1、系统动力学系统动力学(简称简称SDsystemdynamics)是福瑞斯特是福瑞斯特(JWForrester)教授于教授于1958年为分析生产管理及库存管理等年为分析生产管理及库存管理等企业问题而提出的系统仿真方法，最初叫工业动态学。企业问题而提出的系统仿真方法，最初叫工业动态学。1961年，年，福瑞斯特发表的福瑞斯特发表的工业动力学工业动力学(industrialdynamics)成为经成为经典著作。随后，系统动力学应用范围日益扩大，几乎遍及各个典著作。随后，系统动力学应用范围日益扩大，几乎遍及各个领域，逐渐形成了比较成熟的新学科领域，逐渐形成了比较成熟的新学科系统动力学。系统动力学。系统动
2、力学是一门分析研究信息反馈系统的学科，也是一系统动力学是一门分析研究信息反馈系统的学科，也是一门认识系统问题和解决系统问题的交叉综合学科。从门认识系统问题和解决系统问题的交叉综合学科。从50年代后年代后期诞生以来，已经卓有成效地进行了农业、企业、城市、地区、期诞生以来，已经卓有成效地进行了农业、企业、城市、地区、国家及世界范围的战略与决策实验，为决策者制定各项政策，国家及世界范围的战略与决策实验，为决策者制定各项政策，被誉为被誉为“战略与策略实验室战略与策略实验室”。从系统方法论来说：系统动力学是结构的方法、功能的方法从系统方法论来说：系统动力学是结构的方法、功能的方法和历史的方法的统一。它基
3、于系统论，吸收了控制论、信息论的和历史的方法的统一。它基于系统论，吸收了控制论、信息论的精髓，是一门综合自然科学和社会科学的横向学科。精髓，是一门综合自然科学和社会科学的横向学科。系统动力学是利用系统结构、各环节的因果关系和反馈回路系统动力学是利用系统结构、各环节的因果关系和反馈回路的综合模型，通过仿真的方法来求解系统性能的一种理论。由于的综合模型，通过仿真的方法来求解系统性能的一种理论。由于它涉及到微分方程或差分方程求解、控制理论应用、经济技术分它涉及到微分方程或差分方程求解、控制理论应用、经济技术分析以及计算机软件等多种学科，因而属于跨学科的新型理论和方析以及计算机软件等多种学科，因而属于
4、跨学科的新型理论和方法。法。最早的系统动力学计算机模拟语言是最早的系统动力学计算机模拟语言是DYNAMO。DYNAMO语言的名字是由语言的名字是由dynamic（动态）和（动态）和model两词的词两词的词头合并而成，表明了其预期的用途：模拟真实世界系统，使得它头合并而成，表明了其预期的用途：模拟真实世界系统，使得它们随时间变化的动态行为能用计算机来跟踪、模拟。们随时间变化的动态行为能用计算机来跟踪、模拟。系统动力学把现实生活中的复杂系统映射成系统动力学流图，系统动力学把现实生活中的复杂系统映射成系统动力学流图，DYNAMO语言则把系统流图模型送入计算机并计算出数字结果。语言则把系统流图模型送
5、入计算机并计算出数字结果。设有设有n个要素变量个要素变量Lii(t)(i=1,2,n)，每个每个Li(t)在其定在其定义域内为可微函数，并右式：义域内为可微函数，并右式：则这则这n个要素变量个要素变量(简称为变量简称为变量)构成一个系统。构成一个系统。此方程组表示了动力学的一般原理。此方程组表示了动力学的一般原理。定义：设系统的数学模型为定义：设系统的数学模型为上述方程组的一个解或解集合称为该系统的目上述方程组的一个解或解集合称为该系统的目的点或目的环，有时又称为系统的目标。的点或目的环，有时又称为系统的目标。定义：系统达到定义：系统达到“目的点目的点“或或“目的环目的环“的的结构称为系统的稳
6、定态。结构称为系统的稳定态。如：人体系统如：人体系统稳定态：健康（目的点：体温、血压、血糖等等指稳定态：健康（目的点：体温、血压、血糖等等指标的正常）标的正常）非稳定态：生病，甚至死亡非稳定态：生病，甚至死亡人体总是通过自调节、自组织来使状态保持人体总是通过自调节、自组织来使状态保持或恢复到目的点上，以保证稳定态。或恢复到目的点上，以保证稳定态。如人体体温的目的值是如人体体温的目的值是36.5，当外界温度过，当外界温度过高时：出汗；当外界过于寒冷时：加快血液循环；高时：出汗；当外界过于寒冷时：加快血液循环；收紧皮肤毛孔等办法来对准目的值。收紧皮肤毛孔等办法来对准目的值。系统的稳定态的特征是：在
