1、有限元分析及应用有限元分析及应用第一章 有限元法简介2有限元法介绍 有限元法的基本思想是将结构离散化结构离散化，用有限个容易分析的单元单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个结点结点相互连接，然后根据变形协调条件变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，结点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。3有限元法是最重要的工程分析技术之一。它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的
2、重视。4随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。5有限元法的孕育过程及诞生和发展 牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz G.W.)6大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积积分法分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论
3、基础。7在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数加权余值法及线性代数方程组的解法方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。高斯(Gauss)8在18世纪，另一位数学家拉格朗日提出泛泛函函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途径。拉格朗日(Lagrange J.)9在19世纪末及20世纪初，数学家瑞利和里兹（Rayleigh Ritz）首先提出可对全定义域全定义域运用展开函数运用展开函数来表达其上的来表达其上的未知函数未知函数。瑞利(Rayleigh)101915年，数学家伽辽金(Galerkin)
4、提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。1112（对象、变量、方程、求解途径）各力学学科分支的关系13(1)桥梁隧道问题14任意变形体力学分析的基本变量及方程研究对象：任意形状的变形体几种典型的对象圆形隧道三维模型15(2)中华和钟(3)矿山机械16(4)压力容器的成形17变形体及受力情况的描述18求解方法19有限元方法的思路及发展过程思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方便，一般人员可以使用。实
5、现办法：20技术路线：21发展过程：如何处理对象的离散化过程22.常用单元的形状常用单元的形状点点(质量质量)线线(弹簧，梁，杆，间隙弹簧，梁，杆，间隙)面面 (薄壳薄壳,二维实体二维实体,轴对称实体轴对称实体)二次二次体体(三维实体三维实体)线性线性二次二次.线性线性.23点点 单元单元线线 单元单元一维波传导问题一维波传导问题 24点点 单元单元线线 单元单元25XY00.020.040.060.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.0010面面 单元单元28XY00.020.040.06
6、0.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.00102930受垂直载荷的托架受垂直载荷的托架31线性单元线性单元 /二次单元二次单元 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。低阶单元低阶单元更高阶单元更高阶单元体体单元单元32 有限元分析的作用有限元分析的作用l 复杂问题的建模简化与特征等效复杂问题的建模简化与特征等效l 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制）软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制）l 计算结果的评判计算结果的评判l 二次开发二次开发l 工程问题的
7、研究工程问题的研究l 误差控制误差控制36第二章 有限元分析的力学基础 2.1 2.1 变形体的描述与变量定义变形体的描述与变量定义(1)变形体 变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。有限元方法所处理的对象：任意变形体38(2)基本变量的定义 可以用以下各类变量作为任意变形体的描述因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：位移、应变、应力量39目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物理方程(3)研究的基本技巧采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变形体）402.2 2.2 弹性体的基本假设弹性体的基本假设为突出所处理的问题的实质，
