1、第一节 向量与向量的线性运算 第四章第四章 平面向量、数系的扩充与复平面向量、数系的扩充与复 数的引入数的引入 考考 纲纲 要要 求求 1平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景了解向量的实际背景 (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 (3)理解向量的几何表示理解向量的几何表示 2向量的线性运算向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 (2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的
2、含义含义 (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义. 精品PPT 课课 前前 自自 修修 知识梳理知识梳理 一、平面向量的概念一、平面向量的概念 1平面向量平面向量 平面内既有大小又有方向的量叫做向量平面内既有大小又有方向的量叫做向量 向量一般用向量一般用 a，b，c，来表示，或用有向线段的起点与终来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如点的大写字母表示，如AB .向量向量AB 的大小即向量的模的大小即向量的模(长度长度)，记作，记作 |AB |.即向量即向量 a 的大小，记作的大小，记作|a|. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小向量不能比
3、较大小，但向量的模可以比较大小 2零向量零向量 长度为零的向量叫做零向量，记为长度为零的向量叫做零向量，记为0，其方向是任意的，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量与任意向量平行零向量a0|a|0. 由于由于0的方向是任意的，且规定的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有平行于任何向量，故在有 关向量平行关向量平行(共线共线)的问题中务必看清楚是否有的问题中务必看清楚是否有“非零向量非零向量”这个这个 条件条件(注意注意“0”与与“0”的区别的区别) 3单位向量单位向量 模为模为1个单位长度的向量叫做单位向量向量个单位长度的向量叫做单位向量向量a0为单位向量为单位向量 |a0|1.
4、4平行向量平行向量(共线向量共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作ab.由于由于 向量可以进行任意的平移向量可以进行任意的平移(即自由向量即自由向量)，平行向量总可以平移到，平行向量总可以平移到 同一直线上，故平行向量也称为共线向量同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素， 起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的“共线共线” 与几何中的与几何中的“共线共线”的含义，要理解好平行向量中的
5、的含义，要理解好平行向量中的“平行平行” 与几何中的与几何中的“平行平行”是不一样的是不一样的 5相等向量相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量经过长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量经过 平移后总可以重合，记为平移后总可以重合，记为ab. 二、向量的运算二、向量的运算 1向量的加法向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法 设设AB a，BC b，则，则 abAB BC AC . 规定：规定：(1)0aa0a； (2)向量加法满足交换律与结合律向量加法满足交换律与结合律 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：向量加法的三角形法则可
6、推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR ，但这时必须，但这时必须“首尾相连首尾相连” 2向量的减法向量的减法 (1)相反向量：与相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做长度相等、方向相反的向量叫做a的相反的相反 向量，记作向量，记作a.零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：关于相反向量有：(a)a；a(a)(a)a0； 若若a，b是互为相反向量，则是互为相反向量，则ab，ba，ab0. (2)向量的减法：向量向量的减法：向量a加上加上b的相反向量叫做的相反向量叫做a与与b的差，记的差，记 作作aba(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法求两个向
7、量差的运算叫做向量的减法 (3)作图法：作图法：ab可以表示为从可以表示为从b的终点指向的终点指向a的终点的向量的终点的向量 (a，b有共同起点有共同起点) 3向量加、减法的向量加、减法的“三角形法则三角形法则”与与“平行四边形法平行四边形法 则则” (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和 向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是 另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是三角形法则的特点是“首尾相接