7、各种微小偶系统的稳定态的特征是：在各种微小偶然扰动的作用下仍能保持原来的状态。然扰动的作用下仍能保持原来的状态。系统处于非稳定状态时，一旦受到微扰系统处于非稳定状态时，一旦受到微扰就会迅速离开原来的状态，直到达到某一就会迅速离开原来的状态，直到达到某一稳定态。稳定态。经济社会系统达到了稳定态，也就是实经济社会系统达到了稳定态，也就是实现了协调发展。可通过求系统的稳定态求现了协调发展。可通过求系统的稳定态求经济社会协调发展决策方案。经济社会协调发展决策方案。系统的稳定态和非稳定态均是相对一定系统的稳定态和非稳定态均是相对一定的条件而言的，在外部控制因素的作用下，的条件而言的，在外部控制因素的作用
8、下，系统可产生不同的稳定态。因为外部条件系统可产生不同的稳定态。因为外部条件不同，方程组也会不同。不同，方程组也会不同。系统的目标：系统中符合人们意愿或需系统的目标：系统中符合人们意愿或需要的目的点或目标环。要的目的点或目标环。在不同时期，系统可存在不同的目标。在不同时期，系统可存在不同的目标。问：如何对系统进行控制，使其不偏离问：如何对系统进行控制，使其不偏离所定的目标？（对系统进行控制）所定的目标？（对系统进行控制）定义：通过保持和改变系统的条件，使定义：通过保持和改变系统的条件，使系统按系统目标所要求的方向而改变，直系统按系统目标所要求的方向而改变，直到实现系统目标，称为对系统的控制。到
9、实现系统目标，称为对系统的控制。定义：将系统或其子系统的输出定义：将系统或其子系统的输出yi(i=1,2,n)的全部或一部分返至系统的全部或一部分返至系统或其子系统的输入或其子系统的输入x i(i=1,2,.n)的过程，的过程，称为反馈。称为反馈。开环控制系统：输出只受系统输入控制开环控制系统：输出只受系统输入控制闭环控制系统：输出由系统的输入与输闭环控制系统：输出由系统的输入与输出同时控制的系统出同时控制的系统闭坏控制系统是反馈控制系统闭坏控制系统是反馈控制系统 基本反馈控制系统的组成（五部分组成）基本反馈控制系统的组成（五部分组成）(1)控制对象控制对象(2)实际输出实际输出Y：实际响应实
10、际响应(功能功能)；(3)期望输出期望输出Y*：目标值或理想功能目标值或理想功能(4)测量器与比较器测量器与比较器(5)反馈控制器反馈控制器已知一个系统的数学模型为已知一个系统的数学模型为y=ax+b (a0)(1)系统标准值为系统标准值为Y*，初始输入为初始输入为x0，求对应于求对应于Y*的的输入值输入值x*?代数求解代数求解:x*=(y*-b)/a 假设我们无法解出假设我们无法解出x*(有实际意义）有实际意义）对系统的数学模型对系统的数学模型y=ax+b微分，得微分，得dy=adx (2)由于模型是线性函数由于模型是线性函数,得得y=ax (3)反之：反之：x=y/a (4)若取增益为若取
11、增益为H1/a 设初始设初始x0 x*(1)系统第一次输出系统第一次输出y0=ax0+b(2)误差误差 y0=y0-y*=ax0+b-(ax*+b)=a(x0-x*)0(3)现误差经反馈控制器增益现误差经反馈控制器增益H作用得作用得 x0=Hy0 =a(x0-x*)/a=x0-x*(4)经一次反馈以后产生新的输入经一次反馈以后产生新的输入(达到达到x*)x1=x0-x0=x*实际很难正好取到实际很难正好取到H1/a,设相差一个设相差一个增益为增益为H1/a+设初始设初始x0 x*(1)系统第一次输出系统第一次输出y0=ax0+b(2)误差误差 y0=y0-y*=ax0+b-(ax*+b)=a(
