1、第二章 一元二次方程2.1认识一元二次方程2.1.1 一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.理解一元二次方程的概念理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式掌握一元二次方程的一般形式.（重点）（重点）3.了解一元二次方程的根的概念了解一元二次方程的根的概念.（重点）（重点）4.能根据实际问题列一元二次方程能根据实际问题列一元二次方程.（重点、难点）（重点、难点）学习目标新课导入知识回顾判断下列式子是否是一元一次方程：20.35x=+96.52x=+112x=+-+-一元一次方程（1）只有一个一个未
2、知数（2）未知数的指数是一次一次（3）方程的两边都是整式整式新课导入情境导入 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?解：如图，雕像的上部高度解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度与下部高度BC应有关应有关系：系：AC BCBC 2，即，即BC22AC.设雕像下部高设雕像下部高 x m，可得方程，可得方程x22(2x).整理，得整理，得x22x40.ACB新课导入x22x40这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2.思考（1）如何解这类方程
3、?（2）如何用这类方程解决一些实际问题?新课讲解 知识点1 一元二次方程的定义合作探究 问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?新课讲解 设切去的正方形的边长是设切去的正方形的边长是 x cm，则盒底，则盒底的长为的长为(1002x)cm，宽为，宽为(502x)cm.根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3 600cm2，得，得 (1002x)(502x)3 600.整理，得整理，得 4x2300 x1 400=0.化简
4、，得化简，得 x275x350=0.解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸.x cm(100-2x)cm(50-2x)cm化简后的方程中未化简后的方程中未知数的个数和最高知数的个数和最高次数各是多少？次数各是多少？分析：分析：新课讲解 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？全部比赛场数为全部比赛场数为 47=28.设应邀请设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他个队参赛，每个队要与其他(x1)个队各赛一场，个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲
5、队的比赛是同一场比赛，所因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共以全部比赛共 场场.列方程列方程 .整理，得整理，得 .解上面方程即可得出参赛队数解上面方程即可得出参赛队数.()x x112-()x x11282-=xx256-=分析：分析：（2）方程中只含有 未知数，未知数的最高次数是 （1）这些方程的两边都是 整式2观察由上面的问题得到的方程有什么特点？新课讲解讨论 等号两边都是等号两边都是整式整式，只含有，只含有一个未知数一个未知数(一元一元)，并且未知，并且未知数的数的最高次数是最高次数是2(二次二次)的方程，叫做一元二次方程的方程，叫做一元二次方程结论x2x
6、=56 x275x+350=0 x2+2x4=0 一个新课讲解例 1 下列方程：x2y60；x2 2；x2x20；x225x36x0；2x23x2(x22)，其中是一元二 次方程的有 个.1x1含有两个未知数含有两个未知数.不是整式方程不是整式方程.未知数的最高次数不是未知数的最高次数不是2.整理后未知数的最高次数不是整理后未知数的最高次数不是2.符合一元二次方程的符合一元二次方程的“三要素三要素”.分析：分析：典例分析新课讲解练一练如果方程(m3)xm27x 30是关于x一元二次方程，那么m的值为()A3 B3 C3 D以上都不对下列关于x的方程一定是一元二次方程的是()Aax2bxc0 B
7、x21x20Cx2 2 Dx2x201xDC12新课讲解 知识点2 一元二次方程的一般形式为什么要为什么要限制限制a 0，b，c可以可以为为0吗？吗？一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式.新课讲解 a x 2+b x+c=0(a 0)二次项系数一次项系数二次项一次项常数项指出方程各项的指出方程各项的系数时要带上前系数时要带上前面的符号面的符号哟哟.二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：新课讲解例 2 将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常
8、数项典例分析解：解：去括号，得去括号，得3x23x5x10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x28x100.所以二次项系数为所以二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为8，常数项为常数项为10.新课讲解知识点03 一元二次方程的解使方程使方程左右两边相等左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方的未知数的值就是这个一元二次方程的程的解解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根根.练一练下面哪些数是方程 x2 4x+3=0 的解?-2，0，1，2，3，4.解解：1和和3.新课讲解例 3 已知a是方程 x
