1、栏目索引 课题课题2626 正方形正方形 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 正方形的性质 考点二 正方形的判定 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 正方形的性质 题型二 正方形的判定 栏目索引 总纲目录 易错一 不理解正方形的判定定理 易错二 对问题考虑不全面导致漏解 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 正方形的性质与判定 2018 12 2 以选择题的形式,与代数式的知 识相结 合,考查正方形的知识 2017 11 2 以选择题的形式,与三角形相结 合考查 正方形的性质 2017 16 2 以选择题的形式,
2、与正六边形相 结合考 查正方形的内角和 2016 6 3 以选择题的形式,与平行四边形 相结合 考查正方形的判定 备考策略:纵观近几年河北省中考试题,对正方形的性质与判定的考查是中考的常考内容.预计2019年河北中考,对本部分内容的考查,不会有太大的变化. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 正方形的性质正方形的性质 正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,所以正方形具有矩形和菱形的所有 性质,主要性质有: (1)边:正方形的对边平行,四条边都相等. (2)角:正方形的 四 个角都是直角. (3)对角线:正方形的对角线互相 垂直平分 且 相等 ,每条对角线 平分 一组对角. (4
3、)对称性:正方形既是轴对称图形又是中心对称图形. 基础知识梳理 (5)面积计算:S= a2 (a表示正方形的边长),S= l2(l表示正方形对角线的 长). 1 2 栏目索引 基础知识梳理 考点二考点二 正方形的判定正方形的判定 (1)有一组 邻边 相等,并且有一个角是 直角 的平行四边形是正方 形. (2)有一组邻边相等的 矩形 是正方形. (3)有一个角是直角的 菱形 是正方形. (4) 对角线 相等且互相垂直的平行四边形是正方形. 栏目索引 基础知识梳理 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 正方形的性质正方形的性质 该题型主要考查正方形的性质,
4、包括正方形的边、角、对角线之间的关系,解 题时要注意正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形的特点. 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 典例典例1 (2018保定定州模拟)如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点, EFAB,EGBC,垂足分别为E,F,若正方形ABCD的周长是40 cm. (1)求证:四边形BFEG是矩形; (2)求四边形EFBG的周长; (3)当AF的长为多少时,四边形BFEG是正方形? 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)证明:四边形ABCD为正方形, ABBC,B=90. EFAB,EGBC,EFGB,EGBF. B=90,四边形BFEG是矩形. (2)正方形ABC
5、D的周长是40 cm, AB=404=10 cm. 四边形ABCD为正方形, AEF为等腰直角三角形. AF=EF. 栏目索引 中考题型突破 四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20 cm. (3)若要四边形BFEG是正方形,只需EF=BF. AF=EF,AB=10 cm, 当AF=5 cm时,四边形BFEG是正方形. 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 根据正方形的性质,在正方形中可以比较方便地得到等腰直角三 角形,如一组邻边与对角线组成等腰直角三角形,两条对角线的一半与正方形 的一边组成等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的特殊性可以为问题的求 解提供有利条件.
6、 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练1 (2017保定徐水模拟)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、 BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F 重合,展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E,G,连接GF,有下列结论:AGD= 112.5;tanAED= +1;四边形AEFG是菱形;SACD= SOCD.其中,正 确结论的序号是 . 23 栏目索引 中考题型突破 解析解析 由折叠的性质可知,ADE=BDE.四边形ABCD是正方形, DAC=ADB=45,ADE=22.5, AGD=180-45-22.5=112.5,正确; 设AE=x,AB=1,
7、则EF=x,易知BEF是等腰直角三角形,BE= EF= x, x+ x=1,解得x= -1,tanAED= = +1,正确; 易知EFAC,EFG=FGO,又EAG=EFG, EAG=FGO,GFAB,四边形AEFG是平行四边形, 又EA=EF,四边形AEFG是菱形,正确; 由正方形的性质可知SACD=2SOCD,错误. 2 2 22 AD AE 2 答案答案 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 正方形的判定正方形的判定 该题型主要考查正方形的判定,由于正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱 形,因此判定正方形的方法比较灵活,一般情况下,判定正方形可分为两步,即 先判定四边形为矩形(菱形),然后
8、判定这个四边形是菱形(矩形). 栏目索引 中考题型突破 典例典例2 (2018沧州模拟)如图,在ABC中,BD平分ABC,AEBD于点O,交 BC于点E,ADBC,连接CD,DE. (1)求证:AO=EO; (2)当ABC满足什么条件时,四边形ABED是正方形?请说明理由. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)证明:ADBC, CBD=ADB. BD平分ABC,ABD=CBD. ABD=ADB,AB=AD. 又AEBD,BO=DO. 又AOD=EOB, AODEOB,AO=EO. 栏目索引 中考题型突破 (2)当ABC满足ABC=90时,四边形ABED是正方形.理由: AODEOB, AD