12、x0-x*)0(3)现误差经反馈控制器增益现误差经反馈控制器增益H作用得作用得 x0=Hy0 =(1/a+)a(x0-x*)=(x0-x*)+a(x0-x*)(4)经一次反馈以后产生新的输入经一次反馈以后产生新的输入(达到达到x*)x1=x0-x0 =x*-a(x0-x*)当当0时，经一次反馈后，输入时，经一次反馈后，输入x1与与x*存在的误存在的误差差,进行迭代进行迭代：经经n次反馈后，其输入的修正值次反馈后，其输入的修正值xn=x*+(-1)nnan(x0-x*)xn-x*=(-1)nnan(x0-x*)由此可以推出由此可以推出:(1)经经n次反馈后，输入的修正值次反馈后，输入的修正值x0
13、与输入的正确与输入的正确值值x*的差是的差是、a、x0、x*的函数的函数(2)当当x0、x*一定时，一定时，若若1/a,当当n时，时，x nx*若若1/a,当当n时，时，xn若若=1/a,当当a=-1时时 x n=x0;或当或当a=1时，时，x n=x*+(-1)n(x0-x*)反馈控制器的作用及可实现多种控制效果反馈控制器的作用及可实现多种控制效果系统模型为非线性函数时，效果的完全不系统模型为非线性函数时，效果的完全不同。同。通过反馈调整偏差实现求解系统的变量，通过反馈调整偏差实现求解系统的变量，是系统动力学的一个基本思想方法。是系统动力学的一个基本思想方法。设 系 统 存 在 变 量设 系
14、 统 存 在 变 量 xi(t)(i=1,2,n)、ui(t)(i=1,2,r)、yi(t)(i=1,2,m)，并存在关系式：并存在关系式：许多对应实际系统应该是变系数，即系数许多对应实际系统应该是变系数，即系数A，B，C为时间的函数为时间的函数A(t),B(t),C(t),有变系数多输有变系数多输入入多输出反馈控制系统模型：多输出反馈控制系统模型：反馈表现在系统内变量反馈表现在系统内变量X(t)对于一个具体的系统问题：对于一个具体的系统问题：（1）如何建立模型？（）如何建立模型？（2）如何解方程组？）如何解方程组？是系统动力学要解决的主要问题是系统动力学要解决的主要问题例例1设设x1(t),
15、x2(t),x3(t)分别为某省分别为某省t年间的第一第二第年间的第一第二第三产业的产值，三产业的产值，u1(t),u2(t),u3(t)分别为该省分别为该省t年间的第一第年间的第一第二第三产业的投入二第三产业的投入.因此有：因此有：有向图有向图G（V（G），），E（G）是一个有序是一个有序二元组，二元组，V（G）是顶点集，是顶点集，E（G）是有向边是有向边（弧）集。（弧）集。例例1：如图所示：如图所示一个人口子系统有一个人口子系统有向图：向图：G(t)=(V(t),X(t)V(t)=v1(t)，v2(t)，v3(t)，v4(t)，X(t)=v1(t)v2(t),v1(t)v3(t),v1(t
16、)v4(t),v2(t)v1(t),v3(t)v1(t),v4(t)v2(t),v4(t)v3(t)定义：若定义：若G(t)=(V(t),X(t)和和G1(t)=(V1(t),X1(t)为系统有向图，且为系统有向图，且V1(t)是是V(t)的子集的子集,X1(t)是是X(t)的子集，的子集，则则G1(t)=(V1(t),X1(t)是是G(t)=(V(t),X(t)的子图。的子图。若在描述系统的有向图若在描述系统的有向图G(t)=(V(t),X(t)中，中，vi(t)vj(t)X(t),某一时间区间内，当某一时间区间内，当有有vi(t)0时，是时，是vj(t)0?？还是还是vj(t)0?？即当即
17、当vi(t)相对增加时，相对增加时，vj(t)相对增加相对增加(减少减少)?因果关系图是系统动力学描述系统的一种模型，它有效地解决了这一个问题。定义：在系统中，若定义：在系统中，若t时刻要素变量时刻要素变量vj(t)随随vi(t)而变化，则称而变化，则称vi(t)到到vj(t)存在因果链存在因果链vi(t)vj(t),tT。例如：年出生人口例如：年出生人口v2(t)人口人口v1(t)定义：设存在因果链定义：设存在因果链vi(t)vj(t),tT。若任若任tT，vi(t)任增量任增量vi(t)0,存在对应存在对应vj(t)0,则称在时间区间则称在时间区间T内，内，vi(t)到到vj(t)的因果的