8、并使问题简单化和抽象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。(1)物质连续性连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述；(2)物质均匀性均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性；(3)物质(力学)特性各向同性各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性；(4)(4)线性弹性线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状；(5)(5)小变形小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以高阶小量（二阶以上）。以上基本假定将作为问题简化的出发点。412.3 2.3 基本变量的指标表达基本变量的指标表达指标记法的约定：自由指标自由指标：在
9、每项中只有一个下标出现，如 ，i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个坐标轴x,y,z。哑指标哑指标：在每项中有重复下标出现，如：，j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3ijijijbxa42Einstein 求和约定：哑指标意味着求和指标记法的应用：指标记法的应用：对于方程组按一般的写法，可写为若用指标记法：(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和（2-1）（2-2）（2-3）43克罗内克符号克罗内克符号 在笛卡尔直角坐标系下，由ij表示的Kronecker(克罗内克)符号定义为 jijiij如果如果 ,0
10、,1亦即1332211023321331211244那么，矩阵 333231232221131211100010001=是单位矩阵。根据上述定义，可以推出下列关系 3332211ii333323213132323222121213132121111aaaaaaaaaaaaaaajjjjjj45弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体，称为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应的称为几何方程和物理方程。平衡平衡（
11、或运动）方程、几何几何方程和物理物理方程以及边界条件，称为弹性力学的基本方程。2.4 2.4 弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法46从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界（表面）条件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问题的基本方法。472.5 2.5 空间问题的基本方程空间问题的基本方程dydxdz483D情形下的力学基本变量将正应力和正应变简写成49abbaaddccxyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz50由力平衡条件0X有：0Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzx
12、zxzxyxyxyxxxx化简得到0Xzyxzxyxx0Y0Yzyxzyyxy0Z0Zzyxzyzxz平衡微分方程51平衡微分方程的矩阵形式为 0b其中，是微分算子 xyzzxyzyx000000000式中，b是体积力向量，T ZYXb 52由力矩平衡条件有：0 xM02222dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz全式除以dxdydz，合并相同的项，得 02121dzzdyyzyzyyzyz略去微量项，得 zyyzxzzx0YMyxxy0ZM剪切力互等定律53二维问题：平衡微分方程0Xyxyxx0Yyxyxy剪切力互等定律yxxy54应力边界条件四
