进行交集运算. 【详解】 2 |2=|0Ax xxx x或2x 1,0,2,3AB 故选 C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2.已知复数z满足3z=i(2z+1)，则z （ ） A. 2 B. 2
2、 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 将z从3z=i(2z+1)中分离出来，利用复数的四则运算，得到z，结合模长公式即可求出z. 【详解】 321355 1 2121215 iiii zi iii 22 11 = 2z 故答案选 A 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题. 3.已知命题 :pxy ，使得x xy y，则 p 为（ ） A. x y ，使得x xy y B. x y ，x xy y C. x y ，使得x xy y D. xy ，总有x xy y 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定性质即可得到. 【详解】因为命题 :pxy
3、，使得x xy y 所以命题 p ：xy ，总有x xy y 故答案为 D 【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题. 4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年英国来华传教士伟烈亚力将 孙子算经 中“物 不知数问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的 关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是 一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2019 中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的 数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 n a，则此数列的项数为（ ） A. 134 B.
4、 135 C. 136 D. 137 【答案】B 【解析】 分析】 由题意得出1514 n an，求出15142019 n an，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 整除余 1 的数，故1514 n an. 由15142019 n an得135n，故此数列的项数为135，故答案为 B. 【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学 的转化与化归思想.属于中等题. 5.函数 2ln xx y x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇偶性可排除 B，结合导数对
5、函数 2ln xx y x 在(0,)的单调性即可得出答案。 【详解】函数 2ln xx y x 为偶函数，则图像关于y轴对称，排除 B。 当0x时， 2ln ln xx yxx x =，ln1yx = + 1 0yx e 1 00yx e ? lnyxx=在 1 (0, ) e 上单调递减，在 1 ( ,) e 上单调递增。 故选 D。 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手： （1）从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置； （2）从函数的单调性判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性判断图象的对称性； （4）从函数的周期性判断图象的循环往复； （5）分析函数解析
6、式，取特值排除不合要求的图象。 6.已知双曲线 22 :1(04) 4 xy Cm mm 的渐近线与圆 22 (2)3xy相切， 则m（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出等式，即可求出m. 【详解】双曲线 22 :1(04) 4 xy Cm mm 的渐近线方程为 4m yx m 将 4m yx m 化为一般式可得40mxmy 由双曲线的渐近线40mxmy与圆 22 (2)3xy相切可得， 2 4 3 2 m 解得1m 故选 A 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及直线与圆相切的性质，关键是利用点到
7、直线 的距离公式列出方程，属于基础题. 7.已知 0.6 1.21.2 2,log2.4,log3.6xyz，则（ ） A. x yz B. x zy C. z xy D. y xz 【答案】A 【解析】 【分析】 将 , ,x y z与 2 进行比较，再利用对数函数的单调性得出, y z的大小. 【详解】 0.6 22x , 1.21.21.21.2 log2.4=1 log22,log3.61 log32yz 1.21.2 log2.4log3.6 xyz 故选 A 【点睛】本题主要考查了对数指数大小的比较，一般借助 0,1,2 等常数进行比较以及对数和 指数函数的单调性进行比较，属于中等
