1、福建省福州第一中学2023届高三第一次调研测试数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则下列结论正确的是ABCD2如果复数是纯虚数，则实数的值为A0B2C0或3D2或33若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：；.其中是“理想函数”的序号是ABCD4已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是A函数的最小正周期为4B函数的图象关于直线对称C函数的图象关于点对称D函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象5设都是正数，且，则下列结论错误
2、的是（）ABCD6如图，在四棱锥中，平面，且，异面直线与所成角为，点，都在同一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD7已知，且，其中，则（）A1B2C3D48设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是ABCD二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知，则下列不等式成立的是（）ABCD10在锐角三角形中，、是其三内角，则下列一定成立的有（）ABCD11在中角、所对的边分别为、，能确定为锐角的有（）ABC、均为锐角，且D12设是等差数列的前n项和，且，则（）AB公差CD数列的前n项和为三、填空题；本
3、题共4小题，每小题5分，共20分13如图，直三棱柱，侧棱长为，点是侧面内一点当最大时，过、三点的截面面积的最小值为_14若函数ysin x在区间上单调递减，则的取值范围是_.15若直线和曲线相切，则实数的值为_.16已知函数，则函数的零点个数是_个.四、解答题；本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC中，根据下列条件，解三角形（1）A60，c，a；（2）a，b，B45.18已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象右移个单位得到的图象，求函数的单调递增区间19如图，要在一块矩形空地上开辟一个内接四边形为绿地，且点都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知，
4、且.设，绿地的面积为.（1）写出关于x的函数关系式，并写出这个函数的定义域；（2）记的最大值为，求的表达式.20在多面体中，四边形为菱形，平面平面，.（1）若是线段的中点，证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.21已知各项均为正数的两个数列满足且（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前n项和分别为求使得等式：成立的有序数对22已知函数在处取得极值-14.(1)求a，b的值；(2)求曲线在点处的切线方程；(3)求函数在上的最值.参考答案：1C2A3C4C5B6D7B8A9BD10BC11BCD12BCD133144,0)15116417（1）（2）或【解析】利用正弦
5、定理、余弦定理，即可求解三角形.（1）由正弦定理可得,所以，, （2）a，b，B45，,或, 由余弦定理得,即，整理得：，解得或所以或本题主要考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论的思想，属于中档题.18（1）；（2）（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）利用三角函数图象变换规律得出，然后解不等式，可得函数的单调递增区间（1），所以，函数的最小正周期为；（2）将函数的图象右移个单位，得到函数的图象，由，解得：函数的单调递增区间为本题考查正弦型三角函数的最小正周期、单调区间的求解，同时也考查了利用三角恒等变换思想化简三角函数解析式以及利用
6、图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19（1），其定义域为；（2）.（1）由题意可知，而绿地的面积等于矩形空地的面积减去的面积，从而可得的函数关系式；（2）由于的对称轴为，所以分和两种情况讨论求函数的最值（1），.，其定义域为.（2）当即时，则时，取最大值.当即时，在上是增函数，则时，取最大值.综上所述，20（1）证明见解析；（2）.（1）连接、，可知为等边三角形，利用三线合一的性质可得，利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）证明出，然后设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，结合同角
7、三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.（1）连接、，如图所示：四边形为菱形，则为等边三角形，为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，因此，平面平面；（2）由（1）可知，平面，平面，为的中点，则，则是等腰直角三角形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，则、，则，设平面的法向量为，由，得，令，可得，所以，平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则为钝角，所以，.因此，二面角的正弦值为.本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）根据递
8、推关系可得，从而得到数列是等差数列；（2）分别求出数列的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列的通项公式；（3）求出，代入中，则存在，使得，从而，再证明不成立，从而得到，（1）由即因为数列各项均为正数，所以，即，故数列是公差为1的等差数列 （2）由（1）及知由，得所以，上面两式相除得，所以数列的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列由及知，所以，所以综上，数列的通项公式为 （3）由（1）和（2）知，由，得，即则必存在，使得，从而若，则，故又因为，所以这与矛盾，所以由于，则只能，此时，满足题意数对为.关键点点睛：通过递推关系的变形化简证明数列为等差等比数列，要注意变形的方向性，这种类型的递推关系，
9、注意要分奇偶项分析，探索性问题要注意利用问题的特殊化，特殊性，提供方向.22(1)(2)(3)函数在上的最小值为，最大值为.(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.（1）因为函数，所以，又函数在处取得极值.则有，即，解得：，经检验，时，符合题意，故.（2）由（1）知：函数，则，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，也即.（3）由（1）知：函数，则，令，解得：，在时，随的变化，的变化情况如下表所示：单调递减单调递增单调递减由表可知：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值；因为，故函数在上的最小值为，最大值为11