13、面微分体Mabc 55斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l，cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中未标出），是四面微分体的高。56dAdhdV31四面微分体的体积为 假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐标轴上的投影分别为XYZ体积力分量为X、Y、Z。设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分面的面积为 Mac=dAl，Mab=dAm，Mcb=dAn。57考虑 0Y0YdVndAmdAldAdAYzyyxy将上式除以dA，并注意到体积力项 dhdAdV31当令dh0取极限时，体积力一项趋于零。由此得到
14、 Ynmlzyyxy考虑 0XXnmlzxyxx考虑 0ZZnmlzyzxz应力边界条件58二维问题：应力边界条件YmlyxyXmlyxx59圣维南原理（局部影响原理）物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。606162均匀分布载荷作用下的平板，应力分布是均匀的。材料力学中的拉伸应力计算公式就是圣维南原理应用的结论。63一对集中力F/2作用点区域仍然有比较大的应力梯度变化，但是比等效力系F作用的变化小。远离力的作用点区域，应力分布仍然均匀。而且均匀区域更大。64几何方程：位移与应变的关系B1A11265设P
15、点的位移分量为u和v，由于坐标x有一增量dx，A点的位移较P点的位移也有一相应的增量，从而A点的位移分量为：。dxxuuuAdxxvvvA同理，B点的位移分量为：dyyuuuBdyyvvvB66在小变形的前提下，APA1很小，可以认为，线段PA位移后的绝对伸长，可以用线段两端点沿x轴的位移之差来表示，即：。dxxuudxxuuuuPAAPPAxudxdxxuPAPAAPx从而线段PA的正应变 为：。x同理线段PB的正应变 为：。yyvdydyyvPBPBBPy67对于三维情况的微分体，可以得到：zwz因此，可以总结为：xuxzwzyvy68下面，研究线段PA与PB间所夹直角的变化，即剪应变 x
16、y。这个剪应变由两部分组成，一部分是与x轴相平行的PA向y轴方向的转角1；另一部分是与y轴平行的线段PB向x轴方向的转角 2。在小变形情况下xuxvudxxuudxvdxxvvtg11169上式分母中的 ，可以略去。从而上式可简写为：1xxuxv1同样可得：yu2线段PA与PB间的剪应变 xy等于1与 2 之和：yuxvxy21zvywyzxwzuzx70 xuxyuxvxyyvyzvywyzzwzxwzuzx至此，我们得到了六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：称为几何方程71几何方程式的矩阵形式为 ut为微分算子t其中的转置 T000000000 xzyzxyzyxt72变形连续方程由
17、几何方程可知，六个应变分量完全由三个位移分量u，v，w对x，y，z的偏导数所确定。因此，六个应变分量不会是互不相关的x，y，z的函数，相互之间必存在一定的关系。73从物理意义方面讲，物体在变形前是连续的，而在变形后仍是连续的。若六个应变分量互不相关，则每个微分体的变形是任意的，从而将使变形后的各微分体间出现“撕裂”或“重叠”，这显然与实际情况不符。要使物体变形后仍为连续的，六个应变分量间必满足一定的关系。下面推导这些关系。74六个应变分量间的关系，可以分为两组。第一组 分别求 对y，x的二阶导数，得xuxyvy2322yxuyx2322xyvxy将上两式相加，得 yxxvyuyxxyxyyx2
18、22222这就是应变分量间的一个关系式。75将x，y，z循环替换，可以得到 zyyzyzzy22222xzzxzxxz22222yxxyxyyx22222与 组成了第一组的三个关系式。76第二组 分别求 对z，x，y的导数，得yuxvxyzvywyzxwzuzxzyuzxvzxy22xzvxywxyz22yxwyzuyzx2277将第二和第三式相加，减去第一式，得 yxwzyxxyzxyz22再求上式对z的导数：yxzyxwzyxzzxyzxyz232278将x，y，z循环替换，可以得到 与 组成了第二组的三个关系式。zxyxzyyzxyzxy22zyxzyxxyzxyzx22yxzyxzzx
19、yzxyz22上述六个微分关系式称为变形连续方程。79对于二维问题，由于几何方程简化为：xuxyuxvxyyvy由于只存在以上三个应变分量，且都仅为x和y的函数，则变形连续方程仅剩有 yxxyxyyx2222280物理方程前边对物体的应力和变形分别进行了讨论。这种分析适用于任何变形体，即所得出的一些结论和公式与物体的物理性质无关。但仅有应力和应变的分析还不能解决问题，还必须进一步研究应力和应变间的物理关系。81由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关系，即 x=Ex 其中E为材料的弹性模量。这就是虎克定律。弹塑性范围斜率,E弹性范围应力Y应变82工程上，一般