9、2+2x-2=0 的一个实数根，求 3a2+6a+2 019的值.典例分析解：解：由题意，得由题意，得a2+2a-2=0，即，即a2+2a=2.3a2+6a+2 019=3(a2+2a)=32+2 019=2 025.已知方程的解求已知方程的解求代数式的值代数式的值，一般先一般先把已知解把已知解代入方程，代入方程，得到等式，得到等式，将所求代数式的将所求代数式的一部分看作一个整体，再用一部分看作一个整体，再用整体思想整体思想代入求代入求值值课堂小结一元二次方程一元二次方程只含有一个未知数只含有一个未知数未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2是整式方程是整式方程ax2+bx+c=0(a0)一
10、元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的解（根）一元二次方程的解（根）二次项系数二次项系数一一次项系数次项系数常数项常数项1.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（）A.3，5 B.3，0 C.3，-5 D.5，0C当堂小练2.下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？4，3，2，1，0，1，2，3，4.解：解：4，3.当堂小练3.根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的平 方的长方形?解：解：设长方形的长为设长方形的长为x m，则宽为，则宽为(0.5-
11、x)m.根据题意，得根据题意，得x(0.5-x)=0.06.整理，得整理，得50 x2-25x+3=0.D拓展与延伸1.若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .2.若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .3.若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .1-12第二章 一元二次方程2.1认识一元二次方程2.1.2 一元二次方程的解及其估算目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.一元二次方程的解一元二次方程的解2 2.一元二次方程解的估算一元二次方程解的估算
12、（重点）（重点）学习目标新课导入知识回顾1.一元二次方程的定义是什么？2.一元二次方程的形式有哪些？新课导入 什么是方程的解？使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的解.什么叫做一元一次方程？只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是：axb0(a,b为常数,a0)新课讲解 知识点1 一元二次方程的解合作探究1.学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数应是5(1+x)万册.明年年底的图书数为5(1+x)(1+x)万册,即5(
13、1+x)2(万册).可列得方程 5(1+x)2=7.2整理可得 5x2+10 x-2.2=0新课讲解1.一元二次方程的解：能使一元二次方程两边的值相 等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一 元二次方程的根2.验证一个未知数的值是否是一元二次方程的根，只 需将这个未知数的值分别代入方程两边，若所得的 值相等，则这个未知数的值就是方程的根，否则就 不是方程的根 新课讲解例1 下面哪些数是方程x2x20的根？3，2，1，0，1，2，3导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根解：1，2.新课讲解讨论结论判断一个数值是不是一元二
14、次方程的根的方法：判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根则是方程的根；若不相等，就不是方程的根如果2是一元二次方程x2bx20的一个根，那么字母b的值为()A.3B.3C.4D4 根据根的意义，将x2直接代入方程的左右两边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，求解即可 B新课讲解例典例分析1 方程x2+x120的两个根为()Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23D新课讲解练一练1 下表是某同学求代数式x
15、2x的值的情况，根据表格可知方程x2x2的解是()A.x1 B.x0 C.x2 D.x11，x22x210123x2x620026D新课讲解 知识点2 一元二次方程解的估算对于前一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗？我们知道，x满足方程(82x)(52x)18.(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由(2)你能确定x的大致范围吗？(3)填写下表：(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流 x0.511.52(82x)(52x)2810184新课讲解（1）因为x 表示宽度，所以x不可能小于0；根据题意，8-2x 和5-2
16、x 分别表示地毯的长和宽，所以8-2x 0,5-2x0,因此 x 不可能 大于4，也不可能大于2.5.（2）通过上面的分析，可以得到0 x2.5.（3）从x 的取值范围内取值，并进行相应计算，表格中第二行从左到右依次填写28,18,10,4.（4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值的分析应至少包括以下两个方面：表格中，当x的值从小到大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于18到等于18再到小于18的过程.由表格可知，当x=1时，（8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为