8、首尾相接”，由第一个向量的起，由第一个向量的起 点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和， 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量 是首尾连接时，用三角形法则是首尾连接时，用三角形法则 4实数与向量的积实数与向量的积 (1)实数实数与向量与向量a的积是一个向量，记作的积是一个向量，记作a，它的长度与方，它的长度与方 向规定如下：向规定如下： |a|=| |a|； 当当0时，时，a的方向与
9、的方向与a的方向相同；当的方向相同；当0时，时，a的方向的方向 与与a的方向相反；当的方向相反；当0时，时，a0，方向是任意的，方向是任意的 (2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律数乘向量满足交换律、结合律与分配律 三、两个向量共线定理三、两个向量共线定理 向量向量b与非零向量与非零向量a共线共线有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得b a. 基础自测基础自测 1(2012 惠州市调研惠州市调研)已知向量已知向量a，b，则，则“ab”是是“ab0” 的的_条件条件 ( ) A充分不必要充分不必要 B必要不充分必要不充分 C充要充要 D既不充分也不必要既不充分也不必要 解析：解析： “a
10、b”只要求两向量共线，而只要求两向量共线，而“ab0”要求反要求反 向共线且模相等故选向共线且模相等故选B. 答案：答案：B 2 (2012 广东英德一中模拟广东英德一中模拟)已知已知 O 是是ABC 所在平面内一点，所在平面内一点， D 为为 BC 边中点，且边中点，且 2OA OB OC 0，那么，那么 ( ) A.AO OD B.AO 2OD C.AO 3OD D2AO OD 解析：解析：由向量加法运算的平行四边形法则知，由向量加法运算的平行四边形法则知，OB OC 2OD ，2OA 2OD 0，即，即AO OD .故选故选 A. 答案：答案：A 3(2011 上海市黄浦区二模上海市黄浦
11、区二模)已知已知e1，e2是平面上两个不共线的是平面上两个不共线的 向量，向量向量，向量a2e1e2，bme13e2，若，若ab，则实数，则实数 m _. 6 4 (2012 福州市模拟福州市模拟)在在ABC 中， 已知中， 已知 D 是是 AB 边上一点，边上一点， AD 2DB ，CD CA CB ，则，则 的值为 的值为_. 1 2 考考 点点 探探 究究 考点一考点一 向量有关概念、结论的正误判断向量有关概念、结论的正误判断 【例例1】 给出下列命题：给出下列命题： 若若|a|b|，则，则ab；若；若A，B，C，D是不共线的四点，是不共线的四点， 则则 是四边形是四边形ABCD为平行四
12、边形的充要条件；若为平行四边形的充要条件；若ab， bc，则，则ac；ab的充要条件是的充要条件是|a|b|且且ab；若；若ab， bc，则，则ac.其中正确的序号是其中正确的序号是_ AB DC 解析：解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不 一定相同一定相同 正确正确AB DC ， |AB |DC |且且AB DC . 又又 A，B，C，D 是不共线的四点，是不共线的四点， 四边形四边形 ABCD 为平行四边形反之，若四边形为平行四边形反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则为平行四边形，则AB DC 且且|AB |DC |，因此，因此，AB
13、 DC . 正确正确ab，a，b 的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同 又又 bc，b，c 的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同 a，c 的长度相等且方向相同，故的长度相等且方向相同，故 ac. 不正确当不正确当 ab 且方向相反时，即使且方向相反时，即使|a|b|，也不能，也不能 得到得到 ab，故，故|a|b|且且 ab 不是不是 ab 的充要条件，而是必的充要条件，而是必 要不充分条件要不充分条件 不正确考虑不正确考虑 b0 这种特殊情况这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是综上所述，正确命题的序号是. 答案：答案： 点评：点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念本例主要
14、复习向量的基本概念向量的基本概念 较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知 识结构，正确理解向量的有关概念另一方面要善于与物理识结构，正确理解向量的有关概念另一方面要善于与物理 中、生活中的模型进行类比和联想中、生活中的模型进行类比和联想 变式探究变式探究 1给出下列命题：时间、速度、加速度都是向量；向量的给出下列命题：时间、速度、加速度都是向量；向量的 模是一个正实数；所有的单位向量都相等；共线向量一模是一个正实数；所有的单位向量都相等；共线向量一 定在同一直线上其中真命题的个数为定在同一直线上其中真命题的个数为 ( ) A0 B1
