1、古希腊数学古希腊数学古典时期古典时期(公元前公元前600年到公元前年到公元前300年年)（1）泰勒斯（约前640前546年）将埃及的实用几何带入希腊，开始证明几何命题。（2）毕达哥拉斯（约前585前500年）学派对图形进行广泛的研究。开头研究的一类问题叫面积应用问题。几何上有三个著名的作图问题：作一正方形使其与给定的圆面积相等；给定正方体一边，求作另一正方体之边，使后者体积两倍于前者体积；用尺规三等分任意角。有好些数学结果是为解决这三个问题而得出的副产品。（3）希波克拉底（前5世纪下半叶）已研究画圆为方及立方倍积问题。据说最早把间接证明引用到数学里的是他。他所著的几何书叫几何原本，已经失传。（
2、4）德谟克利特（约前460前370年）发现棱锥和圆锥的体积分别等于同底等高的棱柱和圆柱体积的三分之一（但是证明是由欧道克斯作出的）。他的几何著作很可能是欧几里德几何原本问世以前的重要著作。（5）亚里士多德（约前384前322年）创造了演绎逻辑，虽然他的哲学对数学的直接影响很少，但对古希腊的论证几何等数学的发展起到明显的促进作用。他给“定义”、“定理”、“公设”等以明确的解释。（6）欧几里德（前300年左右生活在亚历山大城并在该处授徒）著几何原本，确立几何学的逻辑体系，成为世界上最早的公理化数学著作。原本共十三篇，第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲比例论；第六篇讲相似形；第七、八、九
3、篇是数论；第十篇是不可公度量的分类；第十一、十二、十三篇是立体几何及穷竭法。西方曾有两本影响最广的书，一本是圣经，另一本就是几何原本。原本是使用时间最长的数学教科书。原本实际上是古希腊古典时期一些个别发现的整理，是众多学者智慧的结晶，欧几里德对前人的成果加以整理、归纳、完善和发展，他依然是个大数学家。虽然它的内容存在缺陷，而且与现代教学趋势日益不相适应，但从历史的角度看，它确实是一部伟大的著作，无愧于“西方数学的代表作”的称号。亚历山大时期亚历山大时期(前前300年到公元年到公元600 阿基米德（前287前212年）利用穷竭法求出球的表面积和体积公式,研究抛物弓形面积,给出的范围,它的几何著作
4、是希腊数学的顶峰。大约从公元1世纪初起,亚历山大的数学工作特别是几何工作开始衰落.而此时在东方的中国数学正蓬勃发展。二、中国古代几何学二、中国古代几何学 数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用18个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画
5、圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据史记夏本纪记载，夏禹治水时已使用了这些工具 商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。公元前一世纪的周髀算经提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。礼记内则篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成
6、为专门的课程 春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内已有“规”和“矩”两个字,规是用来画圆的,矩是用来画方
7、的.春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向封建制的过渡，新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。战国时期人们通过田地及国土面积的测量，城池的修建，水利工程的设计等生产生活实践，积累了大量的数学知识。（1）但是秦朝的焚书坑儒给中国文化事业造成空前的浩劫，西汉作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是九章九章算术算术的成书。的成书。它对于中国和东方数学，大体相当于几何原本对于希腊和欧洲数学。中国古代的几何一般不讨论图形离开数量关系的性质，而要计算出长度、面积、体积。在九章算术的方田章中有各种多边形、圆、弓形等的面积公式；商功章讨论了各种立体的体积公式。（2）刘徽和他的）刘
8、徽和他的九章算术注九章算术注便是魏晋时代便是魏晋时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。该书前九卷全面论证了九章算术的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了九章的某些不正确的或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径。（3）缀术缀术包含了祖冲之包含了祖冲之（429500年）和和儿子祖暅之儿子祖暅之（一作祖暅，生平不详）的数学贡献。的数学贡献。祖暅沿用刘徽的“牟合方盖”，证明了球体体积的计算问题，充分显示了中国古代数学家的聪明才智
9、。由于该书内容深奥，隋唐算学馆的学官（相当于今天大学数学系的教授）读不懂，后失传。刘徽和祖氏父子在极限思想的运用上远远超过了古希腊的同类思想，达到了文艺复兴前世界数学界的最高峰。三、埃及古代数学三、埃及古代数学 埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都
10、非常小。现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科 四、四、欧洲中世纪数学欧洲中世纪数学 中世纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡，约结束于15世纪。这一千年的历史大致可以分为两段。十一世纪之前常称为黑暗时代，这时西欧在基督教神学和烦琐哲学的教条统治下，人们失去了思想自由，生产墨守成规，技术进步缓慢，数学停滞不前。十一世纪以后情况稍有好转。希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少，这大部分体现在博伊西斯(约480524)的著作中。他的算术原理大体上是新毕达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯算术入门的译本，但若干精采的命题均被删去。博伊西斯的几何取材
11、于欧几里得几何原本，但却完全没有证明，因为他认为证明是多余的。公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学。数学发展再一次受到沉重的打击。此后数百年，值得称道的数学家屈指可数，而且多是神职人员。五、十六、十七世纪数学五、十六、十七世纪数学 16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展 开普勒的酒桶的新立体几何将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成，从而求出其
12、体积。这是积分学的前驱工作。17世纪数学发展的特点，可以概括如下。产生了几个影响很大的新领域，如解析几何、微积分、概率论、射影几何等 十八世纪的数学十八世纪的数学 将微积分学深入发展，是十八世纪数学的主流。这种发展是与广泛的应用紧密交织在一起的，并且刺激和推动了许多新分支的产生，使数学分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的独立的数学领域。在十八世纪特别是后期，数学研究活动和数学教育方式也发生了变革。这一切使十八世纪成为向现代数学过渡的重要时期 十九世纪的数学十九世纪的数学 十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，
13、群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学 十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何。自古希腊时代始，欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型，是严格推理的典范。16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时，都试图归之为欧氏几何问题。但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注，以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何，其中平行公设不成立，但由于担心受人指责而未发
14、表。1825年左右，波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果，并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章论几何基础是最早发表的非欧几何著作，因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣的，数学家步入了创造新几何的时代。非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器，但由于它背叛传统，创立之初未受到数学界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时，才因高斯的名望而引起数学家们的关注。十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表论图形的射影性质，这是他18131814年被俘
15、关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影所共有的性质，他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射影性质，丰富了射影几何的内容。对纯几何问题兴趣的增长，并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作，引起他对微分几何的兴趣。1827年他发表的关于曲面的一般研究，为这一数学分支注入了全新的思想，开创了微分几何的现代研究 解析几何的产生解析几何的产生 解析几何的产生，一般以笛卡儿几何学的出版为标志。这本书的内容不仅仅是几何，也有很多代数的问题。它和现在的解析几何教科书有很大的差距，其中甚至看不到“笛卡儿坐
16、标系”。但可贵的是它引入了革命性的思想，为开辟数学的新园地作出了贡献。法国数学家费马也分享着解析几何创立的荣誉，他的发现在时间上可能早于笛卡儿，不过发表很晚。他是一个业余数学家，在数论、概率论、光学等方面均有重要贡献。他已得到微积分的要旨，曾提出求函数极大极小的方法。他建立了很多数论定理，其中“费马大定理”最有名，不过只是一个猜想，至今仍未得到证明。射影几何射影几何 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。微微 分分 几几 何何 微分几何学是
17、运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。罗巴切夫斯基与非欧几何罗巴切夫斯基与非欧几何 1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人罗巴切夫期基。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。不过，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。黎曼几何黎曼几何 欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