20、将应力与应变间的关系表示为zyxxE1xzyyE1yxzzE1xyxyG1yzyzG1zxzxG1称它们为物理方程（广义虎克定律）。83式中，E为弹性模量，为泊松比，G为剪切弹性模量，而且三者之间有如下的关系：12EG这些弹性常数不随应力的大小而改变，不随位置坐标而改变，也不随方向而改变。因为我们曾假设物体是完全弹性的、均匀的，而且是各向同性的。84物理方程用六个应力分量表示六个应变分量。当然也可以用应变分量来表示应力分量。由上页的关系式及物理方程可以推出：zyxxE112111zyxyE112111zyxzE11211185xyxyE12yzyzE12zxzxE12若令 Tzxyzxyzyx
21、 Tzxyzxyzyx代表应变列阵和应力列阵，则应力应变关系可写成矩阵形式 D86其中 1221000001221000012210001111112111称对ED称为弹性矩阵，由弹性常数E和 决定。87由广义虎克定律，有二维平面应力情况下的物理方程：物理方程逆形式88弹性问题中的能量表示弹性问题中的自然能量包括两类：外力功 应变能 （以位移为基本变量的表达）或应变余能（以应力为基本变量的表达）出于研究的需要，还要定义一些由自然能量所组合的物理量，如势能（以位移为基本变量的表达）、余能（以应力为基本变量的表达）等。89外力功由于外力又包括作用在物体上的面力和体力，则外力功包括这两部分力所作的功
22、。Part 1：外力（面力）在对应位移ui上所作的功（on Sp）Part 2：体积力 在对于位移ui上所作的功（in ）ipib90则外力总功为应变能3D情形下变形体应力与应变的对应变量为91其变形能包括两个部分：Part 1：对应于正应力与正应变的变形能 Part 2：对应于剪应力与剪应变的变形能正应力和正应变如图所示，在xoy平面内考察应变能，这时微体的厚度为dz，设微体dxdydz上只作用有 与 ，则由 （可由试验所得）的关系求得的微体上的变形能 为9293则整个物体 上 与 所产生的变形能剪应力和剪应变先考察一对剪应力和剪应变（如图所示），此时微体的厚度为dz，设微体dxdydz上只
23、作用 与 ,则由 与 作用，在微体上产生的能量 9495则整个物体 上 与 所产生的变形能整体变形能由叠加原理，将所有方向的正应力应变和剪应力应变所产生的变形能相加，可得整体变形能96势能定义系统的势能为97平面应变与平面应力问题任何构件都占有三度空间，在载荷或温度变化等的作用下，物体内产生的应力、应变和位移必然是三向的。一般说来，它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样的问题称为弹性力学空间问题。98当构件形状有某些特点，并且受到特殊的分布外力作用或温度变化影响，某些空间问题可以简化为弹性力学的平面问题。这些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐标（如x、y）的函数。平面问题可以进而分为平面应变问
24、题和平面应力问题两大类。99平面应变设一构件（如图），其纵向（z）尺寸远大于横向（x，y）尺寸，且与纵轴垂直的各截面都相同；受到垂直于纵轴但不沿长度变化的外力（包括体积力X、Y，同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿长度变化。100这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此，任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不会产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐标z无关。则有u=u(x,y),v=v(x,y),w=0显然，在这种条件下构件所有横截面上对应点（x、y坐标相同）的应力、应变和位移是相同的。这样，我们只需从构件中沿纵向截出单位厚度的薄片进行分析，用以代替整个构件的研究。101在工程和
25、机械中，许多结构或构件属于这一类问题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。yyzzooxxyyoo102 还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平面应变问题。通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时，都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。103由几何方程中应变分量和位移函数的关系及位移公式，得 0,00,321xwzuzwxuywyxyvyxxvyuyxxu