8、题. 8.若 2 tan1tan 1212 m ，则m（ ） A. 3 3 B. 3 C. 2 D. 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】 将 2 tan1tan 1212 m 转化为 2 2tan 11 12 2 1tan 12 m ，结合二倍角的正切公式即可求出m. 【详解】 2 2 2tan 1113 12 tan1 tantan 12122266 1 tan 12 m m 2 3m 故选 D 【点睛】本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将 2 tan1tan 1212 m 转化为 2 2tan 11 12 2 1tan 12 m ，利用二倍角的正切公式求出m，属于基础题. 9.在如
9、图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆和以正方形的顶 点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（ ） A. 1 2 B. 2 C. 1 2 D. 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由阴影部分的面积等于（正方形的面积内切圆面积）的两倍以及几何概率公式求解即可. 【详解】设正方形的边长为 2，可以得出阴影部分的面积等于（正方形的面积内切圆面积） 的两倍 即阴影部分的面积为2 4 则点M恰好取自阴影部分的概率为 2 4 =2 42 故选 D 【点睛】本题主要考查了几何概型，属于基础题. 10.将函数( )2cos(0) 6 f xx 的图象向
10、右平移 6 个单位长度，所得图象过点 ,0 2 ，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】 求出平移后的函数( )g x，由()0 2 g ，得到1 3 , k kZ ，由此即可求出的最小值 【详解】函数( )2 cos(0) 6 f xx 的图象向右平移 6 个单位长度得到函数 ( )2cos 66 g xx 3 ()2cos0 26 g =1 3 , 236 kk kZ 由于0，即当0k 时，取最小值为 1 故答案选 A 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换以及三角函数方程的求解，属于中等题. 11.ABC的内角, ,A B C
11、的对边分别为, ,a b c，已知 22 coscos3sinsinBABC ， 2 3cb ，则角A （ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平方关系得出 22 sinsin3sinsinABBC，结合正弦定理的角化边公式得到7ab， 再由 222 cos 2 bca A bc 即可求出 A. 【详解】 2222 coscos3sinsinsinsin3sinsinBABCABBC 222 36abbcb ，解得7ab 222222 2 1273 cos 224 3 bcabbb A bcb 即 6 A 故选 A. 【点睛】本题主要考查了正
12、余弦定理以及平方关系，属于中档题. 12.已知梯形ABCD中，/ /ADBC，ABBC，4BC ，2CD ，3AD， 3ADAE ， 以BE为折痕将ABE折起，使点A到达点P的位置，且平面PBE 平面EBCD，则四棱 锥PEBCD外接球的表面积为（ ） A. 8 3 B. 16 3 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 确定 BC 中点 O 为四棱锥PEBCD外接球的球心，根据球的表面积公式求解即可. 【详解】取 BC 中点 O,过点 P 作 BE 的垂线，垂足于 F，连接 PO,FO 由于 2BOOCODOE 22 313 cos30,2cos60 22 BFPBFOBFB
13、OBF BO 3 sin30 2 PFPB 所以 22 2POPFFO 即OP=2OBOCODOE 所以球心在BC的中点处，所以外接球的半径为 2，其表面积为16 【点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球的性质以及球的表面积公式，关键是确定球心所在 位置，属于难题. 二、填空题：二、填空题： 13.向量, ,a b c在正方形网格中的位置如图所示，若()/ /bac，则实数_. 【答案】-4 【解析】 【分析】 建立坐标系写出向量, ,a b c的坐标，结合()/ /bac，即可得出实数 【详解】以向量, a b的交点为原点建立如下图所示的直角坐标系 ( 1,1)a ， (6,2)b ， ( 1,
14、 3)c 则= 62ba， ()/ /2= 183bac ，解得=4 【点睛】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量共线定理. 14.设变量 , x y满足约束条件 0 34 34 x xy xy ，则目标函数2zxy的最小值为_ 【答案】 8 3 【解析】 【分析】 先作可行域，再平移直线，确定目标函数最小值的取法. 【详解】由 2zxy 变形为 1 22 z yx ， 绘制不等式组表示的可行域，当目标函数 2zxy 经过点 4 (0,) 3 E处取得最小值， 所以z的最小值为 48 02 33 z =+ ?. 故 2zxy 的最小值为 8 3 【点睛】本题是常规的线性规划问题，