9、=BE. 又ADBE,AEBD, 四边形ABED是菱形. 当ABC=90时,菱形ABED是正方形. 即当ABC满足ABC=90时,四边形ABED是正方形. 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 本题主要考查了菱形的判定与性质,正方形的判定,全等三角形的 判定与性质的运用,其中(2)中判定正方形的方法具有代表性,如先判定四边 形ABED是菱形,可得当ABC=90时,菱形ABED是正方形,据此可得结论. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练2 (2017邢台模拟)如图,在RtABC中,BAC=90,AD=CD,点E是 边AC的中点,连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AGBC,与DE
10、交于点 G,连接AF、CG. (1)求证:AF=BF; (2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)AD=CD,点E是边AC的中点, DEAC,即直线DE是线段AC的垂直平分线, AF=CF,FAC=ACB. 在RtABC中,BAC=90, B+ACB=90,FAC+BAF=90, B=BAF, AF=BF. (2)AGCF,AGE=CFE. 又点E是边AC的中点,AE=CE. 栏目索引 中考题型突破 在AEG和CEF中, AEGCEF(AAS),AG=CF. 又AGCF,四边形AFCG是平行四边形. AF=CF,四边形AFCG是菱形. 在Rt
11、ABC中,由AF=CF,AF=BF,得BF=CF. 即点F是边BC的中点. AGECFE, AEGCEF, AECE, 又AB=AC,AFBC,即得AFC=90, 四边形AFCG是正方形. 栏目索引 易混易错突破 易错一易错一 不理解正方形的判定定理不理解正方形的判定定理 易混易错突破 典例典例1 下列结论正确的是 ( C ) A.有一个角是直角的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的四边形是正方形 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.四条边都相等的四边形是正方形 栏目索引 易混易错突破 易错警示易错警示 本题非常容易出现错误,其原因是不理解正方形的判定定理而靠 死记硬背,因此对每个判定定理所
12、面对的对象、所需要的条件一知半解. 解析解析 A.有一个角是直角的菱形是正方形,错误;B.有一组邻边相等的矩形是 正方形,错误;C.正确;D.四条边都相等的矩形是正方形,错误. 答案答案 C 栏目索引 易混易错突破 易错二易错二 对问题考虑不全面导致漏解对问题考虑不全面导致漏解 典例典例2 已知正方形ABCD,以CD为边作等边三角形CDE,则AED的度数是 . 易错警示易错警示 对点E的位置考虑不全面而漏解,应分点E在正方形内和正方形外 两种情况进行求解. 栏目索引 易混易错突破 解析解析 如图所示,当点E在正方形ABCD外时,在ADE中,AD=DE,ADE= 90+60=150,所以AED=
13、 (180-150)=15;如图所示,当点E在正方形 ABCD内时,在ADE中,AD=DE,ADE=90-60=30,所以AED= (180- 30)=75. 1 2 1 2 图 图 答案答案 15或75 栏目索引 随堂巩固检测 1.在ABCD中,BD,AC是对角线,下列结论不正确的是 ( D ) A.当AB=BC时,ABCD是菱形 B.当ABC=90时,ABCD是矩形 C.当ACBD时,ABCD是菱形 D.当AC=BD时,ABCD是正方形 随堂巩固检测 栏目索引 随堂巩固检测 2.如图,在正方形ABCD中,对角线AC=6,点P是对角线AC上的一点,过点P作PF AD,PECD,则PF+PE的
14、值为 ( A ) A.3 B.3 C.2 D.6 23 栏目索引 随堂巩固检测 3.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交边 AD、BC于E、F两点,则阴影部分的面积是 ( A ) A.1 B.2 C.3 D.4 栏目索引 随堂巩固检测 4.如图,平行四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形,请你添加一个适当的 条件 AC=BD(答案不唯一) ,使ABCD成为正方形(只需添加一个即可). 栏目索引 随堂巩固检测 5.如图所示,延长正方形ABCD的边BC至点E,使CE=AC,连接AE交CD于点F, 则AFC= 112.5 . 栏目索引 随堂巩固检测 6.如图,在正方形
15、ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若CBF=20, 连接DE，则AED= 65 . 栏目索引 随堂巩固检测 7.如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,CE=CF, FDC=30,求BEF的度数. 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 四边形ABCD是正方形, BCD=DCF=90,BC=DC. 又CE=CF, BCEDCF, EBC=FDC=30. BEC=60. DCF=90,CE=CF,FEC=45, BEF=BEC+FEC=60+45=105. 栏目索引 随堂巩固检测 8.如图,在边长为8的正方形ABCD中,M是BC上的一点,连接AM,作AM的垂直 平分线GH交AB于点G,交CD于点H,若CM=2,求线段GH的长度. 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 过点B作BNGH交CD于点N. 正方形ABCD的边长为8,CM=2,BM=8-2=6. 根据勾股定理,得AM= = =10. GH是AM的垂直平分线,BNGH, CBN+AMB=90. 又BAM+AMB=90, BAM=CBN. 在ABM和BCN中, 22 ABMB 22 86 栏目索引 随堂巩固检测 ABMBCN(ASA), AM=BN. 又BNGH,BGNH, 四边形BNHG是平行四边形, BN=GH, GH=AM=10. BAMCBN, ABBC, ABCBCN90 ,