17、1 m.新课讲解新课讲解用估算法求一元二次方程ax2bxc0(a0)的近似解的方法及步骤：(1)方法：当某一x 的取值使得这个方程中的ax2bxc 的值在 某一精确度要求的范围内接近于0时，x 的值即为一元二次 方程的近似解对于实际问题中解的估算，应先根据实际 情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体 的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要 求的方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”新课讲解(2)步骤：列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2bxc0(a0)中ax2bxc的值；在表中找出当ax2bxc的值可能等于0的未知数的范围；进一步在的范围内列表、计
18、算、估计范围，直到找符合要求的范围 新课讲解例典例分析在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x6)272102，也就是x212x150.(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？(4)x的整数部分是几？十分位是几？新课讲解例典例分析解：小亮把他的求解过程整理如下：所以1x1.5.进一步计算：所以1.1x0时，根据平方根的意义，方程()有两个不等的实数根x1 ，x2 ；(2)当p0时，方程()有两个相等的实数根 x1x20；(3)当p2 B.m1 D.m0时，方
19、程()有两个不等的实数根(2)当p0时，方程()有两个相等的实数根x1x2n；(3)当p0时，方程有两个不等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0，用含k的代数式表示出，然后列出以k为未知数的不等式，求出k的取值范围新课讲解解：方程kx212x90是关于x的一元二次方程，k0.方程根的判别式 (12)24k914436k.由14436k0，求得k4，又 k0，当k0，x 即即x19，x22.=71217 112 12，新课讲解(2)4x214x.(2)将原方程化为一般形式，得4x24x10.这里a4，b4，c1.b24ac(4)24410，x 即x1x2()=4012 42，12.新课
20、讲解例2 用公式法解下列方程：（1）x24x70；（2）2x2 10；（3）5x23xx1；（4）x2178x.解：（1）a1，b4，c7.b24ac(4)241(7)440.方程有两个不等的实数根2 2x确定确定a a，b b，c c的值时，的值时，要注意它要注意它们的符号们的符号.新课讲解242bbacxa (4)44211,2 1 12211,211.xx即即2(2 2)2 2 （2）a2，b ，c1.b24ac 4210.方程有两个相等的实数根122 22.22 22bxxa 新课讲解（3）方程化为5x24x10.a5，b4，c1.b24ac(4)245(1)360.方程有两个不等的实
21、数根 即24(4)3646.22 510bbacxa 1211,.5xx （4）方程化为x28x170.a1，b8，c17.b24ac(8)2411740.方程无实数根新课讲解归纳 用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了数项，在确定了a a，b b，c c后，先计算后，先计算b b2 24ac4ac的值，当的值，当b b2 24 4acac00时，再用求根公式解时，再用求根公式解课堂小结用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：(1)(1)把一元二次方
22、程化为一般形式把一元二次方程化为一般形式(2)(2)确定确定a a，b b，c c的值的值 (3)(3)计算计算b b2 24 4acac的值的值(4)(4)当当b b2 24 4acac00时，把时，把a a，b b，c c的值代入求根公式，的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当求出方程的两个实数根；当b b2 24 4acac00.x=-5334,x1=-5+334,x2=-5-334.(2)整理,得3x2-6x-1=0.=(-6)2-43(-1)=48,x=64823,解得x1=3+233,x2=3-233.D拓展与延伸 如图，在矩形ABCD中，AB6 cm，BC12 cm，点P从点
23、出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，问几秒时PDQ的面积为35 cm2?第二章 一元二次方程2.4 用因式分解法求一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。2.2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化思想通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化思想 3.3.用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程（重点）（重点）学习目标新课导入 一个数的平方与这个
24、数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x23x.但他们的解法各不相同 由方程x23x，得 x23x0.因此x ，x10，x23.所以这个数是0或3.392方程x23x 两边同时约去x，得x3.所以这个数是3.新课导入由方程x23x，得x23x0，即x(x3)0.于是x0，或x30.因此x10，x23.所以这个数是0或3.如果如果ab=0,=0,那么那么a=0=0或或b=0.=0.新课讲解 知识点1 用因式分解法解方程议一议议一议他们做得对吗？为什么？你是怎么做的？新课讲解 例1 解下列方程：(1)5x24x；(2)x(x
25、2)x2.解：(1)原方程可变形为 5x24x0，x(5x4)0.x0，或5x40.x10，x21 (2)原方程可变形为 x(x2)(x2)0，(x2)(x1)0.x20，或x10.x12，x21.原来的一元二次原来的一元二次函数转化成了两函数转化成了两个一元一次方程个一元一次方程.新课讲解例例2 2 解下列方程：（1）x(x2)x20；（2）解：（1）因式分解，得 (x2)(x1)0.于是得 x20，或x10，x12，x21.2213522.44xxxx（2）移项、合并同类项，得 4x210.因式分解，得 (2x1)(2x1)0.于是得 2x10，或2x10，1211,22xx 新课讲解归纳
