1、BUAA1/7/20231第四讲第四讲 动力学（动力学（2）碰撞碰撞 动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）28个题（思考题、问题、习题）个题（思考题、问题、习题）BUAA1/7/20232碰撞碰撞TIIITn1、碰撞的特点和分类、碰撞的特点和分类特点：特点：速度发生突变；速度发生突变；碰撞力很大。碰撞力很大。n 切平面的法线切平面的法线 称为称为碰撞法线碰撞法线T-T 公共切平面公共切平面1v2v2u1u21,vv碰撞前碰撞点的速度碰撞前碰撞点的速度碰撞后碰撞点的速度碰撞后碰撞点的速度21,uu压缩冲量（大小）：压缩冲量（大小）：恢复冲量（大小）：恢复冲量（大小）：21II恢复系数恢复
2、系数nnnnvvuuIIe212112BUAA1/7/20233碰撞碰撞（1）:若若 ，称为，称为正碰撞正碰撞，否则称为否则称为斜碰撞斜碰撞nvv/21（2）:若两物体的质心在碰撞法线上若两物体的质心在碰撞法线上,称为称为对心碰撞对心碰撞,否则称为否则称为偏心碰撞。偏心碰撞。碰撞的分类碰撞的分类III1v2u2vTn1uT思考题思考题1：体育项目中各种球类运动中的碰撞（乒乓球、棒体育项目中各种球类运动中的碰撞（乒乓球、棒球、篮球、台球等）属于何种碰撞。球、篮球、台球等）属于何种碰撞。0e1e（3）:,称为称为完全塑性碰撞完全塑性碰撞 ,称为称为完全弹性碰撞完全弹性碰撞，称为称为非完全弹性碰撞非
3、完全弹性碰撞01eBUAA1/7/20234碰撞碰撞2、碰撞基本定理、碰撞基本定理1、冲量定理、冲量定理niiCCniimm1(*)121(*)12IvvIpp2、冲量矩定理、冲量矩定理niiCCniiOO1(*)121(*)12)()(IMLLIMLLCO简化条件：简化条件：忽略常规力忽略常规力；忽略碰撞过程中的位移忽略碰撞过程中的位移。问题问题2：一个质心位于一个质心位于C C的细杆的细杆ABAB静静止放在光滑的水平面上止放在光滑的水平面上，AC AC BCBC，若要在其上作用一水平冲量若要在其上作用一水平冲量I（垂直（垂直于于ABAB杆）。冲量作用在杆上的哪一杆）。冲量作用在杆上的哪一点
4、，可使冲击后杆的动能最大。点，可使冲击后杆的动能最大。ABCIBUAA1/7/20235碰撞碰撞思考题思考题3：系统初始静止（如左下图所示），地面光滑，若在冲系统初始静止（如左下图所示），地面光滑，若在冲量量I的作用下，冲击后杆能运动到水平位置（如右下图所示），的作用下，冲击后杆能运动到水平位置（如右下图所示），确定该瞬时滑块确定该瞬时滑块A速度的大小和方向。速度的大小和方向。A1m2mBA1m2mBIIumm )(21uniiCCniimm1(*)121(*)12IvvIppBUAA1/7/20236碰撞碰撞 例题例题4：一均质杆一均质杆ABAB静止放在光滑静止放在光滑的水平面上的水平面上，
5、若要在其上作用一水若要在其上作用一水平冲量平冲量I（垂直于（垂直于ABAB杆），使得冲击杆），使得冲击结束后的瞬时杆上结束后的瞬时杆上A A点的速度为零，点的速度为零，该冲量应作用在杆的什么位置。该冲量应作用在杆的什么位置。ABCIxIvCmIxJC2LvCCv 问题问题5：给出上题给出上题A A点的运动方程。设初始时，杆的质心点的运动方程。设初始时，杆的质心位于坐标原点。位于坐标原点。6Lx BUAA1/7/20237碰撞碰撞思考题思考题6：质量为质量为m半径为半径为R的均质圆盘和圆环，其轮心以速度的均质圆盘和圆环，其轮心以速度u沿水平地面纯滚动。若与高为沿水平地面纯滚动。若与高为h的台阶发
6、生完全塑性碰撞，且的台阶发生完全塑性碰撞，且碰撞点间有足够大的摩擦，试分析谁更容易滚上该台阶。碰撞点间有足够大的摩擦，试分析谁更容易滚上该台阶。RhhhuuA A：圆盘；：圆盘；B B：圆环：圆环 C C：两者相同：两者相同2()()CCuJmu RhJmRR2()CumuhRJmR注：注：再比较碰撞结束后，哪个物体的动能大；圆环的动能大，容易滚上台阶。再比较碰撞结束后，哪个物体的动能大；圆环的动能大，容易滚上台阶。BUAA1/7/20238碰撞碰撞 思考题思考题7：均质杆均质杆AB和和BD用铰链连接悬挂在用铰链连接悬挂在A点，若在点，若在BD杆上作用一水平冲量，使得冲击结束后的瞬时，杆上作用