15、线性规划问题常出现的形式有： 截距型， ，即zaxby ，主要根据目标函数在坐标轴上的截距判断最值。 分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率； 平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方； 绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离. 15.已知O为坐标原点，F为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点，过点F且倾斜角为 120 的直线与椭圆C交于第一象限一点P，若POF为正三角形，则椭圆C的离心率为 _. 【答案】31 【解析】 【分析】 根据题意求出点 P 的坐标并代入椭圆方程，化简即可求解. 【详解】因为OFc，POF为正三角形 所以POc 则点
16、 P 坐标为 13 , 22 cc 即 2 2 22 22242 3 1 2 2 1 840 c c ab abcee c e a ，解得31e 故椭圆C的离心率为31 【点睛】本题主要考查了椭圆离心率的求法，关键是由几何关系确定点 P 坐标，属于中等题. 16.已知函数 2 ,0,1 ( ) e,(1,3 x xx f x x ，若存在实数 12 ,x x满足 12 03xx剟?，且 12 f xf x，则 21 2xx的最大值为_. 【答案】1ln2 【解析】 【分析】 结 合 图 象 得 出 2 12x， 将 2 2 1 exx 代 入 21 2xx， 构 造 函 数 2 2 222 2
17、e,(1,2 x g xxx ，利用导数求出 2 g x在 2 (1,2x 最大值即可. 【详解】 画出 f x的图象可得 2 12x，因为 12 f xf x，所以 2 2 1 exx ， 所以 2 2 212 22exxxx ，令 2 2 222 2e,(1,2 x g xxx . 则 2 2 2 1 2exg x ，令 2 0gx，则 2 2ln2(1,2x ， 当 2 (1,2ln2)x 时， 2 0gx； 当 2 (2ln2,2)x 时， 2 0gx 所以当 2 2ln2x 时， 2 g x最大，且 2 max 1 ln2g x . 故 21 2xx的最大值为1 ln2 【点睛】本题
18、主要利用导数求函数的最值，关键是构造函数，属于难题. 三、解答题：三、解答题： 17.为考查某种药物预防疾病的效果，随机抽查了 50 只服用药的动物和 50 只未服用药的动得 知服用药的动物中患病的比例是 1 5 ，未服用药的动物中患病的比例为 2 5 . （I）根据以上数据完成下列 22 列联表： 患病 未患病 总计 服用药 没服用药 总计 （II）能否有 99%的把握认为药物有效？并说明理由. 附： 2 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab
19、cd ac bd 【答案】 （I）列联表见解析； （II）不能. 【解析】 【分析】 （I）根据题意分别求出服用药和未服用药中患病和未患病的人数，即可填写列联表. （）将（I）中列联表的数据代入 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 即可判断. 【详解】 （I）由已知数据可得列联表如下： 患病 未患病 总计 服用药 10 40 50 没服用药 20 30 50 总计 30 70 100 （）由（I）中列联表的数据可得， 2 2 100 (800300) 4.762 30 70 50 50 K 因为 2 6.635K ， 故不能够有 99%的把握认为药物有效.
20、 【点睛】本题主要考查了独立性检验的列联表以及观测值，正确列出列联表以及算出观测值 是关键,一般难度不大，属于基础题. 18.已知数列 2 log n a是等差数列，且 25 4,32aa. （I）证明：数列 n a是等比数列，并求出其通项公式： （II）求数列 1 1 11 n nn a aa 的前n项和 n S. 【答案】 （I）证明见解析，2n n a ； （II） 1 4 21 21 n n n S . 【解析】 【分析】 （I）由等差数列的定义得出 212 loglog nn aad ，得到 1 2d n n a a ，由此 n a是等比数列， 由 2 4a ， 5 32a ，化简即
21、可得到 n a的通项公式； （II）由（I）得出数列 1 1 11 n nn a aa 的通项公式 1 1 1 1 1 211 2 1121212121 n n nn nn nn a aa ，即可求出前n项和 n S. 【详解】 （I）因为数列 2 log n a 是等差数列，设公差为d 1 2122 logloglog n nn n a aad a ，所以 1 2d n n a a ，即 n a是等比数列. 设数列 n a的公比为q，由 2 4a ， 5 32a ，得 3 5 2 8 a q a ，所以2q =. 所以 2 4 22 nn n a ，即 n a的通项公式为2n n a . （