26、结论1.1.采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：右化零，左分解，两因采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：右化零，左分解，两因式，各求解式，各求解.2.2.用因式分解法解一元二次方程时，不能将用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或或”写成写成“且且”，因，因为降次后两个一元一次方程并没有同时成立，只要其中之一成立了就为降次后两个一元一次方程并没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了可以了(1)(1)整理方程，使其右边为整理方程，使其右边为0 0；(2)(2)将方程左边分解为两个一次式的将方程左边分解为两个一次式的乘积；乘积；(3)(3)令每个一次式分别为令每个一次式分别为0 0，得到两个一
27、元一次方程；，得到两个一元一次方程；(4)(4)分别分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程方程的解的解新课讲解练一练12一元二次方程x24x12的根是()Ax1=2,x2=-6 B x1=2,x2=-6 Cx1=2,x2=-6 D x1=2,x2=-6B一个等腰三角形的两条边长分别是方程x27x100的两根，则该等腰三角形的周长是()A12 B9C13 D12或9A新课讲解例典例分析 用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x22x30；(2)2x27x60；(3)(x1)23(x1)0.导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法；方程(3)选择因
28、式分解法新课讲解 知识点2 用适当的方法解一元二次方程1.解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法其中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接开方法适合于某些特殊方程.2解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次3解一元二次方程方法的选择顺序：先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，一般不用配方法新课讲解解：(1)x22x30，移项，得x22x3，配方，得(x1)24，x12，x13，x21.(2)2x27x60，a2，b7，c6，b24ac970，12797797,44xx (3)(x1)23(x
29、1)0，(x1)(x13)0，x10或x40，x11，x24.新课讲解归纳 在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法对于系数较大时，一般不适宜式分解法，其次考虑用公式法对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.新课讲解练一练练一练1.解方程(5x1)23(5x1)的最适当的方法是()A直接开平方法 B配方法C公式法 D因式分解法D课堂小结解一元二次方程方法的口诀解一元二次方程方法的口诀方程没有一次项，直接开方最理想；方程没有一次项，直接
30、开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；如果缺少常数项，因式分解没商量；b b，c c相等都为相等都为0 0，等根是，等根是0 0不要忘；不要忘；b b，c c同时不为同时不为0 0，因式分解或配方，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方也可直接套公式，因题而异择良方当堂小练1.一元二次方程(x-1)(x+2)=0的解是()A.x1=1,x2=2 B.x1=-1,x2=2C.x1=1,x2=-2 D.x1=-1,x2=-22.一元二次方程x2-10 x+21=0可以转化为两个一元一次方程,正确的是()A.x-3=0,x+7=0 B.x+3=0,x+7=0C.x-3=0,x-7=0
31、D.x+3=0,x-7=0cc当堂小练3.(6分)一元二次方程x2-2x=0的两个根分别为x1和x2,其中x1x2,求x21-2x22的值.解:x2-2x=0,x(x-2)=0.又x10.方程有两个实数根 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1x27，x1x26.(2)这里a2，b3，c2.b24ac(3)242(2)916250，方程有两个实数根 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1x2 ，x1x21.新课讲解讨论结论 一般的一元二次方程ax2bxc0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？方程的两个根方程的两个根x x1 1，x x2 2和系数和系数a
32、 a，b b，c c有如下关系：有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比的积等于常数项与二次项系数的比 1212,.bcxxx xaa新课讲解例典例分析 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x26x150 （2）3x27x90；（3）5x14x2.解：(1)x1x2(6)6，x1x215.(3)方程化为4x25x10，121279(2)3.33xxx
33、 x ，1255=44xx，121.4x x 新课讲解练一练12一元二次方程x22x0的两根分别为x1和x2，则x1x2为()A2 B1 C2 D0已知，是一元二次方程x2x20的两个实数根，则+-的值是()A3 B1C1 D3 DB新课讲解 知识点2 一元二次方程的根与系数的应用 已知方程的一根求另一根，可以直接代已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根也可以直接利用根与系数的关系求另一根也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值求另一根及待定字母的值新课讲解例典例分析 已知关于x的方程x26xp22p50