18、因果链为正，记为链为正，记为vi(t)vj(t),tT。若任若任tT，vi(t)任增量任增量vi(t)0,存在对应存在对应vj(t)0,则称在时间区间则称在时间区间T内，内，vi(t)到到vj(t)的因的因果链为负，记为果链为负，记为vi(t)vj(t),tT。例如：年出生人口例如：年出生人口v2(t)人口人口v1(t)年死亡人口年死亡人口v3(t)人口人口v1(t)vi(t)vj(t),tT。则则vi(t),vj(t)同方向变同方向变化，对任化，对任tT,vi(t)与与vj(t)的函数关系为增函的函数关系为增函数数;vi(t)vj(t),tT。则则vi(t),vj(t)反方向变反方向变化，对
19、任化，对任tT,vi(t)与与vj(t)的函数关系为减函的函数关系为减函数数 反馈环（反馈回路）定义反馈环（反馈回路）定义定义：在一个系统中，定义：在一个系统中，n个不同要素变个不同要素变量的闭合因果链序列量的闭合因果链序列v1(t)v2(t)vn-1(t)vn(t)v1(t)称为此系统中的反馈环称为此系统中的反馈环(也称为闭环也称为闭环);非闭合因果链序列非闭合因果链序列v1(t)v2(t)vn-1(t)vn(t)称为开环。称为开环。例例1：设非自动调时手表中长表针运转：设非自动调时手表中长表针运转速度为速度为A，表给出的时间为表给出的时间为T，表的主人为表的主人为B，则在则在A、T、B构成
20、的系统中，构成的系统中，1、AT为开环系统。因为非自动调时为开环系统。因为非自动调时手表不能自动调整长针运转速度。手表不能自动调整长针运转速度。2、ATBA为反馈环。因为人可以为反馈环。因为人可以调整长针运转速度。调整长针运转速度。定义：设反馈环中任一变量定义：设反馈环中任一变量vi(t)，若在若在给定时间区间内任意时刻，给定时间区间内任意时刻，vi(t)量相对增量相对增加，由它开始经过一个反馈后导至加，由它开始经过一个反馈后导至vi(t)量量相对再增加相对再增加(减少减少)，则这个反馈环称为在，则这个反馈环称为在给定时间区间内为正反馈环给定时间区间内为正反馈环(负反馈环负反馈环)。定义：若系
21、统中要素变量定义：若系统中要素变量vi(t)在一确定在一确定的研究过程中，产生的研究过程中，产生K次相对增量，则第次相对增量，则第K次相对增量称为次相对增量称为(k)vi(t)相对增量。相对增量。定理定理1：反馈环的极性为反馈环内因果链极性：反馈环的极性为反馈环内因果链极性的乘积。的乘积。证明：略证明：略定义：设定义：设G(t)=(V(t),X(t)是一个有向图，是一个有向图，若存在映射若存在映射F(t):X(t)-,+，则则G(t)连同连同映 射映 射 F(t)称 为 因 果 关 系 图，记 为称 为 因 果 关 系 图，记 为D(t)=(V(t),X(t),F(t),且弧集且弧集X(t)又
22、称为因果又称为因果链集，有向图链集，有向图G(t)称为因果关系图称为因果关系图D(t)的基的基图，图，D(t)称为称为G(t)的因果关系图。的因果关系图。因果关系图中的要素必须满足以下两个条件：因果关系图中的要素必须满足以下两个条件：1、单位一定要明确。、单位一定要明确。在经济管理系统中，有时候，一些量的单位不明在经济管理系统中，有时候，一些量的单位不明确，我们建立因果关系时，就应该设计单位。确，我们建立因果关系时，就应该设计单位。如，一些心理学方面的变量可被看作是具有压力如，一些心理学方面的变量可被看作是具有压力或压强的单位量。有的变量要素可以为无量纲或压强的单位量。有的变量要素可以为无量纲