26、zxzyzyxyx不等于零的三个应变分量是x、y和xy，而且应变仅发生在与坐标面xoy平行的平面内。104将 ，代入物理方程 0yz0zxyzyzE12zxzxE120yz0zx得 yxzzE1将 代入物理方程 0z得 yxz在z轴方向没有应变，但其应力 z并不为零。105将 yxz代入物理方程zyxxE1xzyyE1得 xyxyxyxyyyxxEGEE1211111106如果用应变分量来表示应力分量，则有xyxyxyyxyyxxEEEE)1(221)21)(1()1()1(21)21)(1()1(1)21)(1()1(由上面的分析可知，独立的应力分量只有 x、y 和xy 三个。107平面应力
27、对于具有如下特征的构件，可作为平面应力问题处理。(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z轴方向)远小于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面没有外力，体积力垂直于z轴；(3)由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。10822yyxzoohhh体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板的前后表面上没有外力作用。即0z0zx0zy2hz时109在平面应力问题中，认为 等于零，但沿z轴的应变不等于零。这与平面应变的情况刚好相反。将 代入物理方程，有 0zzyxzzE1yxzE由于认为板内，将其代入物
28、理方程0zx0zyyzyzG1zxzxG1，则有0yz0zx110于是，物理方程的另外三式成为 121)(1)(1xyxyxyxyyyxx EGEE如果用应变分量来表示应力分量，上面三式变为xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（111xyxyxyyxyyxxEEEE)1(221)21)(1()1()1(21)21)(1()1(1)21)(1()1(xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（比较两类平面问题的物理方程：平面应力平面应变112 D Txyyx Txyyx这里，分别为应力矩阵、应变矩阵。矩阵D称为弹性矩阵。如果用 和 分别代
29、换平面应力物理方程各式中的E和，就得到平面应变物理方程，因此，我们可以将两类平面问题的物理方程写成统一的格式，用矩阵方程表示为21E1113对于平面应力问题，弹性矩阵为 21001112称对ED对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式中，以 代E，代即可。21E1114算例已知平面应变问题中某一三角形三结点单元刚度子阵为：14101251261352114111EKe试根据两类平面问题的转化关系写出该子阵对应平面应力问题的刚度子阵。1152121uuEuu1用代E，用代u。得到平面应力问题的刚度子阵：uuuuuEuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuEKe410252635141114
30、10111251112611135121114111212211116平面问题的解法弹性力学平面问题有两个平衡微分方程，三个几何方程，三个物理方程。共有八个方程，其中含有三个应力分量 ，三个应变分量 ，两个位移分量u和v，共八个未知函数。从数学的观点来看，有足够的方程来求解这些未知函数，问题是可解的。我们要求出八个未知函数，使其满足八个方程，同时还必须满足全部（应力及位移）的边界条件。xyxyxyxy117如前所述，在一定的边界条件下求解基本方程，可以采用两种基本方法：一是位移法位移法；另一种是应力法应力法。1.位移法把两个位移分量u(x,y),v(x,y)作为基本未知函数。为此，必须利用物理
31、方程和几何方程，将应力分量用位移分量表示出来。118对于平面应力问题，有物理方程将几何方程 代入以上各式，得xuxyvyyuxvxy119yvxuEx21yvxuEy21yuxvExy12再将上式带入平衡微分方程，0Xyxyxx0Yyxyxy简化后，即得120021211222222XyxvyuxuE021211222222YyxuxvyvE这就是用位移分量表示的平衡微分方程。将yvxuEx21yvxuEy21yuxvExy12代入应力边界条件YmlyxyXmlyxx121得到用位移表示的应力边界条件：YxvyulxuyvmEXxvyumyvxulE21121122位移边界条件：vvAuuA由