34、的一个根是2，求方程的另一个根和p的值导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值解：设方程的两根为x1和x2，x1x26，x12，x24.又x1x2 p22p5248，p22p30，解得 p3或p1.ca新课讲解练一练12若关于x 的方程x22xc0有一根为1，则方程的另一根为()A1 B3C1 D3等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x26xn10的两根，则n的值为()A9 B10C9或10 D8或10DB新课讲解例典例分析 方程x22kxk22k10的两个实数根x1，x2满足x12x224，则k的值为_由x12x
35、22x122x1x2x222x1x2(x1x2)22x1x24，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值x12x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)2 2x1x24，x1x22k，x1x2k22k1，4k24(k22k1)4，解得k1.导引：导引：k1新课讲解 归纳 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知将
36、两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值数的方程，进而求出待定字母的值课堂小结一元二次方程一元二次方程 x x1 1x x2 2p p，x x1 1x x2 2q q.一元二次方程的根与系数一元二次方程的根与系数的关系的关系 已知方程的一根求另一已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后程中待定字母的值，然后再解方程求另一根再解方程求另一根一元二次方程的根与系数的一元二次方程的根与系数的关系的应用关系的应用 1212,.bcxxx xaa x x1 1x x2 2p p，x x1 1x x2 2q q.1212,.bc
37、xxx xaa当堂小练1.方程x2+2x-4=0的两根为x1,x2,则x1+x2的值为()A.2 B.-2 C.4 D.-42.已知关于x的一元二次方程x2-3x-k=0的一个根为-2,那么它的另一个根为()A.5 B.1 C.3 D.-2BB当堂小练3.关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若方程的一个根为2,求另一个根.解:(1)因为关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根,所以=4-4(2k-4)0,解得k52.(2)设方程的另一个根为x2,则2+x2=-2,解得x2=-4.所以方程的另一个根为-4.D拓展与
38、延伸 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。韦达（15401603）第二章 一元二次方程2.6应用一元二次方程2.6.1 几何图形与数字问题目 录CONTENT
39、S1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.用一元二次方程解决几何图形问题用一元二次方程解决几何图形问题2 2.用一元二次方程解决数字问题用一元二次方程解决数字问题学习目标新课导入知识回顾列方程解应用题的步骤是什么？审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系。设未知数：一种方法是直接设所要求的量为X；另一种方法是设所要求的量有关系，且具有关键性作用的未知量为X,而所求量能用含X的代数式表示。列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程。解方程。写出答案：书写答案，同时要注意不要遗漏单位名称。新课导入
40、很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决，前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、增长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一元二次方程解决几何与数字相关问题.新课讲解 知识点1 用一元二次方程解决几何图形问题合作探究如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?新课讲解分析：分析：封面的长宽之比是272197，中央的矩形的长宽之比也应是97.设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边
41、衬与左、右边衬的宽度之比是 9(3a)7(3a)97.1(27 9)(21 7)2aa新课讲解设上下边衬的宽为9x cm,左右边衬的宽为7x cm,依题意得上、下边衬的宽均为 1.8 cm，左、右边衬的宽均为 1.4 cm解：解：3(2718)(2114)27214xx1263 363 3()=44，xx 解解得得 不不合合意意，舍舍去去新课讲解讨论如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试解：设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.依题意得 解得故上下边衬的宽度为：左右边衬的宽度为：39727214xx13 3,2x 23 3()2x 不不合合意意，舍舍去
42、去3 32792795427 321.8224x 3 32172174221 321.4224x 新课讲解归纳 在列一元二次方程解应用题时，由于所得在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解看哪个根是符合实际问题的解.新课讲解练一练1如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为()A1米 B1.5米 C2米 D2.5米A当堂小练1.用长