23、(如比如比例等例等)。2、因果关系图的要素变量、因果关系图的要素变量v(t)必须是名词或名词必须是名词或名词短语。并对短语。并对v(t)的的v(t)(v(t)0或或v(t)0)有明确的有明确的意义。意义。只有满足这两条，才能建立起映射只有满足这两条，才能建立起映射F(t)。即确定即确定各因果链的极性。各因果链的极性。根据实际意义，分析顶点间的关联关系，建立根据实际意义，分析顶点间的关联关系，建立因果关系。因果关系。因果关系图：刻划两个变量的关联关系，解因果关系图：刻划两个变量的关联关系，解决了当一个变量增加时，与它成因果关系的变量决了当一个变量增加时，与它成因果关系的变量是增加还是减少的问题。
24、是增加还是减少的问题。但如何建立两个变量的量的关系？但如何建立两个变量的量的关系？通过绘制流图和写动力学方程的方式来解决。通过绘制流图和写动力学方程的方式来解决。用流位和流率描述系统用流位和流率描述系统任何系统本质量只是两类：任何系统本质量只是两类：一类是积累变量对应积分一类是积累变量对应积分 一类是积累变量的对应速度变量对应微分一类是积累变量的对应速度变量对应微分实际系统中存在下述不同类型的变量。实际系统中存在下述不同类型的变量。1、流位变量、流位变量(Level Variable)-表示积累效应的表示积累效应的变量变量2、流率变量、流率变量(Rate Variable)-表示积累效应变表示
25、积累效应变化快慢的变化率变量化快慢的变化率变量3、辅助变量、辅助变量-从积累效用变量到变化率变量从积累效用变量到变化率变量及变化率之间的中间变量及变化率之间的中间变量4、常量、常量-某一时间区间内不随时间变化而变某一时间区间内不随时间变化而变化的量。化的量。5、其它派生变量，如增补变量。、其它派生变量，如增补变量。什么叫流位变量流位变量(Level Variable)？在系统中存在着具有积累效应的变量：现时值等于原有在系统中存在着具有积累效应的变量：现时值等于原有值加上改变量，且存在量的变化速度。称这种量为流值加上改变量，且存在量的变化速度。称这种量为流位变量。位变量。定义定义1：在系统研究中
26、，若变量：在系统研究中，若变量LEV(t)满足：满足：LEV(t)=LEV(t-t)+LEV(t-t)其中其中t0，LEV(t-t)为从为从(t-t)到到t时的时的LEV(t)的增量，则的增量，则LEV(t)变量称为流位变量称为流位变量变量（状态变量或积累变量或水平变量）（状态变量或积累变量或水平变量）流位变量用矩形表示流位变量用矩形表示：一个变量是不是流位变量，由设计模型一个变量是不是流位变量，由设计模型时的目的和实现的可能性而定。时的目的和实现的可能性而定。例如，农业资本比重在许多模型中不是例如，农业资本比重在许多模型中不是作为流位变量，而福雷斯特在世界模型作为流位变量，而福雷斯特在世界模
27、型中将其设计为流位变量，这是因为农业资中将其设计为流位变量，这是因为农业资本比重满足：本比重满足：农业资本现时比重农业资本现时比重=农业资本前时比重农业资本前时比重+t内比重内比重的增量，而且又可以获得数据计算出此比重变化的增量，而且又可以获得数据计算出此比重变化率。率。从需要角度考虑，这样设计能突出农业子图这一从需要角度考虑，这样设计能突出农业子图这一主要矛盾。主要矛盾。性质性质1：当系统的物流和信：当系统的物流和信息流停止流动时，流位变量保息流停止流动时，流位变量保持其前时刻的值。持其前时刻的值。这是因为变量是逐步累加的。这就好比水龙这是因为变量是逐步累加的。这就好比水龙头关了，水池中还存
28、着前时刻已积累的水。头关了，水池中还存着前时刻已积累的水。流位变量也可以是信息变量。例如，农业资流位变量也可以是信息变量。例如，农业资本比重就是信息变量。本比重就是信息变量。什么叫流率变量流率变量(Rate Variable)?定义定义2：若流位：若流位LEV(t)和函数和函数RAT(t)，满足：满足：LEV(t)=LEV(t-t)+tRAT(t-t)，t0，则则RAT(t)为流位为流位LEV(t)的合流的合流率变量，简称流率率变量，简称流率流率变量又常称为速率变量或决策变量。流率变量又常称为速率变量或决策变量。流率变量用阀符号表示：流率变量用阀符号表示：定 义定 义 3：若 流 位：若 流
