1、第六章第六章 圆圆 第第1919讲讲 圆的有关性质圆的有关性质 考点考点 圆的有关概念圆的有关概念 定义定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点A所形成的图形叫做圆 弦弦 定义 连接圆上任意两点的 . 直径 经过圆心的弦 弧弧 定义 圆上任意两点间的部分 劣弧 小于半圆的弧 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫 做半圆 优弧 大于半圆的弧 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 线段线段 同心圆同心圆 与等圆与等圆 同心圆 有公共圆心的圆叫做同心圆 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 圆心角圆心角 顶点在 的角叫做圆心角 圆周角圆周角 顶点在
2、上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 外心外心 三角形三条边的垂直平分线的交点，是三角形外接圆 的圆心，也叫做三角形的外心 点拨(1)圆的集合定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做 圆圆是一条封闭的曲线，而不是指“圆面”，圆的面积是指“圆面”的大小； (2)直径是圆中最长的弦；(3)只有在同圆或等圆中才会有等弧，并不是指长度 相等或所对的圆心角相等的弧是等弧 圆心圆心 圆圆 考点考点 圆的有关性质圆的有关性质 对称性对称性 (1)圆是轴对称图形，任何一条 所在直线都是圆的对称轴； (2)圆是中心对称图形，对称中心是 . 垂径垂径 定理定理 垂径定理： 于弦的直径 弦， 并且平分
3、. 推论1*：平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且平分弦所对 的 . 推论2*：弦的垂直平分线一定经过 . 推论3*：夹在平行弦间的 相等 圆心角圆心角 定理定理 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等， 所对的 也相等 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条 弧，两条弦中如果有一组量相等，那么它们所 的其余各组量 都分别相等 6 6年年1 1考考 直径直径 圆心圆心 垂直垂直 平分平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧 垂直垂直 两条弧两条弧 圆心圆心 弧弧 弧弧 弦弦 对应对应 圆周角圆周角 定理定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 的 一半 推论
4、1：同弧或 所对的圆周角相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90的圆周 角所对的弦是 . 圆心角圆心角 等弧等弧 直角直角 直径直径 点拨(1)因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦相等”“弧相等”是指对应的 弧；(2)已知弦，求弧的长度或相关角，注意不同情形 考点考点 圆的有关性质圆的有关性质 6 6年年1 1考考 定义定义 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形 性质性质 圆内接四边形的对角互补 推论推论 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 考情分析以选择或填空题的命题方式，考查垂径定理与圆心角、圆周角和弧的关系， 以解答题的形式综合考查圆的性质 预测单独考查圆的性质
5、的几率不大，一般地考查圆的有关计算和圆的位置关系 命题点命题点 圆的有关性质圆的有关性质 12015德州，T21，10分如图，O的半径为1， A，P，B，C是O上的四个点 APCCPB60. (1)判断ABC的形状： ； (2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系， 并证明你的结论； 等边三角形等边三角形 (3)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面 积 类型类型 垂径定理垂径定理 12018枣庄如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP2 ，BP6, APC30，则CD的长为( ) C C 22018临安区如图，O的半径OA6，以A为圆心，OA为半 径的弧交O于B
6、，C点，则BC( ) A A 解题要领：出现垂直于直径的弦(条件是线段可延长变为弦)，考虑垂径定理； 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，是根据圆的性质计算时的重要辅助线；充 分利用弧或弦的中点这个条件，往往连接圆心；特别注意无图的计算题，要注意 分类讨论，不可遗漏其他的情况 类型类型 圆心角、圆周角的关系圆心角、圆周角的关系 32018苏州如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上 的点，D是 上的点若BOC40，则D的度数为( ) 42018菏泽如图，在O中，OCAB，ADC32，则 OBA的度数是( ) B B D D A100 B110 C120 D130 A64 B58 C32 D2
7、6 解题要领：在同圆中，注意运用圆心角、圆周角、弦、弧等量关系的转化；圆 的直径与直径所对的圆周角为直角的转化；如果题干中无对应图形时，避免遗漏 符合条件的图形的其他情形 类型类型 圆的性质的综合运用圆的性质的综合运用 52018福建已知四边形ABCD是O的内接四边形，AC是 O的直径，DEAB，垂足为E. (1)延长DE交O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1.求证： PCPB； (2)过点B作BGAD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在 DE的左侧，如图2.若AB ，DH1，OHD80，求BDE 的大小 解题要领：把握问题中关键点，如 弧的中点、弦的中点、直径、垂直以 及60角等；求线段长度时，常常 用到垂径定理，灵活运用锐角三角函 数、相似三角形求解 62018安徽如图，O为锐角ABC的外接圆，半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线，并标出它与劣弧 的交点 E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长 20192019考向过预测考向过预测
