1、房山区20222023学年度第一学期诊断性评价高三数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ）A. B. C. D. 4 已知函数，则（ ）A. 图象关于原点对称，且在上是增函数B. 图象关于原点对称，且在上是减函数C. 图象关于轴对称，且在上是增函数D. 图象关于轴对称，且在上是减函数5. 若角、是锐角三角形的
2、两个内角，则下列各式中一定成立的是（ ）A B. C. D. 6. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且.则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若抛物线（）上一点到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则的值为（ ）A. 1B. 2C. 1或9D. 2或98. 已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用
3、户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（ ）（参考数据：）A 9B. 10C. 11D. 1210. 在中，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域是_.12. 的展开式中常数项是_.（用数字作答）13. 若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_.14. 若函数存在最小值，则的一个取值为_；的最大值为_.15. 函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：是函数的一个周期； 的图象关于直线对称；的图象关于点对称； 上单调递增.其中所有正确结论序号是_.三、解答题共
4、6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，是边上一点，.（1）求的长；（2）求的面积.17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，求：直线与平面所成角的正弦值，以及点到平面的距离.条件：；条件：平面；条件：.18. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：奖项组别单人赛PK赛获奖
5、一等奖二等奖三等奖中学组4040120100小学组3258210100（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（2）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；（3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明）19. 已知函数（）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数恰有一个零点，则的取值范围为_.（只需写出结论）20. 已知椭圆：经过点，且点到两个焦点的距离之和为8.（1）求椭圆的方程；（
6、2）直线：与椭圆分别相交于两点，直线，分别与轴交于点，.试问是否存在直线，使得线段的垂直平分线经过点，如果存在，写出一条满足条件的直线的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.21. 若对，当时，都有，则称数列受集合制约.（1）若，判断是否受制约，是否受区间制约；（2）若，受集合制约，求数列的通项公式；（3）若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论.房山区20222023学年度第一学期诊断性评价高三数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. B2. A3.
7、 C4. B5. D6. A7. C8. C9. D10. D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 12. 13.14.0（答案不唯一） 415. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. （1）因为，则，中，,即，解得：或（舍），所以；（2），因为所以，所以.17. （1）连接，交于，连接，底面是正方形，故是的中点，又为棱的中点，所以，在中，而面，面，所以平面.（2）选：若分别是中点，连接，由为棱的中点且底面是正方形，易知：，又共线且，故，所以为平行四边形，故，而，则，在中，垂直平分，故，即，由，故，又平面，平面
8、，则，又，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，故，令为面的一个法向量，则，令，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以点到平面的距离.选：平面，平面，则，为棱的中点，在中，垂直平分，故，又平面，平面，则，又，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，故，令为面的一个法向量，则，令，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以点到平面的距离.选：由平面，平面，则，又，由，面，故面，面，所以，在中，则，故，又平面，则，在中，即，又平面，平面，则，又，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，故，令为面的一个法向量，则，令，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以点到平面的距离.
9、18. （1）若事件表示抽到的学生获得一等奖，事件表示抽到的学生来自中学组，所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为，由表格知：，则.（2）由题意，可能值为，的分布列如下：012所以.（3）由题设知，所以.19. （1）由题设，则，所以，故曲线在点处切线方程为.（2）由，当时，则时，时，所以在上递减，上递增；当时，令，可得或，若，即时，、上，上，所以在、上递增，上递减；若，即时，在R上恒成立，即在R上递增；若，即时，、上，上，所以在、上递增，上递减；综上，在上递减，上递增；，在、上递增，上递减；，在R上递增；，在、上递增，上递减；（3）由（2），当时，而趋向、时趋向于，所以，在、各
10、有一个零点，共两个零点，不合题设；当时，在上，趋向时趋向于，所以，此时在有一个零点，满足题设；当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，所以，在有一个零点，满足题设；当时，趋向时趋向于，所以，在R上有一个零点，满足题设；当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，所以，在上有一个零点，满足题设；综上，函数恰有一个零点，.20. （1）点到两个焦点的距离之和为8，故，,椭圆的方程为，代入，可得，解得，故椭圆的方程为：（2）由题意，设，联立直线与椭圆的方程，可得，整理得，化简得，故；，又，可设直线：，设直线：，故，若线段的垂直平分线经过点，必有，故有，整理得，化简得，得到，利用韦达定理，得，当时，此时，直线为：
11、，故令，则必有，满足，此时，满足题意的直线为：（答案不唯一）21. （1）由、且，则，而，显然，则，故受制约，由、且，当，即，故；当，即，故.故不受制约.综上，受制约，不受制约.（2）由、且，有，所以，又，故的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列，当且，则，当且，则，综上，且.（3）结论：是的充分不必要条件，证明如下：为真：受集合制约，由、且，当，有成立，则，进而可得：；当，有成立，结合有；此时，受集合制约；为真：受集合制约，由、且，有；而，不一定有成立（反例：且，显然，有），故不一定受区间制约；所以，受区间制约，必受集合制约，但受集合制约，不一定受区间制约；综上，是的充分不必要条件.