29、位 L E V(t)和 函 数和 函 数R1(t),R2(t)满足：满足：LEV(t)=LEV(t-t)+t(R1(t-t)-R2(t-t),t0，在在t的变化范围内有的变化范围内有Ri(t)0(i=1,2)，则则R1(t)为流位为流位LEV(t)的流入率，的流入率，R2(t)为流位为流位LEV(t)的流出率。的流出率。Ri(t)(i=1,2)与与LEV(t)的关系流图符号的关系流图符号:p(t)=p(t-t)+t(BR(t-t)-DR(t-t).性质性质2：在系统中，物流和信：在系统中，物流和信息流停止时，流率的值为零。息流停止时，流率的值为零。定义定义2：LEV(t)=LEV(t-t)+t
30、RAT(t-t)是是系统动力学对复杂函数进行近似计算的关键。系统动力学对复杂函数进行近似计算的关键。思想：微积分中思想：微积分中“用微分近似计算函数增量用微分近似计算函数增量”设设f(x)f(x0)+x f(x0)定义中把定义中把“”改成改成“=”，即以，即以t-t点的速点的速度代替度代替t-t,t),因此以其为基础的计算机仿真计因此以其为基础的计算机仿真计算是近似计算，其近似计算的精度与算是近似计算，其近似计算的精度与t有关，有关，t越小，精度就越高。越小，精度就越高。注：本系统动力学中流率注：本系统动力学中流率RAT(t)(或流入率、或流入率、流出率流出率)其实际含义是其实际含义是t,t+
31、t)(t0)区间的流区间的流率。率。定义定义4：描述在一计算过程中不随时间变化的：描述在一计算过程中不随时间变化的量称为常量。量称为常量。定义定义5：从信源到流率变量之间的中间变量称：从信源到流率变量之间的中间变量称为辅助变量。符号表示：为辅助变量。符号表示：信源可以是流位变量，当然也可能是其它变信源可以是流位变量，当然也可能是其它变量，如下述的外生变量等。量，如下述的外生变量等。定义定义6：在因果关系中，不连接在反馈环中，：在因果关系中，不连接在反馈环中，且不影响任何反馈环中其它变量的变量称为增补且不影响任何反馈环中其它变量的变量称为增补变量。变量。内生变量：流位、流率、辅助、增补变内生变量
32、：流位、流率、辅助、增补变量及常量又统称为内生变量。量及常量又统称为内生变量。定义定义7：制约着内生变量，但又不受内：制约着内生变量，但又不受内生变量制约的变量称为外生变量。生变量制约的变量称为外生变量。符号表示：符号表示：时间时间TIME可视为特殊的外生变量。可视为特殊的外生变量。系统环境中的变量一定是外生变量，且系统环境中的变量一定是外生变量，且往往是往往是TIME的函数。的函数。流图符号：流图符号：系统动力学结构模型系统动力学结构模型流率基本入树建模法流率基本入树建模法优点：实现规模化建优点：实现规模化建模和反馈分析清晰化两个目的模和反馈分析清晰化两个目的有利于建模思想认识逐步深化，有利
33、于有利于建模思想认识逐步深化，有利于模型进一步开发，有利于模型调试，有利模型进一步开发，有利于模型调试，有利于模型结果分析于模型结果分析略略 L 流位变量方程流位变量方程 R 流率变量方程流率变量方程 C 常数方程常数方程 N 初始值方程初始值方程 A 辅助变量方程辅助变量方程 S 增补变量方程增补变量方程 E 外生变量方程外生变量方程L LEV(t)=LEV(t-t)+tR1(t-t)-R2(t-t)N LEV(t)|t=t。=LEV(t0)订货量GO(t)+订货速率OR(t)库存量I(t)+进货速率RR(t)调整进货所需时间DO要求的库存量DI调整时间AT-+-L I(t)=I(t-t)+