7、一水平冲量，使得冲击结束后的瞬时，AB杆杆的角速度为零，该冲量应作用在的角速度为零，该冲量应作用在BD杆的什么位置？杆的什么位置？思考题思考题8：若冲击结束后的瞬时，若冲击结束后的瞬时，BD杆杆的角速度为零，该冲量应作用在什么位的角速度为零，该冲量应作用在什么位置？置？ABD1m2mIx思考题思考题9：若冲量作用在铰链若冲量作用在铰链B上，求上，求冲击结束后的瞬时，两个杆的角速度和冲击结束后的瞬时，两个杆的角速度和冲击过程中铰链冲击过程中铰链A的约束冲量。的约束冲量。BUAA1/7/20239碰撞碰撞 思考题思考题10：均质杆均质杆AB和和BD用铰链连接，静止地放在光滑用铰链连接，静止地放在光
8、滑的水平面上，若在的水平面上，若在BD杆的杆的D点上作用一垂直于该杆的水平点上作用一垂直于该杆的水平冲量冲量I，求冲击结束后，两个杆的角速度和铰链，求冲击结束后，两个杆的角速度和铰链B的速度。的速度。ABD1m2mI系统的自由度：系统的自由度：未知量个数：未知量个数：动力学方程的个数动力学方程的个数：(*)211nCCiimmvvI(*)211()nCCiiCLLMI44+23+3问题：问题：如何用三个方程求解三个未知量？如何用三个方程求解三个未知量？BUAA1/7/202310碰撞碰撞例题例题11：质量为质量为m的质点由静止下落的质点由静止下落h后与放在光滑水平面上后与放在光滑水平面上的圆盘
9、边缘粘接在一起，已知圆盘的质量为的圆盘边缘粘接在一起，已知圆盘的质量为m，半径为，半径为R，求，求粘接后的瞬时，圆盘的角速度和角加速度，地面的约束力。粘接后的瞬时，圆盘的角速度和角加速度，地面的约束力。huIA012AALLmuRLA1222223)21(mRmRmRLARu32第一阶段：碰撞过程第一阶段：碰撞过程第二阶段：非碰撞过程第二阶段：非碰撞过程BUAA1/7/202311动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）一、质点的达朗贝尔原理一、质点的达朗贝尔原理FNFamIFFNF主动力主动力，约束力，约束力，惯性力惯性力 aFmI质点的达朗贝尔原理：质点的达朗贝尔原理：,I0FFFN二
10、、质点系的达朗贝尔原理二、质点系的达朗贝尔原理,I0FFFiiNi若对于质点系中的第若对于质点系中的第i个质点有：个质点有：则对于整个质点系有：则对于整个质点系有：,ININI1N110FFFFFFFFFnnniiiBUAA1/7/202312动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）三、动静法三、动静法 应用静力学写平衡方程的方法求解质点系的应用静力学写平衡方程的方法求解质点系的动力学问题，这种方法称为动力学问题，这种方法称为动静法动静法。质点系运动的每一瞬时有：质点系运动的每一瞬时有：0,IN1I1N1nnnFFFFFF四、刚体惯性力系的简化四、刚体惯性力系的简化,IIRIII1cniM
11、FFFFBUAA1/7/202313动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）2、平面运动刚体惯性力系向质心、平面运动刚体惯性力系向质心C的简化的简化简化条件：简化条件：刚体的质量对称面平行于运动平面刚体的质量对称面平行于运动平面cmaFIR CJICM3、定轴转动刚体惯性力系向转轴、定轴转动刚体惯性力系向转轴A的简化的简化cmaFIR AJIAM简化条件：简化条件：转动轴转动轴A垂直于质量对称面垂直于质量对称面1、平移刚体惯性力系向质心、平移刚体惯性力系向质心C的简化的简化,IIRIII1cniMFFFFcmaFIR0IcMBUAA1/7/202314动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔
