1、东城区20222023学年度第一学期期末统一检测 高 三 数 学 2023.1本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（2）在下列函数中，为偶函数的是（A） （B） （C） （D）（3）在的展开式中，若第3项的系数为10，则（A） （B） （C） （D）（4）在等比数列中，则（A） （B） （C） （D）（5） 北京中轴线是世界城市建设历史
2、上最杰出的城市设计范例之一. 其 中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门 广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（A） （B） （C） （D）（6）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为若的面积为，则（A） （B） (C) （D）（7）已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为，则的焦距为（A） （B） （C） （D）（8）在中，“对于任意，”是“
3、为直角三角形”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当变化时，直线的斜率的取值范围是（A） （B） （C） （D） （10）如图，在正方体中， 是棱上的动点，下列说法中正确的是存在点，使得；存在点，使得；对于任意点，到的距离为定值；对于任意点，都不是锐角三角形.（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分 （11）若复数满足，则（12）已知函数，则 ；若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则的一个对称中心为 .（13）经过抛物
4、线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为 .(用“”“”“”填写）（14）设函数当时，的值域为_；若的最小值为1，则的取值范围是_.（15） 对于数列，令，给出下列四个结论：若，则；若，则；存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；若对任意的，都有，则有.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在锐角中，点在边的延长线上，且CD10.（）求；（）求的周长（17）（本小题15分）如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，为的中点，
5、为上一点，平面 .（I）求证：为的中点；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面所成角的正弦值.条件：；条件： .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题13分） “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间7, 9)，9, 11)，11, 13)，13, 15)，15, 17)，17, 19，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（）估计全校学生一周
6、参加课后活动的时间位于区间13, 17)的概率； （）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间15, 17)的人数，求的分布列和数学期望；（）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代）（19）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的和为，分别为椭圆的左、右焦点.（） 求椭圆的方程；（） 设为椭圆上一点，.若，成等差数列，求实数的取值范围.（20）（本小题15分）已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求的极值；（）证明：当时，曲线与曲线至多存在一个交点
7、.（21）（本小题15分）已知数列，满足：，从中选取第项、第项、第项（），称数列为的长度为m的子列记为所有子列的个数.例如，其.（）设数列，写出A的长度为3的全部子列，并求；（）设数列，判断的大小，并说明理由；（）对于给定的正整数，若数列满足：，求的最小值.东城区20222023学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）C（3）B （4）D （5） D （6）D （7）C （8）A（9）B （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12） （答案不唯一）（13） （14） （15） 三、
8、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解： 又因为在锐角ABC中，所以 6分（）因为，所以.在中，由余弦定理得所以的周长为 13分（17）（共15分）解：（I）在中，过点作/交于点，连接. 因为/，所以/，所以，四点共面.因为/平面，平面，平面平面，所以/所以四边形是平行四边形.所以所以为的中点. 6分（II）选条件：.因为底面为正方形，所以.又，所以平面.所以.如图建立空间直角坐标系，因为底面是边长为2的正方形，则，所以，. 设平面的一个法向量为 ，则 即令 ，则.于是.设直线与平面所成角为，则 .所以直线与平面所成角为的正弦值为. 15分选条件：.如图，连接.因为底面是边长为2的
9、正方形，所以， .因为 ，所以.所以 .因为， ，所以平面所以.以下同选条件 . 15分（18）（共13分）解：（）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间13, 17)的频率为，因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间13, 17)的概率为 3分（）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间15, 17)的概率为因此 则的分布列为：0123 10分（）cba 13分 （19）（共14分） 解：（）由题设，解得所以椭圆的方程为. 5分 （）设为椭圆上一点， 则有 由，成等差数列，得 即 由，则.又在椭圆上，有， 故，因为，所以.即，所以所以实数的取值范围是
10、. 14分 （20） （共15分）解：（）因为所以. 所以，所以曲线在点处的切线方程为. 4分 （）令，得. 当时，单调递减；当时，单调递增；当时，在时取得极小值.所以函数的极小值为，不存在极大值. 9分（）令，其定义域为.令， ， 所以在上单调递增.当时，即，单调递减；当时，即，单调递增；当时， ，即，取得极小值. ， 因为，所以，所以. 因此，当时，所以，即，曲线与曲线无交点；当时，所以存在且仅存在一个，使得，对且，都有，即.所以当时，曲线与曲线有且仅有一个交点； 故当时，曲线与曲线至多存在一个交点. 15分 （21） （共15分）解：（）由的定义以及，可得：A的长度为3的子列为：，的长度为的子列有个，的长度为的子列有个，所以. 5分 （）理由如下：若是的一个子列，则为 的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列.所以.同理，所以.同理所以有 10分 （）由已知可得，数列中恰有k个1，个0. 令，下证：.由于，所以的子列中含有i个0，j个1 的子列有且仅有1 个，设为：. 而数列的含有i个0，j个1的子列至少有一个，所以.数列中，不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个，含有个0的子列有个，所以. 所以的最小值为. 15分