34、t RR(t-t)N I(0)=1000L GO(t)=GO(t-t)+t OR(t-t)-RR(t-t)N GO(0)=10000一般标准形式：一般标准形式：R RAT(t)=1 LEV(t),A(t),RAT1(t-t)其中其中RAT1(t-t)说明右边的流率变量说明右边的流率变量是是t-t时刻的值时刻的值CIcidcigcimPOLpolgpolcmPOLAPOLATNRNRURNRMMCIAFCIAFRCFIFRPDRBRBRMMBRCMBRPMBRFMDRMM DRCM DRPMDRFMCIDNBRNDRNNRUNCIAFTPOLNCIGNCIQR世界模型流率流入率乘积式一流入率乘积
35、式一流图结构流图结构标准形式标准形式R R(t)=N(t)M1(t)M2(t)Mn(t)LEV(T)R(t)M1(t)Mn(t)N(t)+R R(t)=N(t)M1M2(t)M3(t)其中其中N(t)是是t年社会发展投资总额年社会发展投资总额 M1 是正常年教育投资修正系数是正常年教育投资修正系数 M2(t)是是t年间教育投资修正系数年间教育投资修正系数 M3(t)是是t年间校正投资因子年间校正投资因子资本子系统CIcigcimCIGNR CIG(t)=P(t)CIGNCIM(t)其中其中CIGN是正常情况下人均投资是正常情况下人均投资P(t)CIGN是正常情况下年投资是正常情况下年投资CIM
36、(t)是投资因子是投资因子污染子系统POLpolgpolcmPOLN R POLG(t)=P(t)POLN POLCM(t)其中其中POLN是正常情况下人年均污染排是正常情况下人年均污染排放量放量P(t)POLN是正常情况下年均污染排是正常情况下年均污染排放量放量POLCM(t)是污染的资本因子是污染的资本因子流入率POLG(t)为年污染排放量(污染单位/年)POLG(t)=P(t)*POLN*POLCM(t)POLN=1(污染单位/人年)，正常情况下年污染排放量POLCM(t)t年间经济发展过程中环境污染的污染排放量影响因子。流图结构流图结构标准形式标准形式R R(t)=LEV(t)N(t)
37、M1(t)M2(t)Mn(t)或或 R(t)=LEV(t)M1(t)M2(t)Mn(t)LEV(t)R(t)M1(t)Mn(t)N(t)+PBRBRMMBRCMBRPMBRFMBRN人口系子统R BR(t)=P(t)BRNBRFM(t)BRMM(t)BRCM(t)BRPM(t)其中：其中：BRN=0.04(1/人人.年）（年）（1970年年出年年出生人口）生人口）BRFM(t),BRMM(t),BPCM(t),BRPM(t)分分别是出生率的食物因子，物质因子，拥别是出生率的食物因子，物质因子，拥挤因子和污染因子挤因子和污染因子LEV(t)R(t)M1(t)Mn(t)N(t)+LEV(T)R(t
38、)M1(t)Mn(t)N(t)+流图结构图流图结构图方程一般形式方程一般形式R RAT(t)=(MP(t)-LEV(t)/T(t)其中其中MP(t)称为指示函数或期望函数称为指示函数或期望函数 T(t)称为调整时间称为调整时间LEV(t)RAT(t)-MP(t)T(t)+-CIAFCIAFRCFIFRCIAFTCIQR农业 系子统实际背景实际背景:在其它信息确定在在其它信息确定在t时刻时时刻时,LEV(t)应应该是该是MP(t),但是但是LEV(t)未能达到未能达到,存在偏差存在偏差,由于条件所限由于条件所限,偏差不能立即消除偏差不能立即消除,单位时间单位时间只能增加或者减少偏差的只能增加或者
39、减少偏差的T(t)分之一分之一.农业资本比重流率变量方程农业资本比重流率变量方程R RAT(t)=(CFIFR(t)CIQR(t)-CIAF(t)CIAFT其中其中CFIFR(t)CIQR(t)是农业资本比重期望函数是农业资本比重期望函数 CFIFR(t)由食物指数由食物指数FR(t)决定决定 CIQR(t)由生活质量物质评价因子由生活质量物质评价因子QLM(t)和和食物评价因子食物评价因子QLF(t)的均衡因子的均衡因子QLM(t)/QLF(t)决定决定.实际背景实际背景:一个量的发展速度一个量的发展速度,往往取决于前一时往往取决于前一时期其他量的发展速度期其他量的发展速度标准形式标准形式:
