1、统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS1统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS2统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS3.1 随机变量随机变量(random variables)1.对对随机事件随机事件的的数值性描述数值性描述-例如：抛硬币的结果，正面定义为例如：抛硬币的结果，正面定义为1，反，反面定义为面定义为02.一般用一般用 X，Y，Z 来表示来表示3.根据取值情况的不同分为根据取值情况的不同分为离散型随机变量：离散
2、型随机变量：数轴上可列个孤立的数轴上可列个孤立的点点连续型随机变量：连续型随机变量：数轴上一个或多个区数轴上一个或多个区间间3统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS离散型随机变量离散型随机变量1.随机变量随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以取有限个值或所有取值都可以逐个列举逐个列举出来出来 x1,x2，2.以以确定的概率确定的概率取这些不同的值取这些不同的值3.离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽查抽查100个个产品产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑
3、公司一个月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾客数顾客数销售量销售量顾客性别顾客性别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性为男性为0,女性为女性为14统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS连续型随机变量连续型随机变量1.连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它通常研究它取某一区间值的概率取某一
4、区间值的概率5.用用概率密度函数概率密度函数和和分布函数分布函数的形式来描述的形式来描述试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽查一批电子元件抽查一批电子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长度长度使用寿命使用寿命(小时小时)半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比测量误差测量误差(cm)X 00 X 100X 05统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 定义定义 设设X是一随机变量，是一随机变量，X是任意实数是任意实数，则实值函数，则实值函数F(x)P X x，x(-(-，+)+)称为随机变量称为随机
5、变量X的的分布函数分布函数。有了分布函数定义，任意有了分布函数定义，任意x1，x2R，x1x2，随，随机变量机变量X落在落在(x1,x2 里的概率可用分布函数来计算：里的概率可用分布函数来计算：P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1).在这个意义上可以说，在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性机变量的统计规律性，或者说，或者说，分布函数完整地表示分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况了随机变量的概率分布情况。分布函数的定义6统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS分布函数的
6、性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2)；2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且，且 ;1)(lim)(,0)(lim)(xFFxFFxx)()(lim)0(000 xFxFxFxx3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质数的充分必要性质。7统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS例例 设随机变量设随
7、机变量X具分布律具分布律如下表如下表解解 )(xFx0112)()(xXPxFX012P0.1 0.6 0.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。.2,1,21,7.0,10,1.0,1,0 xxxx8统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS连续型随机变量与概率密度连续型随机变量与概率密度,0)(.1xf,1)(.2dxxf有也可为也可为对于任意的,b,),(,ababa,)(.3badxxfbXaP则称则称X是是连续型随机变量连续型随机变量，f(X)称为称为X的的概率密度函概率密度函数数,简称概率密度简称概率密度。注意注意f(x)不是概
8、不是概率率 设设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数数f(x)，满足条件，满足条件9统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1)0)(xf2)1)(dxxfaSb 1xo)(xf这两条性质是判定一这两条性质是判定一个函数个函数 f(x)是否为某是否为某个随机变量个随机变量X的概率的概率密度函数的充要条件密度函数的充要条件3)X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率 badxxf)(10统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATI
9、STICSSTATISTICS连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差1.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望2.方差方差11统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS3.2 正态分布正态分布(normal distribution)1.正态分布是最重要的一种正态分布是最重要的一种概率分布概率分布。正态分布。正态分布概念是由德国的数学家概念是由德国的数学家(Carl Friedrich Gauss，17771855)和天文学家和天文学家Moivre于于1733年首次年首次提出的，但由于提出的，但由于Gauss率先将其
10、应用于天文学率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。家研究，故正态分布又叫高斯分布。2.描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布3.许多现象都可以由正态分布来描述许多现象都可以由正态分布来描述 4.可用于可用于近似离散型随机变量的分布近似离散型随机变量的分布例如：例如：二项分布当二项分布当n越来越大，越近似服从正态分越来越大，越近似服从正态分布布5.经典统计推断的基础经典统计推断的基础正态分布是许多统计方法的理论基础：正态分布是许多统计方法的理论基础：如如t分布、分布、F分布、分布、2分布都是在正态分分布都是在正态分布的基础上推导出来的，此外，布的基础上推导
11、出来的，此外，t分布、分布、二项分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。原理来处理。12统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS =正态随机变量正态随机变量X的均值的均值 =正态随机变量正态随机变量X的方差的方差 =3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值随机变量的取值(-x(标准正态曲线)=5=1f(t)2)1(2)/1()2(2)1()(ttf不同自由度下的不同自由度下的t 分布图分布图62统计学统计学统计学统计学统计
12、学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICSt分布的特征分布的特征 以以0为中心，左右对称的单峰分布；为中心，左右对称的单峰分布；t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由度的大小有关。度的大小有关。自由度越小，则自由度越小，则t值越分散，曲线越低平；值越分散，曲线越低平；较小的较小的n的的t分布的尾部比标准天上正态分分布的尾部比标准天上正态分布要长；布要长；自由度逐渐增大时，自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近分布逐渐逼近Z分布分布(标准正态分布标准正态分布)；当趋于；当趋于时，时，t分布即为分布即为Z分分布。布。63统计学统计学统计学统计
13、学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS1.由统计学家费希尔由统计学家费希尔(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏提出的，以其姓氏的第一个字母来命名的第一个字母来命名2.设若设若U为服从自由度为为服从自由度为n1的的 2分布，即分布，即U 2(n1)，V为服从自由度为为服从自由度为n2的的 2分布，即分布，即V 2(n2),且且U和和V相互独立，则称相互独立，则称F为服从自由度为服从自由度n1和和n2的的F分布，记分布，记为为F分布分布(F distribution)64统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF .,0,0,1222)(2212112221212111其他其他xnxnnnxnnnnxfnnnnF 65统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICSF分布分布两个样本方差的抽样分布两个样本方差的抽样分布66统计学统计学统计学统计学统计学统计学STATISTICSSTATISTICSSTATISTICS67 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！