32、此可见，用位移法求解平面应力问题，归结为求解平衡微分方程，并在边界上满足边界条件。122如果所求的问题直接给出了边界上的位移 ，则应使得到的位移分量满足位移边界条件。求出位移分量后，即可用几何方程求得应变分量，再由物理方程求出应力分量。xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（vvAuuAuv对于平面应变问题，只需将上面各方程中的E换为 ，将换为 。21E11232.应力法对于弹性力学平面问题，往往已知构件所承受的载荷。一般以应力作为基本未知量较为方便，因此应力法应用较为广泛。在这里以三个应力分量 、和 为基本未知函数，需要运用平衡微分方程变形连续方程 共同决定这三
33、个未知函数。yxx,yxy,yxxy,0Xyxyxx0Yyxyxyyxxyxyyx22222124在这三个方程中，两个平衡方程已经用应力表示了，尚需将应变表示的变形连续方程改为用应力来表示，为此，将物理方程 121)(1)(1xyxyxyxyyyxx EGEExyxyxyxyyyxxEGEE1211111或yxxyxyyx22222代入变形连续方程即可。125进一步可由物理方程求应变，再通过几何方程xuxyvyyuxvxyYmlyxyXmlyxx把所得结果再与平衡方程联立求解，即可得出三个应力分量，同时使它们满足边界条件求位移，使其满足位移边界条件。126第三章 有限元分析的数学基础 3.1
34、简单问题的解析求解3.1.1 1D拉压杆问题一个左端固定的拉杆在其右端承受一外力P，该拉杆的长度为l，横截面积为A，弹性模量为E，如图所示。128（1）基本变量由于该问题是为沿x方向的一维问题，因此只有沿x方向的变量，而其它变量为零。即129（2）基本方程对原三维问题的所有基本方程进行简化，只保留沿x方向的方程，有该问题的三大基本方程和边界条件如下：0 xx130 xux131（3）求解对方程进行直接求解，可得到以下结果132其中c和c1为待定常数，由边界条件BC和，可求出中的常数c1=0，因此，有最后的结果：133（4）讨论1若用经验方法求解（如材料力学的方法），则需先作平面假设，即假设 为
35、均匀分布，则可得到再由虎克定律可算出134再计算右端的伸长量为经验方法求解的结果与弹性力学解析的结果完全一致。135（5）讨论2该问题有关能量的物理量的计算为应变能外力功势能 1363.1.2 平面梁的弯曲问题受分布载荷的简支梁如图所示，由于简支梁的厚度较薄，外载沿厚度方向无变化，该问题可以认为是一平面问题（xoy）137（1 1）基本方程的建立基本方程的建立描述该变形体同样应有三大方程和两类边界条件，有以下两种方法来建立基本方程。(a)用弹性力学中dxdy微体建模方法推导三大方程(b)用简化的“特征建模”方法推导三大方程。下面给出简化的“特征建模”方法的推导过程，其思想是用工程宏观特征量进行
36、描述。138基本变量139下面取具有全高度梁的dx”微段”来推导三大方程140针对图中“微段”，应有三个平衡方程，由 ，有其中，y为距梁中性层的坐标。由 ，有 ，即-141由 ，有 ，即由变形后的几何关系，可得到其中，y为距中性层的坐标，为梁挠度的曲率，即142由虎克定律对以上方程进行整理，有描述平面梁弯曲问题的基本方程将原始基本变量定为中性层的挠度v(x)，则可求出其它参量。143该简支梁的边界为梁的两端，作用在梁上的q(x)已在平衡方程中考虑，因此不作为力的边界条件。两端位移两端力（弯矩）144将弯矩以挠度的二阶导数来表示，即（2 2）求解求解若用基于dxdy微体所建立的原始方程（即原平面
37、应力问题中的三大类方程）进行直接求解，比较麻烦，并且很困难，若用基于以上简化的“特征建模”方法所得到的基本方程进行直接求解则比较简单，对本例问题（如为均匀分布），其方程为：145这是一个常微分方程，其解的形式有146其中c0c3为待定系数，可由四个边界条件BC求出，最后有结果（3 3）讨论讨论该问题有关能量的物理量计算为：应变能147外力功势能148第四章 杆梁结构的有限元分析原理本章提到的FEM即 有限元方法(Finite Element Method)FEA即 有限元分析(Finite Element Analysis)4.1 4.1 一个简单结构一个简单结构FEAFEA求解的完整过程求解
38、的完整过程一个阶梯形状的二杆结构如图所示，其材料的弹性模量和结构尺寸如下：150该结构由两根杆件组成，作为一种直觉，需要研究相应的“特征结构”，即杆单元，将该“特征结构”抽象为具有两个结点的单元，如下图所示。151e e下面考察该简单问题的FEA求解过程。(1)(1)离散化离散化两个杆单元，即：单元和单元152(2)(2)单元的特征及表达单元的特征及表达对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 ，那么它的两个结点条件为设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）153利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即将系数a0和a1代入 ，可将 表达成结点位移(u1,u2)的关系，即154其中由一维问题几何
