1、栏目索引 课题课题7 7 分式方程分式方程 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 分式方程的概念 考点二 分式方程的解法 考点三 分式方程的应用 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查分式方程的解法 题型二 考查分式方程的应用 栏目索引 总纲目录 易错一 分式方程化为整式方程时出现漏乘 的错误 易错二 不理解分式方程的增根的意义 易错三 在列分式方程解决行程问题时忽略单 位的统一而出现错解 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 分式方程 2018 25 10 以解答题的形式,以锐角三 角函数为载体,考查分式方 程
2、的解法 2017 25 11 以解答题的形式,以求三角 函数值为问题情境,考查分 式方程的解法 2016 12 2 以选择题的形式,以倒数、 代数式的值为问题情境,考 查根据实际问题列分式方 程 备考策略:在我省的中考中,分式方程是一个经常考查的内容,但单独考查的题目较少,常与方程、函数等知识进行综合考查,考查的内容以基础知 识为主,预计今后中考中对分式方程的考查不会有较大的 变化. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 分式方程的概念分式方程的概念 基础知识梳理 1.分式方程:分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解:使得分式方程两边 相等 的未知数的值,叫做
3、分式方程 的解. 栏目索引 基础知识梳理 考点二考点二 分式方程的解法分式方程的解法 解分式方程的基本方法是把分式方程化为 整式 方程,因此解分式方程 的一般步骤如下: (1)方程两边同乘各分式的 最简公分母 ,把分式方程化为整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:验根的目的是检验解整式方程所得的解是不是分式方程的 增根 ,验根的方法是把解整式方程所得的解代入最简公分母中,如果最简公分母 的值不为 0 ,那么这个解为原分式方程的根;如果最简公分母的值为 0 ,那么这个解为原分式方程的增根. 栏目索引 基础知识梳理 考点三考点三 分式方程的应用分式方程的应用 列分式方程解应用题的方法与列
4、一元一次方程解应用题的方法基本相同,不 同的是,解分式方程时一定要验根,验根的目的有两个,一是检验求出的解是 不是原分式方程的根,二是检验它是否符合实际问题的意义. 温馨提示 验根是解分式方程时必不可少的一个解题步骤,必须体现在解 题过程中,但验根的过程只需简单叙述即可,不必把验根的过程详细写出. 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 考查分式方程的解法考查分式方程的解法 该题型主要考查分式方程的解法,主要内容包括:解分式方程,利用分式方程 的根求方程中的字母参数,对分式方程进行验根,利用分式方程的增根求方程 中的字母参数等. 中考题型突破 典例典例1 (2018沧州模拟)解下列分式方程: (
5、1) - =1; (2)x-3+ =0. 2 3 x x 3 3x 2 6 3 xx x 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)方程两边同乘(x+3)(x-3),得x2-5x+6-3x-9=x2-9, 解这个整式方程,得x= . 经检验,x= 是原分式方程的解. 原分式方程的解是x= . (2)方程两边同乘(x+3),得(x+3)(x-3)+(6x-x2)=0, 解这个整式方程,得 x= . 经检验,x= 是原分式方程的解. 3 4 3 4 3 4 3 2 3 2 原分式方程的解是x= . 3 2 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 解分式方程的基本方法是“转化”,即通过去分母把分式方
6、程转 化为整式方程,其中应注意两点:将分式方程转化为整式方程后,解这个整 式方程;对解整式方程所得的解一定要进行检验,这是解分式方程必不可少 的一个解题步骤,但具体的检验过程可在草稿纸上完成. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练1 (2018廊坊二模)若关于x的方程 - =1的根是2,求整式(m-4)2-2m +8的值. 4 x2 m x 答案答案 关于x的方程 - =1的根是2, x=2满足原方程. 把x=2代入原方程,得2- =1, 解得m=4. 当m=4时,(m-4)2-2m+8=(4-4)2-24+8=0. 4 x2 m x 4 m 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查分式
7、方程的应用考查分式方程的应用 该题型主要考查分式方程的应用,主要内容包括:根据实际问题列分式方程, 列分式方程解决实际问题等,常与一元一次方程、二元一次方程组、函数等 知识相结合进行综合考查. 典例典例2 (2017唐山滦南五模)为加快城市群的建设与发展,在A,B两个城市间 新建一条城际铁路,建成后,铁路运行里程由现在的120 km缩短至114 km,城 际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110 km,运行时间仅是现行时 间的 ,求建成后的城际铁路在A,B两地的运行时间. 2 5 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 因为分式方程是方程的一种,因此列分式方程解决实际问题的方 法与列一