22、II） 1 1 1 1 1 211 2 1121212121 n n nn nn nn a aa 所以 12231 111111 2 212121212121 n nn S 11 4 21 1 2 1 2121 n nn ， 即数列 1 1 11 n nn a aa 的前n项和 1 4 21 21 n n n S . 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、等比数列的基本性质以及利用裂项相消法求数列 的前n项和， 其中将 1 1 2 2121 n nn 裂项为 1 11 2 2121 nn 是解题的关键,属于中档题. 19.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形,SA平面ABCD，
23、 22,60 ,2BCABABCSEED ，F为SC的中点. （I）求证，/BF平面ACE； （II）若2SA，求三棱锥SAEC的体积. 【答案】 （I）证明见解析； （II） 2 3 9 . 【解析】 【分析】 （I）取SE的中点G，连接FG.连接BD，交AC于点N，连接FD交CD于点M，连接 MN.由中位线定理得出M为FD的中点，结合N为BD的中点，得出BFMN，由线面 平行的判定定理即可求解; （II）利用余弦定理得出3AC ，结合勾股定理得到ABAC，因为四边形ABCD是平 行四边形， 得到 DC 为三棱锥 D-SAC 的高， 结合 2SEED ， 得到 22 33 SAECD SAC
24、SABC VVV ， 即可求出三棱锥SAEC的体积. 【详解】 （I）证明：取SE的中点G，连接FG.连接BD，交AC于点N， 连接FD交CD于点M，连接MN. 因为F为SC的中点，G是SE的中点，所以/FGCE. 又 2SEED ，所以E为GD的中点，所以M为FD的中点， 又N为BD的中点，所以BFMN. 因为BF 平面AEC，MN 平面AEC， 所以BF平面ACE （II）因为22,60BCABABC . 由余弦定理得 222 1 2cos604 1 2 2 13 2 ACBCABBC AB ， 所以3AC ，所以ABAC. 因为SA平面ABCD，所以SAAB， 所以SAACA，所以AB
25、平面SAC 因为四边形ABCD是平行四边形 所以 DC 为三棱锥 D-SAC 的高 因为2,2SASEED， 所以 2221 3333 SAECD SACSA CCBAB VVVSSA 2112 3 132 3329 , 即三棱锥SAEC的体积为 2 3 9 . 【点睛】本题主要考查了线面平行以及棱锥的体积公式，证明线面平行时一般要用到中位线 定理，来找线线平行，属于中等题. 20.已知抛物线 2 :4C yx的准线为l，M为l上一动点，过点M作抛物线C的切线，切点 分别为,A B. （I）求证：MAB是直角三角形； （II）x轴上是否存在一定点P，使, ,A P B三点共线. 【答案】 （I
26、）证明见解析； （II）存在. 【解析】 【分析】 （I）设出点 M 的坐标以及切线方程，并将其与 2 4yx联立消x得 2 44()0kyymk， 利用0 ，得到 2 10kmk ，结合韦达定理得到 1 2 1k k ，即可证明 MAB是直角三 角形； （II） 设 22 12 12 , 44 yy AyBy ， 由 （I） 可得 12 12 4 4y y k k ， 设出直线AB的方程与 2 4yx 联立消x得 2 440ynyt，结合韦达定理得到 12 4y yt= -，解得 1t ，得到直线AB过 定点 () 1,0P，即可证明x轴上存在一定点P，使, ,A P B三点共线. 【详解】
27、 （I）由已知得直线l的方程为1x，设1,Mm，切线斜率为k，则切线方程为 1ymk x，将其与 2 4yx联立消x得 2 44()0kyymk.所以 16 16 ()0k mk ， 化简得 2 10kmk ， 所以 1 2 1k k ， 所以MAMB.即 MAB 是直角三角形. （II）由 I 知16 16 ()0k mk 时，方程 2 44()0kyymk的根为 2 y k 设切点 22 12 12 , 44 yy AyBy ， 则 12 12 22 ,yy kk .因为 1 2 1k k ， 所以 12 12 4 4y y k k . 设: AB lxnyt， 与 2 4yx联立消x得
28、2 440ynyt， 则 12 4y yt= -， 所以4 4t， 解得1t ，所以直线AB过定点 () 1,0P. 即x轴上存在一定点 () 1,0P，使, ,A P B三点共线. 【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，关键是韦达定理的灵活运用，属于中等 题。 21.已知函数 ln1xa x f x x . （1）求函数 f x单调区间； （2）若1x时， 1 1 x xf xe ，求a的取值范围. 【答案】 （1）单调递增区间为 1 0, a e ，递减区间为 1 , a e .（2）,2 【解析】 【分析】 （1）求出原函数的导函数，分别由导函数大于 0 和小于 0 求解原函数的
29、增区间与减区间； （2） 当1x 时，不等式等价于 1 ln10 x exaxa ，设 1 ln1 x g xexaxa ，利 用两次求导求解a的取值范围 【详解】解： （1）因为 ln1xa x f x x ， 所以函数 f x的定义域为0,，且 2 1lnax fx x ， 令 0fx 得ln1xa ，解得 1 0 a xe ；令 0fx得ln1xa ，解得 1 a xe ， 所以函数 f x的单调递增区间为 1 0, a e ，递减区间为 1 , a e . （2）当1x 时， 1 1 x xf xe 等价于 1 ln10 x exaxa ， 设 1 ln1ln1 x x e g xex