39、方程和物理方程，则该单元的应变和应力为155其中156单元的势能其中叫做单元刚度矩阵。叫做单元结点外载。在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元结点外载后，就可以计算该单元的势能，因此，计算各单元的矩阵 和 是一个关键，下面就本题给出了个单元的 和 。具体就单元，有单元的结点位移向量单元的刚度矩阵单元的结点外载其中P1为结点1的支反力。具体就单元，有单元的刚度矩阵单元的结点外载单元的结点位移向量(3)(3)装配集成以得到系统的总体势能装配集成以得到系统的总体势能计算整体的势能(4)(4)处理位移边界条件并求解处理位移边界条件并求解由图可知，其边界条件为左端固定，即u1=0，将该条件代入总体势能公
40、式，有这时由全部结点位移0 u2 u3分段所插值出的位移场为全场许可位移场。由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求一阶导数），有可解出(5)(5)计算每个单元的应变及应力计算每个单元的应变及应力在求得了所有的结点位移后，由几何方程可求得各单元的应变由方程可求得各单元的应力(6)(6)求结点求结点1 1的支反力的支反力就单元 的势能，对相应的结点位移求极值，可以建立该单元的平衡方程，即有则结点1的外力为：(7)(7)讨论讨论如果我们在处理位移边界条件之前，先对总势能取极值，有在上述方程的基础上，再处理位移边界条件(BC)，即令u1=0，即可从上述方程求出u2，u3和P1，其求解的值与前面的结
41、果完全相同。这就给我们提供了一个方便，即，可以先进行各单元的装配集成，以形成该系统的整体极值方程，类似于上页的式子，最后才处理位移边界条件，同时也可以通过该整体方程直接求出支反力。这样可以适应更多的边界条件工况，更具有通用性。4.2 4.2 有限元分析的基本步骤和表达式有限元分析的基本步骤和表达式从上面的简单实例中，可以总结出有限元分析的基本思路（以杆单元为例）：单元的位移（场）模式（唯一确定性原则，完备性原则）基本步骤及相应的表达式基本步骤及相应的表达式(1)(1)物体几何的离散化物体几何的离散化 单元的结点描述为具有特征的单元。(2)(2)单元的研究单元的研究（所有力学信息都用结点位移来表
42、达）为几何位置坐标。所有物理量的表达（所有力学量都用结点位移来表达）其中 单元的平衡关系上式的实质（物理含义）是对应于单元体内的力平衡和单元结点上的力平衡。(3)(3)装配集成装配集成 整体平衡关系其中(4)(4)处理处理BCBC并求解结点位移并求解结点位移目的是获得满足位移边界条件的许可位移场。其中，qu为未知结点位移，qk为已知结点位移，Pu为未知结点力（即支反力），Pk为已知结点力。将上页方程代入以下两个方程表达式：可以先由（1）式直接求出未知结点位移：（1）（2）(5)(5)求支反力求支反力(6)(6)其它力学量的计算其它力学量的计算在求出未知结点位移qu后，由上页的(2)式可求出支反
43、力单元和整体的应变及应力4.3 4.3 杆单元及坐标变换杆单元及坐标变换4.3.1 4.3.1 局部坐标系中的单元描述局部坐标系中的单元描述局部坐标系中的杆单元上图所示的杆单元，设有两个端结点(Node1和Node2)，结点位移向量 和结点力向量 为利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参数（场变量）(和 )用结点位移向量来表示。(1)(1)单元位移场单元位移场u ue e(x x)的表达的表达由于有两个结点位移条件，可假设该单元的位移场为具有两个待定系数的函数模式，即其中a0和a1为待定系数。由该单元的结点位移条件可求出上页的a0和a1，则 可重新写成其中，叫
44、做单元的形状函数矩阵，即由弹性力学中的几何方程（这里为一维问题）有(2)单单元元应变场应变场 的表的表达达其中 叫做单元的几何函数矩阵，即由弹性力学中的物理方程，有(3)单单元元应应力力场场 的表的表达达其中，为该单元的弹性模量，叫做单元的应力函数矩阵，即(4)单单元元势势能能 的表的表达达其中，叫做单元的刚度矩阵，即(5)(5)单元的刚度方程单元的刚度方程由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的结点位移向量 取一阶极小值，有这就是单元的刚度方程，由最小势能原理的性质（系统的势能最小可推导出力的平衡方程和力的边界条件）可知，上式的物理含义是：该单元的力的平衡关系。4.3.2 4.3.2 平面
