1、华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数26.1 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？导入新课导入新课情境引入1.什么叫函数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做一次函数.当b=0
2、 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0 (a0)问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.讲授新课讲授新课二次函数的定义一探究归纳 问题2 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？如图，设围成的矩形花圃为ABCD，靠墙的一边为AD，垂直于墙面的两边分别为AB和CD.设AB长为x m(0 x10),先取x的一些值，进而可以求出
3、BC边的长，从而可得矩形的面积y.将计算结果写在下表的空格中：A DB CAB长(x)123456789BC长12面积(y)48单位：m1816141086421832425048423218 我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也就随之确定,即y是x的函数,试写出这个函数的关系式.(202)yxx（0 x10）即2220yxx（0 x10）问题3 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
4、分析：销售利润=（售价-进价）销售量.根据题意，求出这个函数关系式.(108)(100 100)yxx(02)x2100100200yxx(02)x想一想，为什么要限定？02x问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的 y=6x2 想一想2220yxx（0 x10）2100100200yxx(02)x二次函数的定义：形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结 例1 下
5、列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x21yx=不一定是，缺少a0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.方法归纳 想一想:二次函数的一般式y=axbxc（a0）与一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系和区别？联系联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0；(2)方程ax2bxc
6、=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.二次函数定义的应用二 例2 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题）由题可知,解得=2 2;m（2）由题）由题可知,解得 m=3.第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.注意273.mymx271,30,mm272,30,mmkxky)2(？m，xmxmy取值范围是什么那么是二次函数、若函数4)2()9(222k 1.已知:，m取什么值时，y是x的二次函数？解：当 =2且k
7、+20，即k=-2时,y是x的二次函数.变式训练解：092mm3？m，xmxmymm取值范围是什么那么是二次函数、若函数4)3()1(3122012122mmm3mm的 取 值 范 围 是【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；解：第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润
8、加2元，但一天产量减少5件，第x档次，提高了(x1)档，利润增加了2(x1)元y62(x1)955(x1)，即y10 x2180 x400(其中x是正整数，且1x10)；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次解：由题意可得 10 x2180 x4001120，整理得 x218x720，解得 x16，x212(舍去)所以，该产品的质量档次为第6档【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型思考：1.已知二次函数y10 x2180 x400,自变量x的取值范围是什么？2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x2180 x400，其自变量
9、x的取值范围与1中相同吗？【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.二次函数的值三例4 一个二次函数 .234(1)21kkykxx（1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？解：（1）由题意，得2342,10,kkk 解得=2;k（2）当k=2时，.221yxx将x=0.5代入函数关系式中，.20.52 0.5 10.25y 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.归纳总结当堂练习当堂练习2.函数 y=(m-n
10、)x2+mx+n 是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项系数为_，常数项为 .3下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 D2yx211yxC-3x2-16124.已知函数已知函数 y=3x2m-15 当当m=时，时，y是关于是关于x的一次函数；的一次函数；当当m=时，时，y是关于是关于x的反比例函数；的反比例函数；当当m=时，时，y是关于是关于x的二次函数的二次函数.1 0325.若函数 是二次函数，求：232(4)aayaxa（1）求a
11、的值.(2)求函数关系式.（3）当x=-2时，y的值是多少？解：（1）由题意，得2322,40,aaa解得=1;a（2）当a=-1时，函数关系式为 .22(1 4)151yxx （3）将x=-2代入函数关系式中，有 25(2)121.y 6.（1）n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？21122mnn（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期一年到期后后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果如果存款是存款是10（万元）（万元）,那么请你写出两年后的本息和那么请你写出两年
12、后的本息和y(万万元元)的表达式的表达式(不考虑利息税不考虑利息税).y=10(x+1)=10 x+20 x+10.7.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y(8x)xx28x (0 x8)；(2)当x3时，y328315 cm2.课堂小结课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）.导入新课讲授新课当堂练习课堂小结
13、1.二次函数y=ax2的图象与性质26.2 二次函数的图象与性质学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax的图象，概括出图象的特点.（难点）3.掌握形如y=ax的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）导入新课导入新课情境引入讲授新课讲授新课二次函数y=ax2的图象一x-3-2-10123y=x2 2例1 画出二次函数y=x2的图象.9410194典例精析1.列表：在y=x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2
14、的图象-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.练一练：画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx-3-2-10123y=-x2-9-4-10-1-4-9 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.yx2是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点y说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
15、oxyy=-x2 1.y-x2是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点1.顶点都在原点;3.当a0时，开口向上；当a0时，开口向下二次函数y=ax2 的图象性质：知识要点2.图像关于y轴对称;观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论二 二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)2yx2yax对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而增大；当x
16、0时，y随x取值的增大而减小.知识要点(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2yx 2yax 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而减小；当x0时，a越大，开口越小.练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象221,22yx yxx 4 3 2101234x 21.510.500.511.52 -8 -4.5-2 -0.50 -8 -4.5 -2-0.5-8-4.52 0.5084.520.522yx 212yx22246448212yx 22yx 2yx 当a0a”“”或“”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(
17、0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OAOB，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：23xy 23xy231xy 231xy开口方向 对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O 5.若抛物线y=ax2
18、（a 0），），过点（-1，2）.（1）则a的值是 ；（2）对称轴是 ，开口 .（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值.抛物线在x轴的 方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x2 6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m07.已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积解：由题意得 解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y3x4与y轴相交于点C
