1、气体动理论气体动理论气体动理论气体动理论一、一、理想气体微观模型：理想气体微观模型：结论：结论：理想气体的理想气体的模型是：自由地无规则模型是：自由地无规则运动的弹性小球的集合。运动的弹性小球的集合。内容回顾内容回顾气体动理论气体动理论二、统计假设的内容：二、统计假设的内容：（2 2）每个分子向）每个分子向各方向各方向运动机会相等；运动机会相等；任一点附近任一点附近分子数密度分子数密度 n n 均相等均相等（1 1）每个分子处在容器空间内）每个分子处在容器空间内任一点任一点的的 几率相同；几率相同；三、压强三、压强的微观本质：的微观本质：压强：压强：大量分子碰撞器壁在单位时间、大量分子碰撞器壁
2、在单位时间、作用于器壁单位面积的平均冲量。作用于器壁单位面积的平均冲量。knP32内容回顾内容回顾气体动理论气体动理论计算计算N个分子给器壁的平均冲力个分子给器壁的平均冲力计算一个分子给器壁的作用力计算一个分子给器壁的作用力计算一个分子与器壁碰撞一次对器壁的作用（冲量）计算一个分子与器壁碰撞一次对器壁的作用（冲量）计算每秒一个分子碰撞器壁的次数计算每秒一个分子碰撞器壁的次数计算计算容器中任何一壁所受的压强容器中任何一壁所受的压强计算思路计算思路乘乘内容回顾内容回顾气体动理论气体动理论四、温度四、温度T T的微观本质的微观本质由状态方程：由状态方程：由压强公式由压强公式:nkTp knp 32k
3、Tk23分子平均平动动能分子平均平动动能内容回顾内容回顾2vmkTv32MRT3气体动理论气体动理论本讲主要内容：本讲主要内容：一、能量均分定理一、能量均分定理二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律三、分子平均自由程三、分子平均自由程能量均分定理能量均分定理 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律内容回顾内容回顾气体动理论气体动理论i=31 1、运动自由度、运动自由度单原子分子自由度单原子分子自由度刚性双原子分子自由度刚性双原子分子自由度多原子分子自由度多原子分子自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目，确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目，称为这个物体的称为这个物体的运动
4、自由度运动自由度。HeO2H2OCO2NH3zyxzyxzxzyxzyzyxCCOOO(a)(b)(c)yxHeO2HH O2OH(a)(b)(c)i=5i=6一、能量均分定理一、能量均分定理气体动理论气体动理论kTvmvmvmvmzyx23212121212222 p 单原子分子单原子分子u自由度与能量自由度与能量p 刚性双原子分子刚性双原子分子 分子平均平动动能分子平均平动动能222kt212121CzCyCxmmmvvv分子平均转动动能分子平均转动动能22kr2121zyJJi=3i=5一、能量均分定理一、能量均分定理气体动理论气体动理论每个平动自由度的能量每个平动自由度的能量是是 kT
5、21经典统计理论证明：在温度为经典统计理论证明：在温度为T平衡态下，物质平衡态下，物质分子的每一个自由度都具有相同的平均动能为分子的每一个自由度都具有相同的平均动能为 。kT21能量按自由度均分定理对液体、固体同样适用。能量按自由度均分定理对液体、固体同样适用。2 2、能量均分定理、能量均分定理任何一种运动都不比其他运动占有优越性任何一种运动都不比其他运动占有优越性一、能量均分定理一、能量均分定理气体动理论气体动理论p自由度自由度 分子能量中独立的速度和坐标的二分子能量中独立的速度和坐标的二次方项次方项数目数目叫做分子能量自由度的数目叫做分子能量自由度的数目,简称简称自由度，用符号自由度，用符
6、号 表示表示.ivrtip自由度数目自由度数目 平动平动 转动转动 振动振动分子间的振动只分子间的振动只在高温时才显著在高温时才显著。kTi2p分子平均能量：分子平均能量：一、能量均分定理一、能量均分定理气体动理论气体动理论单单原子分子原子分子 3 0 3双双原子分子原子分子 3 2 5多多原子分子原子分子 3 3 6 刚性刚性分子能量自由度分子能量自由度 tri分子分子自由度自由度平动平动转动转动总总一、能量均分定理一、能量均分定理气体动理论气体动理论气体气体内能内能=热运动平均动能热运动平均动能+势能势能RTiMmE2刚性理想气体的内能只是温度的单值函数刚性理想气体的内能只是温度的单值函数
7、根据能量均分原理：根据能量均分原理：分子的平均总动能：分子的平均总动能：kTik2 1mol气体分子的内气体分子的内能：能：RTiNEkA20 质量为质量为m的的气体分子的内气体分子的内能：能：3 3、理想气体的内能、理想气体的内能一、能量均分定理一、能量均分定理气体动理论气体动理论分子热运动和统计规律分子热运动和统计规律&分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征特征一特征一:-混乱性和无序性混乱性和无序性永恒的运动永恒的运动;频繁的碰撞频繁的碰撞特征二特征二:在分子热运动中，个别分子的运动存在着极在分子热运动中，个别分子的运动存在着极大的偶然性。但总体上却存在着确定的规律性大的偶然性。但总体