43、为14的铁丝围成一个面积是12的矩形,则这个矩形相邻的两边长分别是3,4.2.如图,在长为10 m,宽为8 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为48 m2,则道路的宽应为2m.D拓展与延伸 1.如图，在直角墙角AOB(OAOB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2.(1)求这个矩形地面的长；解：设这个矩形地面的长是x m，则依题意得x(20 x)96.解得x112，x28(舍去)答：这个矩形地面的长是12 m.第二章 一元二次方程2.6应用一元二次方程2.6.2 变化
44、率问题与销售问题目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.用一元二次方程解决变化率问题用一元二次方程解决变化率问题 2 2.用一元二次方程解决销售问题用一元二次方程解决销售问题（重点）（重点）3.3.一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用.（重点、难点）（重点、难点）学习目标新课导入回顾列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：审、设、列、解、验、答 一般情况下，“审”不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，才能准确列出方程新课导入 随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活中越来越重要，今天我们就来学习一下
45、利用一元二次方程解决变化率问题与销售有关的问题.新课讲解 知识点1 变化率问题合作探究 有雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？1.审清题意，今年审清题意，今年 到后年间隔到后年间隔2年年3.根据增长率的等根据增长率的等量关系列出方程量关系列出方程答答：平均每年的增长平均每年的增长20%解：解：平均每年增长的百分率为平均每年增长的百分率为x,根据根据题意得题意得：2280(1)403.2x1x1.2 x12.2(舍去舍去)x20.22.设未知数设未知数新课讲解 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 00
46、0元随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5 0003 000)21 000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6 0003 600)21 200(元)显然，乙种药品成本的年平均下降额较大但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)新课讲解 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种 药品成本为5 000(1x)元，两年后甲种药品成本为 5 000(1x)2元，于是有5 000(1x)23 000.解方程，得x10.225，x21.7
47、75.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.新课讲解 乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得 6000（1 y）2=3600.解方程，得 y10.225，y21.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.新课讲解思考 在现实生活中，各项指标都在随着社会的进步而发生变化，这样就在现实生活中，各项指标都在随着社会的进步而发生变化，这样就出现了增长和降低百分率问题。在具体的列一元二次方程解平均增长出现了增长和降低百分率
48、问题。在具体的列一元二次方程解平均增长（或降低）率问题时，主要利用平均绿的计算公式来列方程。（或降低）率问题时，主要利用平均绿的计算公式来列方程。结论 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下 降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？结论：甲乙两种药的平均下降率相同；成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大.不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率.新课讲解练一练1某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A560(1x)2315
49、 B560(1x)2315C560(12x)2315 D560(1x2)315B新课讲解 知识点2 用一元二次方程解决销售问题 销售问题一般常见是利润问题，此类问题常销售问题一般常见是利润问题，此类问题常见的等量关系是见的等量关系是“总利润总利润=销售总额销售总额-总成本总成本”或或“总利润总利润=每件商品的利润每件商品的利润x x销售总数量销售总数量”，此种类型是本节课重点内容，通常可直接设商此种类型是本节课重点内容，通常可直接设商品的售价为未知数，但列出的方程比较难解，品的售价为未知数，但列出的方程比较难解，所以解决此类问题时经常间接设未知数所以解决此类问题时经常间接设未知数新课讲解例典例
50、分析 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经万元，经过市场调研发现，每台售价为过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为万元时，年销售量为600台；每台台；每台售价为售价为45万元时，年销售量为万元时，年销售量为550台假定该设备的年销售量台假定该设备的年销售量y(单单位：台位：台)和销售单价和销售单价x(单位：万元单位：万元)成一次函数关系成一次函数关系新课讲解(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；新课讲解(2)