30、axaxaxa e ， 则 1 1 x gxea x ，设 h xgx ，则 1 2 1 x h xe x ， 因为当1x 时， 0h x ，所以 h x在1,上单调递增，即 g x 在1,上单调递 增.因此， min 12g xga， 当2a时， 10,0gg x 在1,上恒成立，所以 g x在1,上单调递增，又 10g，所以 0g x 在1,上恒成立，符合题意. 当2a时， 10 g ，存在 0 1,x ，使得当 0 1,xx时， 0gx，从而 g x在 0 1,x上单调递减，又因为 10g， 所以当 0 1,xx时， 0g x ，不合题意， 综上，a的取值范围为,2. 【点睛】本题考查利
31、用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化 思想方法，属中档题 请考生在第请考生在第 2222、 2323 题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题记分， 作答时请写清题号题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题记分， 作答时请写清题号. . 选修选修 4 4- -4 4，坐标系与参数方程，坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，曲线 1 2cos : 2sin x C y ， （为参数） ，以原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2: 4cos2sin0C. （I）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （II）若曲线 1 C与 2
32、C交于,A B两点（A在B的上方） ，点1,0P ，求 22 PAPB的值. 【答案】 （I） 22 4xy, 22 420xyxy； （II） 16 5 . 【解析】 【分析】 （I）利用参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程的公式即可求解; （II）两圆的方程 22 4xy与 22 420xyxy作差得直线AB的方程,利用点 P 写出 直线AB的参数方程， 代入 22 4xy， 利用韦达定理求出 AB tt，A Bt t， 即可求解 22 PAPB 的值. 【详解】 （1）曲线 1 C的普通方程为 22 4xy. 由 2 4cos2sin04 cos2 sin0. 将 222, c
33、os ,sinxyxy代入上式得 曲线 2 C的直角坐标系为 22 420xyxy. （II）将两圆的方程 22 4xy与 22 420xyxy作差得直线AB的方程为 220xy .点1,0P 在直线AB上，设直线AB的参数方程为 5 1 5 2 5 5 xt yt ， （t为 参数） ，代入 22 4xy化简得 2 2 5 30 5 tt，所以 2 5 ,3 5 ABA B ttt t . 所以 22 |()() ABAB PAPBPAPBPAPBtttt 2 5 5 AB tt， 因为A在B的上方， 所以 2 222 58 5 412 55 ABABABA B ttttttt t . 所以
34、 22 2 58 516 | 555 PAPB，即 22 16 | 5 PAPB. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化， 以及直线参数方程的几何意义，解决问题（II）时要借助直线参数方程的几何意义来求解， 属于中等题. 选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 1f xx xxa . （I）当1a 时，求不等式 5f x 的解集； （II）若1,x时， f xx恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （I）2x x ； （II）0,2. 【解析】 【分析】 （I）利用零点分段法将函数 f x去掉绝对值，并分段讨论 5f x
35、 解集即可; （II）由于1,x，可将 f xx化为 2 xax，结合不等式的性质可以得到 22 xxaxx，分别求出 2 xx和 2 xx在 1,x时的最大值和最小值，即可确定 实数a的取值范围. 【详解】 （I）当1a 时， 2 2 2 1,1 ( )21,11 1,1 xx f xxxx xx ， 当1x 时， 2 15x ，得22x ，所以12x； 当11x 时， 2 215xx 恒成立，所以 11x ； 当1x时， 2 15x 恒成立，得1x. 综上，不等式 5f x 的解集为2x x . （II）1,x时， f xx恒成立， 等价于 2 xax在1,x恒成立. 等价于 22 xxax，即 22 xxaxx在 1,x恒成立. 即1,x时， 22 maxmin xxaxx ， 因为1x 时， 22 (2,);(,0)xxxx ， 所以02a，即实数a的取值范围是0,2. 【点睛】本题主要考查了含参数绝对值函数的参数范围以及解绝对值不等式，一般解绝对值 不等式可先用零点分段法将绝对值去掉化为分段函数，讨论每一段的解集，即可得到整个不 等式的解集.