45、问题中杆单元的坐标变换平面问题中杆单元的坐标变换在工程实际中，杆单元可能出于整体坐标系中的任意一个未知，如上图所示，这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表达等价地变换到整体坐标系中，这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成和装配。上图中局部坐标系中的结点位移上图中整体坐标系中的结点位移对于结点1，整体坐标系下的结点位移 和其合成的结果应完全等效于 ；对于结点2，结点位移 和 合成的结果应完全等效于 ，即存在以下的等价变换关系写成矩阵形式其中 为坐标变换矩阵，即下面推导整体坐标系下的刚度方程，由于单元的势能是一个标量（能量），不会因坐标系的不同而改变，因此，将结点位移 的
46、坐标变换关系代入单元势能 公式，有其中，为整体坐标系下的单元刚度矩阵，为整体坐标系下的结点力，即对于本节给出的杆单元，具体有由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中的刚度方程4.3.3 4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换空间问题中杆单元的坐标变换就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还是而整体坐标系中的结点位移为杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为其中 和 分别为结点1和结点2在整体坐标系中的位置，l是杆单元的长度，和平面情形类似，与 之间存在以下转换关系：刚度矩阵和结点力的变化与平面情形相同，即为其中 为坐标变换矩阵，即4.4 4.4 梁单
47、元及其坐标变换梁单元及其坐标变换4.4.1 4.4.1 局部坐标系中的纯弯梁单元局部坐标系中的纯弯梁单元上图所示为一局部坐标系中的纯弯梁，设有两个端结点（Node1和Node2），结点位移 和结点力 为和前面推导杆单元时的情形类似，利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，我们可以将单元的所有力学参量（场变量）用结点位移向量 来表示。由于有四个位移结点条件，可假设纯弯梁单元的位移场为具有四个待定系数的函数模式，即(1)(1)单元位移场的表达单元位移场的表达其中 为待定系数。由该单元的结点位移条件可求出 中的4个待定系数，即将上式代入 中，重写位移函数，有其中，叫做单元的形状函数矩阵，即
48、(2)(2)单元应变场的表达单元应变场的表达由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式其中 为基于中性层的坐标，叫做单元的几何函数矩阵，即其中(3)(3)单元应力场的表达单元应力场的表达其中 弹性模量，叫做单元的应力函数矩阵该单元的势能为(4)单单元元势势能能 的表的表达达其中应变能其中 为刚度矩阵，即其中 为惯性矩，则外力功为(5)(5)单元的刚度方程单元的刚度方程同样，由最小势能原理，将 对 取一阶极小值，有刚度方程其中刚度矩阵 和力矩阵 分别在以上的计算中给出。注意上式中的下表(44)(41)(41)为各个矩阵的维数（即行和列）。4.4.2 4.4.2 局部坐标系中的平面梁单元局部坐标系中的平
49、面梁单元为推导平面问题中的梁单元的坐标变换公式，我们在纯弯梁的基础上叠加轴向位移（由于为线弹性问题，满足叠加原理），如下图所示上图所示平面梁单元的结点位移 和结点力 为相应的刚度方程为将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到刚度矩阵4.4.3 4.4.3 平面问题中梁单元的坐标变换平面问题中梁单元的坐标变换局部坐标系下的结点位移整体坐标系中的结点位移注意：转角 和 在两个坐标系中是相同的。按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以下变换关系。写成矩阵形式有其中T T为坐标变换矩阵，即则整体坐标系中的刚度方程为其中空间梁单元除承受轴力和弯矩外，还可能承受扭矩的作用，而且弯矩可
50、能同时在两个坐标面内存在，如下图4.4.4 4.4.4 空间梁单元及坐标变换空间梁单元及坐标变换下面，我们分别基于前面杆单元和平面梁单元的刚度矩阵分别写出上图中各对应结点位移的刚度矩阵，然后进行组合以形成完整的刚度矩阵。对应于上图中梁单元，其局部坐标系中的结点位移 和结点力 为(1)(1)对应于图中的结点位移对应于图中的结点位移(u u1 1,u u2 2)这是轴向位移，有刚度矩阵(2)对应对应于于图图中的中的结结点位移点位移(,)这是杆受扭时的情形，其刚度矩阵为其中J J为横截面的扭转惯性矩，G G为剪切模量。这是梁在xoy平面内的纯弯曲情形，有刚度矩阵(3)对应对应于于图图中中xoy平面平