8、上却存在着确定的规律性处于平衡态的理想气体分子，其速率分处于平衡态的理想气体分子，其速率分布是否有规律性？布是否有规律性？-统计规律性统计规律性二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律气体动理论气体动理论 1859年麦克斯韦从理论上年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律：得到速率分布定律：1920年斯特恩从实验上证年斯特恩从实验上证实了速率分布定律实了速率分布定律1877年玻耳兹曼由经典统年玻耳兹曼由经典统计力学中导出计力学中导出:麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律气体动理论气体动理论ASBCPBCl t=l/v=/v=l/Stern 做了分子射线束实验做了分子射线束实验一、测定分子速率分布
9、的实验一、测定分子速率分布的实验通过改变通过改变可获得不同速率区间的分子。可获得不同速率区间的分子。只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。速率筛速率筛淀积屏淀积屏高真空高真空气体动理论气体动理论HgHg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比)/(smv00)/(NN90以下以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上以上10.3218.9322.718.312.86.24.0气体动理论气体动理论实验结果：实验结果：3）在某一速率间隔中出现分子的概
10、率最大）在某一速率间隔中出现分子的概率最大1）在某一温度下，各个分子的速率是不同的，）在某一温度下，各个分子的速率是不同的，它们具有自零至无限大的各种可能的速率它们具有自零至无限大的各种可能的速率；2）具有很小速率或很大速率的分子概率都很小）具有很小速率或很大速率的分子概率都很小，分子速率处在中间的概率较大；分子速率处在中间的概率较大；气体动理论气体动理论 速率区间均匀：速率区间均匀：,.1iivvv v03v2v1 iviv1v设分子总数设分子总数 N N速率在某一区间速率在某一区间 内的分子数为内的分子数为 vvvN大小不仅与大小不仅与 有关有关,还与还与 有关有关vvNN表示在这一区间内
11、分子出现的概率表示在这一区间内分子出现的概率NN大小与哪些因素有关？大小与哪些因素有关？vvfNN)(气体动理论气体动理论为详细描述分布，使速率区间很小为详细描述分布，使速率区间很小dvvv 速率区间的分子数速率区间的分子数dN:dN:dvv v03v2v1 iviv1vdvvfNdN)(速率分布函数速率分布函数dvdNNvf1)(物理意义物理意义:分子出现在速率分子出现在速率 附近附近单位速率区间单位速率区间内的概率内的概率vvvfNN)(-概率密度概率密度气体动理论气体动理论v 分子速率分布函数分子速率分布函数N:分子总数分子总数)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 区间的分子数占
12、总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 .NNSvvv :间的分子数间的分子数.vvvN)(vf)/(vNddNNdvdNvf)(表示速率在表示速率在 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 .NdNdS vvvdvvvddS气体动理论气体动理论ov)(vfvvvddS222/3224)(vekTmvfkTmvvv d)(dfNN分子速率分布律表现为：平均来说，气体分子速率分布律表现为：平均来说，气体分子的速率介于分子的速率介于 的的概率不变概率不变。dvvv气体动理论气体动理论p 气体分子的速率可取大于气体分子的速率可取大于零的一切可能有限值零的一切可能有限值p 曲线下速率区间
13、对应的小矩形面积表示概率曲线下速率区间对应的小矩形面积表示概率p 速率分布函数有极大值速率分布函数有极大值，最概然速率，最概然速率 p曲线下总面积表示各速率区间分子概率之和曲线下总面积表示各速率区间分子概率之和1d)(0vvfpv1 1、麦克斯韦、麦克斯韦速率分布曲线的特点速率分布曲线的特点ov)(vfpv气体动理论气体动理论讨论：讨论：p 最概然最概然速率速率vp+dvp dN Nv f(v)OvpMRTMRTmkTvp41.122得得0d)(dvvf最概然速率用在讨论分子速率分布最概然速率用在讨论分子速率分布;pvf(v)f(v)最大值对应的最大值对应的v v值值,非非V V的最大值的最大
14、值令令2 2、速率的三个统计值、速率的三个统计值代入代入)(vf气体动理论气体动理论p 算术平均速率算术平均速率气体动理论气体动理论物理量物理量M M的算术平均值：的算术平均值：测量值测量值 M M1 1；M M2 2；M M3 3；M Mi i；M Mn n出现的次数出现的次数 N N1 1；N N2 2；N N3 3；N Ni i；N Nn nninniiNNNNNMNMNMNMM212211分子速率平均值分子速率平均值V:(V:(总分子数为总分子数为N)N)速率值速率值 V V1 1；V V2 2；V V3 3；V Vi i；V Vn n相应分子数相应分子数 dNdN1 1；dNdN2