8、元一次方程解决实际问题的方法基本相同,先通过审题找到题目中 的等量关系,然后设适当的未知数列出分式方程,从而把解决实际问题转化为 解分式方程问题. 答案答案 设城际铁路现行速度是x km/h. 由题意得 = , 解这个方程,得x=80. 经检验,x=80是原分式方程的根,且符合题意. =0.6. 答:建成后的城际铁路在A,B两地的运行时间是0.6 h. 120 x 2 5 114 110x 120 80 2 5 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练2 (2018岳阳中考)为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市 持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队 负责对
9、一面积为33 000平方米的非法砂石码头进行拆除,回填土方和复绿施 工,为了缩短工期,该工程队增加了人力和设备,实际工作效率比原计划每天 提高了20%,结果提前11天完成任务,求实际平均每天施工多少平方米. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 设原计划平均每天施工x平方米,则实际平均每天施工1.2x平方米. 根据题意,得 - =11, 解这个方程,得x=500. 经检验,x=500是原方程的解且符合题意, 1.2x=600. 答:实际平均每天施工600平方米. 33 000 x 33 000 1.2x 栏目索引 易混易错突破 易错一易错一 分式方程化为整式方程时出现漏乘的错误分式方程化为整式方程
10、时出现漏乘的错误 易混易错突破 易错警示易错警示 解分式方程去分母时,容易出现漏乘常数项的错误. 解析解析 去分母,得2x=x-3,解得x=-3,经检验,x=-3是原分式方程的解.故选B. 答案答案 B 典例典例1 分式方程 =1的解为 ( B ) A.x=-2 B.x=-3 C.x=2 D.x=3 2 3 x x 栏目索引 易混易错突破 典例典例2 已知关于x的分式方程 -2= 无解,请求出k的值. 1 25 x x 3 25 k x 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是混淆分式方程的增根与错解,实际上,分式 方程的增根是由分式方程本身所决定的,而不是解方程时出现了错误,并且分 式方程的增
11、根往往是我们解决某些问题的突破口. 易错二易错二 不理解分式方程的增根的意义不理解分式方程的增根的意义 栏目索引 易混易错突破 解析解析 因为该分式方程无解,所以解方程所得的解为增根. 由2x-5=0,解得x= , 所以该方程的增根为x= . 原分式方程两边乘(2x-5),得x+1-2(2x-5)=k-3, 把x= 代入上式,得 +1= k-3, 解得k= . 5 2 5 2 5 2 5 2 13 2 栏目索引 易混易错突破 典例典例3 (2017石家庄正定模拟)A、B两地相距160千米,甲车和乙车的平均速 度之比为45,两车同时从A地出发到B地,乙车比甲车早到30分钟,求甲车的 平均速度.设
12、甲车的平均速度为4x千米/时,则所列方程是 ( B ) A. - =30 B. - = C. - = D. + =30 160 4x 160 5x 160 4x 160 5x 1 2 160 5x 160 4x 1 2 160 4x 160 5x 易错三易错三 在列分式方程解决行程问题时忽略单位的统一而出现错解在列分式方程解决行程问题时忽略单位的统一而出现错解 栏目索引 易混易错突破 易错警示易错警示 本题的时间单位中,既有分钟也有小时,解题时容易出现时间单位 不统一的错误. 解析解析 若甲车的平均速度为4x千米/时,则乙车的平均速度为5x千米/时,根据 题意,得 - = . 160 4x 1
13、60 5x 1 2 答案答案 B 栏目索引 随堂巩固检测 1.解分式方程 + =3时,去分母后变形为 ( D ) A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1) C.2-(x+2)=3(1-x) D.2-(x+2)=3(x-1) 2 1x 2 1 x x 2.方程 + =-1的解是 ( D ) A.x=2 B.x=1 C.x=0 D.无解 1 1x1 x x 随堂巩固检测 栏目索引 随堂巩固检测 3.某汽车运输公司承担了运送16万吨煤到包头火车站的任务.为了加快运输 进度,实际每天的运煤量比原计划每天多运0.4万吨,结果提前2天完成了任务, 问实际每天运煤多少万吨?若设实际每天
14、运煤x万吨,则依题意列出的方程为 ( B ) A. - =2 B. - =2 C. - =2 D. - =2 16 x 16 0.4x 16 0.4x 16 x 16 0.4x 16 x 16 x 16 0.4x 栏目索引 随堂巩固检测 4.(2018邯郸模拟)某学校食堂需采购部分餐桌,现有A、B两个商家,A商家每 张餐桌的售价比B商家的优惠10元.若该校花费2万元采购款在B商家购买餐 桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数,则A商家每张餐 桌的售价为 ( A ) A.90元 B.100元 C.80元 D.110元 栏目索引 随堂巩固检测 5.当x= 1 时,分式 的值比分式
15、的值大2. 4 3 x x 1 3x 6.若分式方程 - =2有增根,则m的值是 -1 . 1 x x1 m x 栏目索引 随堂巩固检测 7.解下列分式方程: (1) = ; (2) - =0. 2 3x 1 1x 3 1x 2 3 1 x x 答案答案 (1)方程两边同乘(x+3)(x-1),得2x-2=x+3, 解这个整式方程,得x=5. 经检验,x=5是原分式方程的解. (2)方程两边同乘(x-1)(x+1),得3x+3-(x+3)=0, 解这个整式方程,得x=0. 经检验,x=0是原分式方程的解. 栏目索引 随堂巩固检测 8.甲、乙两地相距150千米,一艘轮船从甲地逆流航行至乙地,然后从乙地顺 流航行返回甲地,已知水流速度为3千米/时,返回时所用的时间是去时的 .求 轮船在静水中的速度. 3 4 答案答案 设轮船在静水中的速度为x千米/时. 根据题意,得 = , 解这个方程,得x=21. 经检验,x=21是原方程的根,且符合题意. 答:轮船在静水中的速度为21千米/时. 150 3x 150 3x 3 4