15、 C2 D3 解析：解析：由向量、向量的模、共线向量的含义知中时间不由向量、向量的模、共线向量的含义知中时间不 是向量；中模可为零；中单位向量方向不同则不等；是向量；中模可为零；中单位向量方向不同则不等； 中共线向量可以平行，不一定在同一直线上故中共线向量可以平行，不一定在同一直线上故 均不对故选均不对故选A. 答案：答案：A 考点二考点二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 【例【例 2】 如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形 OADB 的对角线的对角线 OD，AB 相交于点相交于点 C，线段，线段 BC 上有一点上有一点 M 满足满足 BC3BM，线段，线段 CD 上有上有 一点一点
16、 N 满足满足 CD3CN，设，设OA a，OB b，试用，试用 a，b 表示表示OM ， ON ，MN . 解析：解析：BM1 3BC 1 6BA， ， BM 1 6BA 1 6 OA OB 1 6 a b， ， OM OB BM 1 6a 5 6b. CN1 3CD， ， ON4 3CD 2 3OD. ON 2 3OD 2 3 OA OB 2 3 a b. MN ON OM 1 2a 1 6b. 点评点评：在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形 或三角形中，根据向量的几何加减法则即平行四边形法则和三或三角形中，根据向量的几何加减法则即平行四
17、边形法则和三 角形法则，能对图形中的向量进行互相表示，把未知向量转化角形法则，能对图形中的向量进行互相表示，把未知向量转化 为与已知向量有直接关系的向量来求解为与已知向量有直接关系的向量来求解 变式探究变式探究 2(2012 佛山一中期中佛山一中期中)在平行四边形在平行四边形 ABCD 中，中，AE 1 3AB ， AF 1 4AD ， CE 与与 BF 相交于点相交于点 G.若若AB a， AD b， 则， 则AG ( ) A.2 7a 1 7b B. 2 7a 3 7b C.3 7a 1 7b D. 4 7a 2 7b 解析：解析：如图，作向量如图，作向量EH AD 交线段交线段 BF 于
18、点于点 H， 则则|EH | |AF | |EB | |AB | 2 3， ，EH 2 3AF 2 3 1 4AD 1 6a. 又又|EG | |GC | |EH | |BC | 1 6，即 ，即 |EG | |EC |EG | 1 6， ， |EG |1 7|EC |.而而EC EB BC 2 3a b，EG 1 7 2 3a b . AG AE EG 1 3a 1 7 2 3a b 3 7a 1 7b.故选 故选 C. 答案：答案：C 考点三考点三 平面图形中的向量问题平面图形中的向量问题 【例【例 3】 如图所示， 点如图所示， 点 G 是是ABC 的重心的重心(三角形的三条中线的交点三
19、角形的三条中线的交点)，求，求 证：证：GA GB GC 0. 思路点拨：思路点拨：要证要证GA GB GC 0， 只需证只需证GB GC GA ， 即只需证， 即只需证GB GC 与与GA 互为相反向量互为相反向量 证明：证明：以向量以向量GB ，GC 为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形 GBEC， 则则GB GC GE 2GD ， 又由点， 又由点G为为ABC的重心知的重心知AG 2GD ，从而，从而GA 2GD ， 所以所以GA GB GC 2GD 2GD 0. 点评：点评：向量的加法可以用几何法进行正确理解向量的各向量的加法可以用几何法进行正确理解向量的各 种运算的几何意义，能进一步
20、加深对种运算的几何意义，能进一步加深对“向量向量”的认识，并能体的认识，并能体 会用向量处理问题的优越性会用向量处理问题的优越性 变式探究变式探究 3(2012 邯郸市一模邯郸市一模)在在ABC 所在平面内有一点所在平面内有一点 P，如果，如果 2PA PC AB PB ，那么，那么PBC 的面积与的面积与ABC 的面积之比的面积之比 是是 ( ) A.3 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 解析：解析：2PA PC AB PB AP ， PC 3AP ，A，P，C 三点共线，即点三点共线，即点 P 在边在边 AC 上，且上，且|PC | 3 4|AC |，两个三角形面积之比为两个三
21、角形面积之比为|PC | |AC | 3 4.故选 故选 A. 答案：答案：A 考点四考点四 共线向量定理的应用共线向量定理的应用 【例【例 4】 (2012 重庆市模拟重庆市模拟)已知已知 A， M， B 三点共线，三点共线， mOA 3OM OB 0，若，若AM tBA ，则实数，则实数 t 的值为的值为 ( ) A.1 3 B. 1 2 C 1 3 D 1 2 解析：解析：AM AO OM AO 1 3 mOA OB 1 3m 1 OA 1 3BO ，BA BO OA ， 依题意有依题意有 1 3m 1 OA 1 3BO tBO tOA ， t1 3m 1， t1 3， ， 解得解得 m
22、2，t1 3.故选 故选 C. 答案：答案：C 变式探究变式探究 4 (2011 佛山市模拟佛山市模拟)已知已知 a， b 是不共线的向量，是不共线的向量，AB ab， AC ab， ， R， 那么， 那么 A， B， C 三点共线的充要条件为三点共线的充要条件为( ) A2 B1 C1 D1 解析：解析：若若 A，B，C 三点共线，则三点共线，则AB AC ，存在唯一实数存在唯一实数 m 使得使得AB mAC ，即，即 abm(ab)， m， 1m， 1， 反之也成立故选反之也成立故选 D. 答案：答案：D 课时升华课时升华 1向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，向量具有大小和方
