1、微积分公式Dx sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec2 x cot x = -csc2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x cot x | + Csin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x)
2、 = p - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = p - cot-1 xsec-1(-x) = p - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xDx sin-1 ()= cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)= sin-1 x dx = x sin-1 x+C cos-1 x dx = x cos-1 x-+C tan-1 x dx = x tan-1 x-ln (1+x2)+C cot-1 x dx = x cot-1 x+ln (1+x2)+C sec-1 x dx = x s
3、ec-1 x- ln |x+|+C csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+Csinh-1 ()= ln (x+) xRcosh-1 ()=ln (x+) x1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0x1csch-1 ()=ln(+) |x| 0Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech2 x coth x = -csch2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x sinh x dx = cosh x + C cosh x d
4、x = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C csch x dx = 2 ln | + Cduv = udv + vdu duv = uv = udv + vdu udv = uv - vducos2-sin2=cos2cos2+ sin2=1cosh2-sinh2=1cosh2+sinh2=cosh2Dx sinh-1()= cosh-1()= tanh-1()= coth-1()=sech-1()= csch-1(x/a)= si
5、nh-1 x dx = x sinh-1 x-+ C cosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ C tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ C coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ C sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + CaRcbsin 3=3sin-4sin3cos3=4cos3-3cossin3= (3sin-sin3)cos3=(3cos+cos3)sin x = cos x = sinh
6、 x = cosh x = 正弦定理:= =2R餘弦定理: a2=b2+c2-2bc cosb2=a2+c2-2ac cosc2=a2+b2-2ab cossin ()=sin cos cos sin cos ()=cos cos sin sin 2 sin cos = sin (+) + sin (-)2 cos sin = sin (+) - sin (-)2 cos cos = cos (-) + cos (+)2 sin sin = cos (-) - cos (+)sin + sin = 2 sin (+) cos (-)sin - sin = 2 cos (+) sin (-)co
7、s + cos = 2 cos (+) cos (-)cos - cos = -2 sin (+) sin (-)tan ()=, cot ()=ex=1+x+ sin x = x-+-+ cos x = 1-+-+ ln (1+x) = x-+-+ tan-1 x = x-+-+ (1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1x1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= n (n+1)2(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dt(m, n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx希臘字母 (Greek Alpha
8、bets)大寫小寫讀音大寫小寫讀音大寫小寫讀音alphaiotarhobetakappa, sigmagammalambdataudeltamuupsilonepsilonnuphizetaxikhietaomicronpsithetapiomega倒數關係: sincsc=1; tancot=1; cossec=1商數關係: tan= ; cot= 平方關係: cos2+ sin2=1; tan2+ 1= sec2; 1+ cot2= csc2; 順位高d 順位低 ; 0* = * = = 0* = = ; = ; = 順位一: 對數; 反三角(反雙曲)順位二: 多項函數; 冪函數順位三:
9、指數; 三角(雙曲)算術平均數(Arithmetic mean)中位數(Median)取排序後中間的那位數字眾數(Mode)次數出現最多的數值幾何平均數(Geometric mean)調和平均數(Harmonic mean)平均差(Average Deviatoin)變異數(Variance) or 標準差(Standard Deviation) or 分配機率函數f(x)期望值E(x)變異數V(x)動差母函數m(t)Discrete Uniform(n+1)(n2+1)Continuous Uniform(a+b)(b-a)2Bernoullipxq1-x(x=0, 1)ppqq+petBi
10、nomialpxqn-xnpnpq(q+ pet)nNegative BinomialpkqxMultinomialf(x1, x2, , xm-1)=npinpi(1-pi)三項(p1et1+ p2et2+ p3)nGeometricpqx-1HypergeometricnnPoissonNormal2BetaGammaExponentChi-Squared2=f(2)=E(2)=nV(2)=2nWeibull1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1
11、000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十億 1 000 000 106 mega M 百萬 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十 0.1 10-1 deci d 分，十分之一 0.01 10-2 centi c 厘（或寫作厘），百分之一 0.001 10-3 milli m 毫，千分之一 0.000 001 10-6
12、 micro ? 微，百萬分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十億分之一 0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一 0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飛（或作費），千兆分之一 0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y综合练习题1（函数、极限与连续部分）1填空题（1）函数的定义
13、域是 答案：且.（2）函数的定义域是答案：（3）函数，则 答案：（4）若函数在处连续，则 答案：（5）函数，则 答案：（6）函数的间断点是 答案：（7）答案：1（8）若，则答案：2单项选择题（1）设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）A B C D答案：C（3）函数的定义域为（）A B C且 D且答案：D（4）设，则（ ）A B C D答案：C （5）当（ ）时，函数在处连续.A0 B1 C D 答案：D（6）当（ ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D 答案：B（7）函数的间断点是（ ）A B C D无间断点答案：A3计
14、算题 （1） 解：（2） 解： （3）解：综合练习题2（导数与微分部分）1填空题（1）曲线在点的切斜率是答案： （2）曲线在点的切线方程是 答案： （3）已知，则=答案：=27（4）已知，则=答案：，=（5）若，则 答案：2.单项选择题（1）若，则=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2因 所以答案：C（2）设，则（ ） A B C D答案：B（3）设是可微函数，则（ ） A B C D答案：D （4）若，其中是常数，则（ ） A B C D答案：C3计算题 （1）设，求 解： （2）设，求.解： （3）设，求.解： （4）设，求.解： 综合练习题3（导数应用部分）1填空题（1）函
15、数的单调增加区间是 答案：（2）函数在区间内单调增加，则应满足 答案：2单项选择题（1）函数在区间是（ ）A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增答案：D（2）满足方程的点一定是函数的（ ）.A极值点B最值点 C驻点D 间断点答案：C（3）下列结论中（ ）不正确 A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点一定发生在不可导点上.答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） A B C D答案：B3应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的
16、边长为m，高为m，容器的表面积为m2。怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知所以 令 ，解得唯一驻点。 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以是函数的极小值点也是最小值点。故当m，m时用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为4底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/ m2，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？解：设水箱的底边长为 m，高为 m，表面积为 m2，且有所以 令 ，得. 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当 m , m时水箱的表面积最小. 此时的费用为 （元） （3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口
17、容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为m，高为m，所用材料（容器的表面积）为m2。由已知所以 令 ，解得唯一驻点。 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以是函数的极小值点也是最小值点。故当m，m时用料最省.请结合作业和复习指导中的题目进行复习。 综合练习题4（一元函数积分部分）1填空题（1）若的一个原函数为，则 .答案：（2）若，则答案： （3）若答案：（4）答案：（5） 答案：（6）若，则答案：（7）若，则答案：（8） 答案：（9） .答案：0（10）= 答案：2单项选择题（1）下列等式成立的是（）A BC D答案：C（2）以下等式成立的是（ ）A B C D 答案：D（3）（ ）
18、A. B. C. D. 答案：A（4）下列定积分中积分值为0的是（ ） A B C D 答案：A（5）设是连续的奇函数，则定积分（ ）A0B CD 答案：A（6）下列无穷积分收敛的是（）A B C D答案：D3计算题（1） 解：（2）解：（3）(4)解：= (5) 解：(6)解：(7)解：综合练习题5（积分应用部分）1填空题(1)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 . 答案： (2)由定积分的几何意义知，= . 答案： (3)微分方程的特解为 . 答案： (4)微分方程的通解为 . 答案：(5)微分方程的阶数为 答案：42.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 答案：A(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 A B C D答案：D(3)微分方程的通解为（ ） A B C D答案：C(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 答案：B