19、(0，4)，即CO4.SACO CO48，SBOC 412，SABOSACOSBOC10.234,yxyx4,1,16,1,xxyy 或1212课堂小结课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描 点 法以对称轴为中心 对 称 取 点图象抛 物 线轴 对 称 图 形性质重点关注4 个 方 面开口方向及大小对称轴顶 点 坐 标增减性26.2 二次函数的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）3.理解y
20、=ax与 y=ax+k之间的联系.（重点）已知二次函数 y=-x2;y=x2;y=15x2;y=-4x2;y=-x2;y=4x2.(1)其中开口向上的有 (填题号)；(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号).35910导入新课导入新课复习引入这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xy21840yx 讲授新课讲授新课二次函数y=ax2+k的图象与性质一探究归纳解：先列表：x 3210123例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象212yx2112yx212yx2112yx9211221201229233
21、21323112xy-4-3-2-1o1234123456212yx2112yx描点、连线，画出这两个函数的图象观察与思考 抛物线 ，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？212yx2112yx212yx2112yx二次函数开口方向顶点坐标 对称轴向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？y2x31y23121xy23122xy-2-2422-4231xy23121xy23122xyx0二次函数y=ax2+k的图象和性质(a a0)二做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是 .(2)三条抛物线的开口方向_
22、;(3)对称轴都是_(4)从上而下顶点坐标分别是 _(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_(6)函数的增减性都相同：_抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)高大大y=0y=-2y=2231xy23122xyy-2-222-423121xyx0对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小二次函数y=ax2+k（a 0）的性质y=ax2+ka0a0开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.当x0时，y随x的增大而减小；x
23、0时，y随x的增大而增大.知识要点例2：已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当xx1+x2时，其函数值为_.解析：由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x20.把x0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c方法总结：二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数二次函数y=ax2+c的图象及平移三探究归纳做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象解：先列表：x 2 1.51011.52y=2 x21 y=2x21 95.53135.597
24、3.51113.5742224648102y=2x21y=2x21(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？y=2 x2向上(0,0)y轴y=2 x21y=2x21二次函数开口方向 顶点坐标 对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴42224648102y=2x21y=2x21(2)抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.下y=2x2+1上解析式y=2x22x2+1y=2x2+1y=2x
25、2-1+1-1点的坐标函数对应值表xy=2x2-1y=2x2y=2x2+14.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移三可以看出，y=2x2 向_ 平移一个单位长度得到 抛物线y=2x2+15321-6-4-2246122 xy22xy4o-1122xy可以看出，y=2x2 向_ 平移一个单位长度 得到抛物线y=2x2-1xy从形的角度探究上上下下二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当c 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c 20=01(0,1
26、)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.能力提升6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x0时y随x的增大而增大，则m=_.7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=_.8.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_.9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐标系中的是 ()xy0 xy0 xy0 xy0ABCD2-28B课堂小结课堂小结二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系1.开口方向由a的符号决定；2.k决定
27、顶点位置；3.对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质26.2 二次函数的图象与性质情境引入学习目标1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点）2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(难点）3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.导入新课导入新课复习引入a,c的符号a0,c0a0,c0a0a0,c0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,c）（0,c）当x0
28、时，y随x增大而增大.当x0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c问题1 说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征.问题2 二次函数 y=ax2+c（a0）与 y=ax2（a 0）的图象有何关系？答：二次函数y=ax2+c（a 0）的图象可以由 y=ax2（a 0）的图象平移得到：当c 0 时，向上平移c个单位长度得到.当c 0,开口向上a0,开口向上；当a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小最小=kx=h时,y最大最大=k抛物线y=a(x
29、-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43?讲授新课讲授新课二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？216212yxx问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？216212yxx216212yxx配方可得2
30、221(126642)2xx21(1242)2xx2221(126)6422xx21(6)62x21(6)3.2x想一想：配方的方法及步骤是什么？配方216212xxy你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.3)6(212xy问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？21(6)32yx212yx答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向
31、右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？216212yxx9 98 87 76 65 54 43 3x解:先利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.557.5510 xy510然后描点画图，得到图象如右图.O问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.216212yxx510 xy510 x=6当x6时，y随x的增大而增大.O例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.21522yxx x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数 通过配方可得 ，先列表：21522yxx 21(1)22yx 典例精
32、析2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.2287yxx22(44)87xx 22(4)7xx22(2)1.x 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：练一练将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax+bx
33、+c cababxabxa2222222222bbbaxxcaaacababxa4222归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxca xaa因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa 归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)xyOxyO如果a0,当x 时，y随x的增大而增大.如果a0,当x 时，y随x的增大而减小.2bxa 2bxa 2ba2ba2ba2ba例2 已知二次函数y=x22
34、bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D.2(1)bxb D填一填顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(,-6)13直线x=13二次函数字母系数与图象的关系三合作探究问题1 一次函数y=kx+b的图象