12、原理）ABD1m2m 思考题思考题12：长为长为L的均质杆的均质杆AB和和BD焊接为一个刚体并绕焊接为一个刚体并绕OA轴转动，求刚体的惯性力系向轴转动，求刚体的惯性力系向B点简化的主矢和主矩。点简化的主矢和主矩。惯性力简化的基本方法：惯性力简化的基本方法：1、将每个刚体的惯性力系向其质心简化、将每个刚体的惯性力系向其质心简化2、然后再将简化的力系向指定点简化、然后再将简化的力系向指定点简化BUAA1/7/202315动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）附加动反力：附加动反力：由于运动引起的约束力由于运动引起的约束力五、定轴转动刚体轴承附加动反力静平衡与动平衡五、定轴转动刚体轴承附加动反
13、力静平衡与动平衡 定轴转动刚体仅在主动力重定轴转动刚体仅在主动力重力作用下，可在任意位置平衡，力作用下，可在任意位置平衡，则称定轴转动刚体为则称定轴转动刚体为静平衡静平衡。如果刚体转动时，不会引起如果刚体转动时，不会引起轴承的附加动反力，则称定轴转轴承的附加动反力，则称定轴转动刚体为动刚体为动平衡动平衡。BUAA1/7/202316动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）六、惯性积和惯量主轴六、惯性积和惯量主轴iiiyziiixziiixyzymJzxmJyxmJxyzoixiyizim如果如果 ，则称则称z轴为轴为O点的点的惯量主轴。惯量主轴。0yzxzJJ刚体上任意一点刚体上任意一点至
14、少有三根互相垂直至少有三根互相垂直的惯量主轴的惯量主轴通过质心的惯量主轴称为通过质心的惯量主轴称为中心惯量主轴中心惯量主轴BUAA1/7/202317惯量主轴判据：惯量主轴判据：（1）如果刚体有）如果刚体有质量对称轴质量对称轴，如如z轴轴。则对称轴是该轴上任。则对称轴是该轴上任意一点的惯量主轴之一，也意一点的惯量主轴之一，也是中心惯量主轴。是中心惯量主轴。xyzoixiyizimimiyixiiiyziiixzzymJzxmJ00（2）如果刚体有）如果刚体有质量对称面质量对称面，如如oxy面面。则垂直于该对称面。则垂直于该对称面的轴必为该轴与对称面交点的轴必为该轴与对称面交点的惯量主轴。的惯量
15、主轴。xyzoixiyizimizBUAA1/7/202318动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）附加动反力为零的充分必要条件：附加动反力为零的充分必要条件：00yzxzccJJyx质心在转轴上质心在转轴上转轴为惯量主轴转轴为惯量主轴IRFIoMxyiFz思考题思考题13：惯性力系为惯性力系为零力系零力系是动平衡的是动平衡的 A：充分条件，：充分条件，B：必要条件，：必要条件，C：充要条件：充要条件思考题思考题15：定轴转动刚体惯性力系向转轴上的某一点简化的结定轴转动刚体惯性力系向转轴上的某一点简化的结果可能是（举例说明）：果可能是（举例说明）：A：平衡力系；：平衡力系；B：合力；：合
16、力；C：力偶；：力偶；D：力螺旋：力螺旋思考题思考题14：定轴转动刚体质心在转轴上是静平衡的定轴转动刚体质心在转轴上是静平衡的 A：充分条件，：充分条件，B：必要条件，：必要条件，C：充要条件：充要条件BUAA1/7/202319动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）思考题思考题16：质量为质量为m长为长为L的均的均质正方形薄板的顶角质正方形薄板的顶角A上焊接一上焊接一质量为质量为m的质点。现有三个其的质点。现有三个其质量分别为质量分别为m、2m和和4m质点质点,如何将这些质点焊接在板子上如何将这些质点焊接在板子上使得过板几何中心使得过板几何中心O的三个互的三个互相垂直的轴为中心惯量主轴
17、。相垂直的轴为中心惯量主轴。要求分别为：要求分别为：1：使得焊接后板子总质量最小：使得焊接后板子总质量最小2：使得：使得焊接后板子总质量最大焊接后板子总质量最大xyOABUAA1/7/202320动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）思考题思考题17：三根均质细杆与三根均质细杆与AB轴固连（三根杆共面）且以匀轴固连（三根杆共面）且以匀角速度绕角速度绕AB轴作定轴转动，杆轴作定轴转动，杆1、杆、杆2、杆、杆3的质量与长度分的质量与长度分别为，别为，m1,m2,m3,L1,L2,L3,各杆间的距离分别为各杆间的距离分别为d1,d2。若该定。若该定轴转动刚体为动平衡，求各杆质量与长度以及杆间的
