1、排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
2、五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不
3、能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有种方法。五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个
4、车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!种排法即! 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有
5、种八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法,根据分步计数原理装球的方法共有九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个?解:把,当作一个小集团与排队共有种排法,再排小集团内部共有种排法,由分步计数原理共有种排法 .十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为10
6、个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共有种分法。十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种?解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少
7、分法? 解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解:10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱
8、歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种,由分类计数原理共有 种。十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解:从5个球中取出2个与
9、盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种 十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数为:练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线十七.化归策
10、略例17. 25人排成55方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解:将这个问题退化成9人排成33方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从33方队中选3人的方法有种。再从55方阵选出33方阵便可解决问题.从55方队中选取3行3列有选法所以从55方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。十八.数字排序问题查字典策略例18由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数?解:十九.树图策略例19人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传
11、球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_ 二十.复杂分类问题表格策略例20有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法红111223黄123121兰321211取法 解:二十一:住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 .分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,
12、五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得7种.排列练习一、选择题1、将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有( )A、81 B、64 C、12 D、142、nN且n55,则乘积(55-n)(56-n)(69-n)等于( )A、B、C、D、3、用1,2,3,4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数( )A、64 B、60 C、24 D、2564、3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )A、2160 B、120 C、240 D、7205、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表,如果合唱节目不能排在第一个,并且合唱节目不能相邻,则不同排法
13、的种数是( )A、B、C、D、6、5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )A、B、C、D、7、用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数有( )A、24 B、36 C、46 D、608、某班委会五人分工,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中甲不能担任正班长,乙不能担任学习委员,则不同的分工方案的种数是( )A、B、C、D、二、填空题1、(1)(4P84+2P85)(P86-P95)0!=_(2)若P2n3=10Pn3,则n=_2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中,取出三个不同元素的排列为_3、4名男生,4名女生排成
14、一排,女生不排两端,则有_种不同排法4、有一角的人民币3张,5角的人民币1张,1元的人民币4张,用这些人民币可以组成_种不同币值。三、解答题1、用0,1,2,3,4,5这六个数字,组成没有重复数字的五位数,(1)在下列情况,各有多少个?奇数能被5整除能被15整除比35142小比50000小且不是5的倍数2、7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?(1)甲排头(2)甲不排头,也不排尾(3)甲、乙、丙三人必须在一起(4)甲、乙之间有且只有两人(5)甲、乙、丙三人两两不相邻(6)甲在乙的左边(不一定相邻)(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序(8)甲不排头,乙不排当中3、从2,3,
15、4,7,9这五个数字任取3个,组成没有重复数字的三位数(1)这样的三位数一共有多少个?(2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少?(3)所有这些三位数的和是多少?排列与组合练习(1)一、填空题1、若,则n的值为( )A、6 B、7 C、8 D、92、某班有30名男生,20名女生,现要从中选出5人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于2人的选法为( )A、B、C、D、3、空间有10个点,其中5点在同一平面上,其余没有4点共面,则10个点可以确定不同平面的个数是()A、206B、205C、111D、1104、6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是()A、B、C、D、5、由5
16、个1,2个2排成含7项的数列,则构成不同的数列的个数是()A、21B、25C、32D、426、设P1、P2,P20是方程z20=1的20个复根在复平面上所对应的点,以这些点为顶点的直角三角形的个数为()A、360B、180C、90D、457、若,则k的取值范围是( )A、5,11B、4,11C、4,12D、4,158、口袋里有4个不同的红球,6个不同的白球,每次取出4个球,取出一个线球记2分,取出一个白球记1分,则使总分不小于5分的取球方法种数是( )A、B、C、D、二、填空题1、计算:(1)=_(2)=_2、把7个相同的小球放到10个不同的盒子中,每个盒子中放球不超1个,则有_种不同放法。3
17、、在AOB的边OA上有5个点,边OB上有6个点,加上O点共12个点,以这12个点为顶点的三角形有_个。4、以1,2,3,9这几个数中任取4个数,使它们的和为奇数,则共有_种不同取法。三、解答题1、已知2、(1)以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个?(2)以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个?(3)以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个?3、集合A中有7个元素,集合B中有10个元素,集合AB中有4个元素,集合C满足(1)C有3个元素;(2)CAB;(3)CB,CA,求这样的集合C的个数。4、在1,2,3,30个数中,每次取两两不等的三个数,使它们的和为3的倍数,共有多少种不同的取法?排列与组合练习题
18、(2)一、选择题:1、将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有()A81B64C12D142、nN且n55,则乘积(55n)(56n)(69n)等于()ABCD3、用1,2,3,4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数()A64B60C24D2564、3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是()A2160B120C240D7205、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表,如果合唱节目不能排在第一个,并且合唱节目不能相邻,则不同排法的种数是()ABCD6、5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有()ABCD7、用数字1,2,3,4,5组成没有
19、重复数字的五位数,其中小于50000的偶数有()A24B36C46D608、某班委会五人分工,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中甲不能担任正班长,乙不能担任学习委员,则不同的分工方案的种数是()ABCD二、填空题9、(1)(4P84+2P85)(P86P95)0!=_(2)若P2n3=10Pn3,则n=_10、从ABCD这四个不同元素的排列中,取出三个不同元素的排列为_11、4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有_种不同排法。12、有一角的人民币3张,5角的人民币1张,1元的人民币4张,用这些人民币可以组成_种不同币值。三、解答题13、用0,1,2,3,4,5这六个
20、数字,组成没有重复数字的五位数,(1)在下列情况,各有多少个?奇数,能被5整除,能被15整除,比35142小,比50000小且不是5的倍数(2)若把这些五位数按从小到大排列,第100个数是什么?14、7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?(1)甲排头;(2)甲不排头,也不排尾;(3)甲、乙、丙三人必须在一起;(4)甲、乙之间有且只有两人;(5)甲、乙、丙三人两两不相邻;(6)甲在乙的左边(不一定相邻);(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序;(8)甲不排头,乙不排当中。15、从2,3,4,7,9这五个数字任取3个,组成没有重复数字的三位数。(1)这样的三位数一共有多少个?(
21、2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少?(3)所有这些三位数的和是多少?排列练习答案一、选择题1-8 BBADCCBA二、填空题1、(1)5(2)8 2、abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc3、86404、39三、解答题1、3=2882、(1)=720(2)5=3600(3)=720(4)=960(5)=1440(6)=2520(7)=840(8)3、(1)(2)(3)300(100+10+1)=33300排列与组合练习答案(1)一、选择题1、B 2、D 3、C 4、A 5、A 6、B7、B 8、C二、填空题1、4902、313、1
22、654、60三、解答题1、解:2、解:(1)(2)(3)58+48=1063、解:AB中有元素 7+10-4=134、解:把这30个数按除以3后的余数分为三类:A=3,6,9,30B=1,4,7,28C=2,5,8,29(个)排列与组合练习题(2)一、选择题:1B2B3A4D5C6C7B8A二、填空题9(1)5;(2)810abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc1186401239三、解答题13(1)3=28814(1)=720(2)5=3600(3)=720(4)=960(5)=1440(6)=2520(7)=840(8)15(1)(2)(3)300(100+10+1)=333007