35、如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1 _ 0b1 _ 0k2 _ 0b2 _ 0k3 _ 0b3 _ 0 xyO222bxa 112bxa 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：2yaxbxca1 _ 0b1_ 0c1_ 0a2_ 0b2_ 0c2_ 0开口向上，a0对称轴在y轴左侧，x0对称轴在y轴右侧，x01102bxa 2202bxa x=0时，y=c.xyO442bxa 332bxa a3_ 0b3_ 0c3_ 0a4_ 0b4_ 0c4_ 0开口向下，a0对称轴是y轴，x=0对称轴在y轴右侧
36、，x011=02bxa 2202bxa x=0时，y=c.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系字母符号图象的特征a0开口_a0开口_b=0对称轴为_轴a、b同号对称轴在y轴的_侧a、b异号对称轴在y轴的_侧c=0经过原点c0与y轴交于_半轴向上向下y左右正负知识要点例3 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是 ()A1B2C3D4D由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图象上x1的点在第四象限得abc0，由图象上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即
37、(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确【解析】由图象开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图象与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；由对称轴x1可得2ab0，故正确；练一练二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（）2yaxbxcayxybx解析：由二次函数的图象得知：a0，b0.故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限.即正确答案是C.C1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴 B.直线x=C.直线x=2 D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D
38、当堂练习当堂练习5232Oyx1232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是 .直线x=1（2）3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（）23A B C DxyO2x=-1B4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：22(1)21213;(2)580319;1(3)22;2(4)12.yxxyxxyxxyxx 直线x=33,5直线x=8
39、8,1直线x=1.2559,48直线x=0.519,24课堂小结课堂小结24(,)24bacbaa2bxa y=ax2+bx+c（a 0)(一般式一般式)(顶点式顶点式)224()24bacbya xaa26.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第5课时 图形面积的最大值2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2.能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值.（重点）导入新课导入新课复习引入 y=ax2+bx+ca0a0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向下当x位于对称轴左侧时，y随x的增大而
40、减小；x位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大.当x位于对称轴右侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴左侧时，y随x的增大而增大.直线2bxa直线2bxa24(,)24bacbaa24(,)24bacbaa24=4ac bya最小值24=4acbya最大值做一做 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1）y=x2-4x-5;(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；（2）开口方向：向下；对称轴：x=；顶点坐标：（，）；最大值：.3-23-2254254求二次函数的最大（或最小）值一讲授新课
41、讲授新课合作探究问题1 二次函数 的最值由什么决定？2yaxbxcxyOxyO2bxa 2bxa 最小值最大值二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定.2yaxbxc问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？2yaxbxc244acbya最小值当a0时，有 ，此时 .2bxa244acbya最大值当a0时，有 ，此时 .2bxa问题3 当自变量x有限制时，二次函数 的最值如何确定？2yaxbxc例1 求下列函数的最大值与最小值x0y解：-3123 x239()224yx232yxx（1）(31)x 231()424yx3312 Q32x 当 时，1-44y最小值1x 当 时，1
42、32=2.y 最大值典例精析解：0 xy5 x1-321215yxx（2）(31)x 21565yx（）53Q即x在对称轴的右侧.3x 当 时，26.5y最大值函数的值随着x的增大而减小.1x 当 时，6.5y 最小值方法归纳当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：2yaxbxc1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.例2 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框
43、的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）x解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x0，故0 x2.632x6302x矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：632xyx g几何图形的最大面积二233.2yxx 即233(1).22yx 配方得所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.x=1满足0 x2，这时631.5.2x因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩
44、形面积公式是什么？典例精析问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，当 时，S有最大值 301522(1)bla 2243022544(1)acba 也就是说，当l是1 15m时，场地的面积S最大.5 510101515 2020 25253030100100200200lsO变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积
45、最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例1有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，Sx(602x)2x260 x.0602x32，即14x30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3
46、可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则26013022xSxxx 问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 0 x 18.18.问题6 如何求最值？由于30 30 1818，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.不正确.实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法总结知识要点二次函数解决几何面积最值问题的
47、方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .28m3当堂练习当堂练习2.如图2，在ABC中，B=90,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图233.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用
48、每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解:(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000（元）课堂小结课堂小结建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定图形面积的最大值一个关键一个注意26.3 实践与探索导入新课讲授新课当
49、堂练习课堂小结第1课时 运用二次函数解决实际问题学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题(重点)2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题(重、难点)3.能运用二次函数的图象与性质进行决策导入新课导入新课问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出办法来吗？讲授新课讲授新课利用二次函数解决实物抛物线形问题一建立函数模型建立函数模型这是什么样的函数呢？这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二线，所以应当是个二次函数次函数
50、你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？合作探究怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为2ya x-2-421-2-1A如何确定a是多少？已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出因此，其中 x是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化212yx 222a g12a 解得由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：水面宽3m时 从而因此拱顶离水面