23、向两个要素用有向线段表示向量时， 与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表 示同一向量示同一向量 2用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和 向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是 另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 3三角形法则的特点是三角形法则的特点是“首尾相接首尾相接”，由第一个向量的起，由第一个向量的起 点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的
24、和，点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和， 差向量是两个向量始点重合时，从减向量的终点指向被减向量差向量是两个向量始点重合时，从减向量的终点指向被减向量 的终点的终点 4对于两个向量平行的充要条件：对于两个向量平行的充要条件： abab，只有，只有b0时才是正确的而当时才是正确的而当b0时，时，ab 是是ab的必要不充分条件的必要不充分条件 5特别注意：特别注意： (1)向量的加法与减法是互逆运算向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必 要条件要条件 (3)向量平行与直线平行有区别，直线平
25、行不包括共线向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重即重 合合)，而向量平行则包括共线，而向量平行则包括共线(重合重合)的情况的情况. 感感 悟悟 高高 考考 品味高考品味高考 1(2013 广东卷广东卷)设设 a 是已知的平面向量且是已知的平面向量且 a0，关于关于 向量向量 a 的分解的分解，有如下四个命题有如下四个命题： 给定向量给定向量 b，总存在向量总存在向量 c，使使 abc； 给定向量给定向量 b 和和 c，总存在实数总存在实数 和和 ，使使 abc； 给定单位向量给定单位向量 b 和正数和正数 ， 总存在单位向量总存在单位向量 c 和实数和实数 ， 使使 abc； 给
26、定正数给定正数 和和 ，总存在单位向量总存在单位向量 b 和单位向量和单位向量 c，使使 abc； 上述命题中的向量上述命题中的向量 b， c和和a在同一平面内且两两不共线在同一平面内且两两不共线， 则真命题的个数是则真命题的个数是(B) A1 B2 C3 D4 解析：解析：利用向量加法的三角形法则，易得利用向量加法的三角形法则，易得是对的；是对的；利利 用平面向量的基本定理，易得用平面向量的基本定理，易得是对的；以是对的；以 a 的终点作长度的终点作长度 为为 的圆， 这个圆必须和向量的圆， 这个圆必须和向量 b 有交点， 这个不一定能满足，有交点， 这个不一定能满足， 是错的；利用向量加法
27、的三角形法则，结合三角形两边的是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的 和大于第三边，即必须和大于第三边，即必须| | b | | c | | a，所以 ，所以是假命是假命 题题综上，选综上，选 B. 2(2012 四川卷四川卷)设设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是成立的充分条件是 ( ) Aab Bab Ca2b Dab且且|a|b| 解析：解析：对于对于 A 项，由项，由 ab 可以推得可以推得 a |a| b |b|， ，ab 为为 既不充分也不必要条件 对于既不充分也不必要条件 对于 B 项， 由项， 由 ab 可以推得
28、可以推得 a |a| b |b|或 或 a |a| b |b|， ，ab 为必要不充分条件对于为必要不充分条件对于 C 项，由项，由 a2b 可以推得可以推得 a |a| b |b|，反之则不一定成立， ，反之则不一定成立，a2b 为充分不必要为充分不必要 条件选项条件选项 D 与选项与选项 B 的情况一样故选的情况一样故选 C. 答案：答案：C | a a | b b 高考预测高考预测 1(2012 揭阳市模拟揭阳市模拟)已知点已知点 O 为为ABC 外接圆的圆心，且外接圆的圆心，且OA OB CO 0，则，则ABC 的内角的内角 A 等于等于 ( ) A30 B60 C90 D120 解析
29、：解析：由由OA OB CO 0 得得OA OB OC ，由，由 O 为为ABC 外接圆的圆心， 结合向量加法的几何意义知四边形外接圆的圆心， 结合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为为 菱形，且菱形，且CAO60 .故选故选 A. 答案：答案：A 2(2012 华南师大附中综合测试华南师大附中综合测试)在平行四边形在平行四边形 ABCD 中中，E， F 分别是分别是 CD 和和 BC 的中点的中点，若若AC AE AF ，其中其中 ， R，则则 _. 解析：解析： 由向量加法的三角形法则得由向量加法的三角形法则得AC AD AB (AE DE ) (AF BF )(AE AF )(DE BF )(AE AF )1 2(AB AD )(AE AF )1 2AC ， 所以所以AC 2 3(AE AF )，所以，所以 2 3 2 3 4 3. 答案：答案：4 3
