1、高等院校非数学类本科数学课程1第五、六章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式（微积分基本定理）.理解广义积分的概念.能运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体的体积、经济应用问题等。2利用性质（基本公式）计算不定积分：第三节第三节 不定积分的性质计算法不定积分的性质计算法直接计算法例例.求
2、求.d3xxx解解:原式 =xxd34134Cx313134xC有直接的积分公式吗有直接的积分公式吗 !？有直接的积分公式吗有直接的积分公式吗 !？有？有xx dCx1113例1.d)12(33xx求解 d1)6128(d)12(24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246 .251278357Cxxxx有直接的积分公式吗有直接的积分公式吗 !？初等数学中的展开式初等数学中的展开式积分的线性性质积分的线性性质直接的积分公式直接的积分公式4已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量x的函数,又固定成本为1000元求成本函数.257yx.257yx.cx507xdx25x7dxd)2
3、57(y21-xx例2解解:因为因为所以所以y y是它的原函数是它的原函数,即即:又固定成本为1000元,即x=0(不生产)时,y=1000所以 c=1000,故本函数为:.0001x507xy5例3.d13 22xxx求解xxxxxxxxxd113d3d1333d1322222 .arctan33Cxx利用加一项、减一项的方法,也可利用多项式的除法;该方法普遍适用于有理函数的积分问题.6第4节.不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.比如下面的例子:单利用上节的方法就有点问题了.7例1.d1132 2xxxx求解)(
4、165211322除法多项式的xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2 .|1|ln652Cxxx绝对值绝对值引入例引入例:8 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.该方法从使用的方式上看，又有第一与第二换元积分法之分,但它们的公式实际上是一样的,都来源于复合函数求导公式.9一.不定积分的第一换元法:.1公式首先看复合函数的导数公式 )(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy ),()()(xxFxF ),(则可微的复合函数xFy
5、 它的微分形式为xxxFxFd)()()(d(),()(则记ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出点什么东西没有看出点什么东西没有?原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?10定理 ,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF ,)(),()(且上可微在区间又JxuICuf ,)(上有则在区间JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!112.换元积分的效率:1)2d(21)12(d)12(:2 33xxxx法C41)2x(81 例1.d)12(3xx求解 d1)61
6、28(d)12(:1 233xxxxxx法展开式展开式再利用积分的再利用积分的线性性质计算线性性质计算对微分进行拼凑对微分进行拼凑令令u=2x+1Cuuu43 81d21=指数为100时如何?12例2.1d xx求解uuxxxxd1)1d(111d.)1ln(lnCxCu利用令u=x+1.换元后问题得简化令u=x+1.3.3.一般应用例子一般应用例子:13例3.21d xx求解uuxxxxd1)12d(21121d.)12ln(lnCxCu?利用令u=2x+1.换元后问题得简化令u=2x+1.这计算过程有问题没?(过程模仿上例题过程模仿上例题)14例3.21d xx求解uuxxxxd121)1
7、2d(2121121d.)12ln(21ln21CxCu利用令u=2x+1.换元后问题得简化令u=2x+1.15例4.1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d.)1ln(Cexx?利用加一项、减一项的方法.xxxxeedede1)1(116例5.dx 3x 2x求解 dx21 3x xdx 3xdx 3x2222x 3)-d(x 3x21 223)-(xu2令 du 21 du 21 21uuC 3221 23uC)3(31 232x17例6.dx 2xxe求解2xu 令.dx 2xxe.xdx 2xe dx 21 22xe du 21 ue C 21 ue C 21
8、2xe18 4.见过的凑微分公式(方法):比如:dx=d(x+1);dx=d(2x+1);dx=d(x-3)(1).dx=d(ax+b)/a.(2).xadx=d(xa+1)/(a+1).比如:xdx=d(x2)/2 下面介绍两大类型被积函数的积分方法:19例7 .d2sin xx求解 2d212sin d2sin :1xxxx法 sin21 uduCu cos21 Cx2cos21 .下面看另一种解法二.三角函数的积分计算例:1.先观察下面这个例子的多种求解过程20例7 .d2sin xx求解 dcossin2 d2sin :2xxxxx法 sinsin2 xxd 2 uduCu 2 Cx2
9、sin?2答案一样么种解法这21被积函数只是关于三角函数的积分计算问题:相应的凑微分公式(方法):(3).cosxdx=dsinx.(4).sinxdx=-dcosx.2.被积函数出现正余弦函数的奇数次幂时:22例8.dx tan x求解 dx cosxinx dx tansxosxcu 令 dcosx cosx 1 du u 1 lnCu coslnCx拆出个正余弦的1次幂凑微分得23例9解.dcossin 3xxx求 ,sin 故令xu uu d3Cu 441Cx4sin41xxxdcossin3xx sindsin3拆出个正余弦的1次幂凑微分得24例10解.dcossin 310 xxx
10、计算xxxxxxsind)sin1(sinsindcossin210210uuud)(1210Cuu1311131111.sin131sin1111311Cxxxxxxxxxdcoscossindcossin210310拆出个正余弦的1次幂凑微分得xsinu 令25例11解.dsin 3xx求 ,sin)cos1(sinsinsin 223xxxxx由于 ,dsind ,cos 得从而，则故令xxuxu)d)(1(dsin)cos1(dsin223uuxxxxx ddd)1(22uuuuu.coscos313133CxCuu263.被积函数都是正余弦函数的偶数次幂时:目标:利用三角公式(半角公
11、式)把次数降低!.2cos12cos2xx.2cos12sin2xx具体方法(公式):等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!27求求.d2cos2xx解解:原式=xx d)cos1(21Cxx)sin(21例11.d2cos1xx.2cos12cos2xx28例例12.12.求求.dtan2xx解解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxx tan29三、三、有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb1101.有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解若干部分分式之和
12、32135:例如整数的除法30例1.d1132 2xxxx求解)(165211322除法多项式的xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2 .|1|ln652Cxxx之前的之前的引入例引入例:312.分母可以因式分解(1次因式)时:部分分式法计算步骤:先将分母因式分解1次因式;再利用待定系数法分解部分分式的和;对每个部分分式的计算积分.dxxxx65122例1332真分式分解为部分分式:65122xxx)3)(2(12xxx)3()2(xBxA)3)(2()2()3(xxxBxA比较等式2边得:A=5,B=-3.3365122xxx)3(3)2(5xxdxxxx65122dxxx)3(3)2(5(dxxdxx)3(13)2(15=5ln(x-2)-3ln(x-3)+C34例14.)()(d babxaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 .ln1Cbxaxba部分分式法352023-1-836