18、距离应轴转动刚体为动平衡，求各杆质量与长度以及杆间的距离应满足什么条件。满足什么条件。求解方法：求解方法：1、利用中心惯量主轴的定义求解、利用中心惯量主轴的定义求解2、利用惯性力系简化的方法求解、利用惯性力系简化的方法求解BUAA1/7/202321动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）ABDEF思考题思考题18：系统由均质杆和均质正方形板组成，各刚体质量均为系统由均质杆和均质正方形板组成，各刚体质量均为m，求绳索剪断后的瞬时，各刚体的角加速度和板的质心加速度，求绳索剪断后的瞬时，各刚体的角加速度和板的质心加速度运动分析：运动分析：系统自由度系统自由度确定相关的加速度关系确定相关的加速度
19、关系添加惯性力添加惯性力求解方法：求解方法：动静法动静法虚位移原理虚位移原理思考题思考题19：若上题中若上题中AB杆改为铅垂位置，如何求解该题。杆改为铅垂位置，如何求解该题。LDEBFABBUAA1/7/202322动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）ABD思考题思考题20：图示系统由两个长为图示系统由两个长为L均质杆组成，各刚体质量均为均质杆组成，各刚体质量均为m，系统由无初速开始运动（，系统由无初速开始运动（AB杆水平，杆水平，BD杆与水平面的夹角杆与水平面的夹角为为450，不计所有摩擦。求初始瞬时各杆的角加速度和地面的约，不计所有摩擦。求初始瞬时各杆的角加速度和地面的约束力。束力
20、。思考题思考题21：定性分析定性分析AB杆杆A处约束力水平分量的方向。处约束力水平分量的方向。运动分析：运动分析：系统的自由度系统的自由度确定相关加速度关系确定相关加速度关系添加惯性力添加惯性力求解方法：求解方法：动静法动静法列平衡方程（取矩式）列平衡方程（取矩式）虚位移原理虚位移原理BUAA1/7/202323动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）思考题思考题22：图示系统由均质杆和均质圆盘组成，各刚体质量均图示系统由均质杆和均质圆盘组成，各刚体质量均为为m，圆盘半径为，圆盘半径为R，杆与水平面的夹角为，杆与水平面的夹角为300，圆盘在地面上，圆盘在地面上纯滚动，轮心初速度为纯滚动，轮
21、心初速度为u，杆与地面的摩擦因数为，杆与地面的摩擦因数为f，求轮心的，求轮心的加速度和系统停止时加速度和系统停止时A点移动的距离。点移动的距离。uAB思考题思考题23：如果图示初速度如果图示初速度u反向，则反向，则A点移动的距离是否发生变化？点移动的距离是否发生变化？NAFAFaIABF、应用动静法求点的法向、应用动静法求点的法向力与轮心加速度的关系。力与轮心加速度的关系。、应用动能定理的微分形式、应用动能定理的微分形式建立系统的动力学方程。建立系统的动力学方程。本题答案见北大本题答案见北大理论力学理论力学下册下册 习题习题7.13BUAA1/7/202324动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗
22、贝尔原理）思考题思考题24：两个质量均为两个质量均为m长为长为L的均质杆焊接而成，如图悬的均质杆焊接而成，如图悬挂，若突然剪断绳索，确定初始瞬时截面挂，若突然剪断绳索，确定初始瞬时截面A的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。ABO思考题思考题25：上题中弯矩为零的截面有几个？上题中弯矩为零的截面有几个？思考题思考题26：试确定剪力为零的截面有几个？试确定剪力为零的截面有几个？mgqLABOq32q4mg思考题思考题27：试确定弯矩最大的截面和剪力最大的截面的位置。试确定弯矩最大的截面和剪力最大的截面的位置。BUAA1/7/202325动静法（达朗贝尔原理）动静法（达朗贝尔原理）思考题思考题28：设烟囱为均质空心圆柱，定向爆破后，视烟囱为设烟囱为均质空心圆柱，定向爆破后，视烟囱为定轴转动，确定在倒塌的过程中，当定轴转动，确定在倒塌的过程中，当烟囱未断开时，烟囱未断开时，弯矩最弯矩最大的截面的位置。大的截面的位置。