15、2；dNdN3 3；dN dNi i；dN dNn nninniidNdNdNdNdNvdNvdNvdNvv212211NdvvvNfNvdNvN00)(0)(dvvvfv气体动理论气体动理论p 算术平均速率算术平均速率mkTvvekTmkTmv 8d)2(4322/302 0d)(vvvfvMRTMRTmkTv60.188即一般用于计算分子运动的平均距离；一般用于计算分子运动的平均距离；气体动理论气体动理论p 方均根速率方均根速率MRTMRTmkTvvfvv73.133d)(022方均根速率用来计算分子平均动能方均根速率用来计算分子平均动能v2vv f(v)Ovppvv2vp 三种速率的比较
16、：三种速率的比较：MRTvp41.1MRTv60.1MRTv73.12气体动理论气体动理论p同一气体不同温度同一气体不同温度下的下的速率分布曲线速率分布曲线p同一温度不同摩尔质量气体同一温度不同摩尔质量气体的的速率分布曲线速率分布曲线v f(v)OT1T3T2v f(v)O同一种气体同一种气体同一个温度同一个温度M1M221MM 例例1 1：判断：判断MRTvp41.1321TTT气体动理论气体动理论dvvf)(.1dvvNf)(.2dvvnf)(.3 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv说明下列各量的物理意义：说明下列各量的物理意义
17、：例例2 2：NdNdvvf)(气体动理论气体动理论 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+d v速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v+d v速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。dNdvvNf)(.2VdNNdNVNdvvnf )(.3解：解：分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+d v 速率区间内的速率区间内的分子数占总分子数的比率。分子数占总分子数的比率。NdNdvvf)(.1NdvdNvf)(二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律气体动理论气体动理论 )()(2121)(.4vNvNv
18、vNdNdvvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率。子数的比率。)()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率区间速率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）归一化条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律气体动理论气体动理论 例例3：已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布，分布函数函数 .求求（1）速率在
19、速率在 间的分间的分子数；子数；（2）速率在速率在 间所有分子动间所有分子动能之和能之和.vv p)(vfNpvvvvvpd)(Nf（1）pd)(212vvvv Nfm（2）m解解二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律气体动理论气体动理论?.2 vv f(v)O0v3Kv vvvvkvvf00300)(1.k=？由归一化条件由归一化条件1d)(0 vvf403041d0vKvkvv 即即：0d)(vvvfv 00340d4vvvvv054v 例例4二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律气体动理论气体动理论之间的分子平均速率之间的分子平均速率求速率在求速率在0310.3v vvfvv
20、vfvvvvvd)(d)(2121 vkvvvkvvvdd33/033/000 NvvNfNvv d)(d2181d33/00NvNkvNv 之间的分子数之间的分子数求速率在求速率在0310.4v 3/00d)(vvvvfvNNvvvvvvdd2121 二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律气体动理论气体动理论小小 结结小小 结结一、能量均分定理一、能量均分定理kTi2p分子平均能量：分子平均能量：RTiMmE2p理想气体的内能理想气体的内能二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律NvNdvfd)(MRTvp41.1MRTv73.12p速率的三个统计值速率的三个统计值MRTv60.1气体动理论气体动理论vvfvvvfvvvvvd)(d)(2121 3/00d)(vvvvfvNNvvvvvvdd2121 例例3 3：0310v求速率在求速率在 之间的分子平均速率之间的分子平均速率