40、R R(t)=M1(t)Ri(t-t)-M2(t)Rj(t-t)其中其中:t0工业生产用电量总需求量的流入率工业生产用电量总需求量的流入率EEV(t)R EEV(t)=GICV(t-t)UNEE(t)-GBCV(t-t)UCEE(t)其中：其中：GICV(t-t)为为t-t年工业新增生产能力增长速年工业新增生产能力增长速度度 UNEE(t)为为t年新增生产能力单位电耗年新增生产能力单位电耗 GBCV(t-t)为为t-t年生产能力淘汰速度年生产能力淘汰速度 UCEE(t)为为t年淘汰生产能力单位电耗年淘汰生产能力单位电耗 一般函数的表格形式一般函数的表格形式流率表函数式图（见下）流率表函数式图（
41、见下）LEV(t)R(t)+A+流出率乘积式一流出率乘积式一流图结构流图结构标准形式标准形式(与流入率乘积式一类似）与流入率乘积式一类似）R R(t)=N(t)M1(t)M2(t)Mn(t)LEV(t)M1(t)Mn(t)N(t)R(t)NR(t)NRUR(t)P(t)NRUNNRMM(t)自然资源子系统R NRUR(t)=P(t)NRUNNRMM(t)其中：其中：P(t)为为t人口人口NRUN：1970年人均消耗自然资源量年人均消耗自然资源量（自然资源量单位（自然资源量单位/人年）人年）NRMM(t)：修正因子（由物质生活水平：修正因子（由物质生活水平引起）引起）流图结构流图结构标准形式标准
42、形式(与流入率乘积式二类似）与流入率乘积式二类似）R R(t)=LEV(t)N(t)M1(t)M2(t)Mn(t)LEV(t)M1(t)Mn(t)N(t)R(t)PDRDRMM DRCM DRPMDRFMDRN模型世界(续）人口子系统R DR(t)=P(t)DRNDRFM(t)DRMM(t)DRCM(t)DRPM(t)其中其中:DRN=0.028(1/人人.年）（年）（1970年年死年年死亡人口）亡人口）;DRFM(t),DRMM(t),DRCM(t),DRPM(t)分别是死亡率的食物因子，物质因子，分别是死亡率的食物因子，物质因子，拥挤因子和污染因子拥挤因子和污染因子CIcidCIDN资本子
43、系统R CID(t)=CIDN(t)CI(t)其中其中CIDN=0.025为折旧率（为折旧率（1/年）年）CI(t)为资本为资本LEV(t)M1(t)Mn(t)N(t)R(t)LEV(t)M1(t)Mn(t)N(t)R(t)LEV(t)R(t)M1(t)Mn(t)N(t)+LEV(t)M1(t)Mn(t)N(t)R(t)LEV(t)M1(t)Mn(t)N(t)R(t)LEV(t)R(t)M1(t)Mn(t)N(t)+流图结构：流图结构：R R(t)=LEV(T)/T(t)LEV(t)R(t)T(t)实际意义实际意义在在t时刻时有流位时刻时有流位LEV(t)，消耗完全部，消耗完全部LEV(t)须
44、须T(t)时间，单位时间减少时间，单位时间减少LEV(t)的的T(t)分之一分之一.污染子系统流图污染子系统流图POL(t)POLG(t)POLA(t)P(t)POLCM(t)CIR(t)POLR(t)POLSPOLAT(t)GLP(t)POL1POLNPOLPOLAPOLAT污染子系统污染量污染量POL(t)流位的流出率流位的流出率POLA(t)的的数学方程数学方程R POLA(t)=POL(t)/POLAT(T)其中其中POLAT(T)为污染吸收时间为污染吸收时间实际含义：在实际含义：在t时刻时有污染量时刻时有污染量POL(t)，消除完全部污染量消除完全部污染量POL(t)须须POLAT(
45、t)时时间，单位时间消除间，单位时间消除POL(t)的的POLAT(t)分分之一之一.辅助变量方程辅助变量方程辅助变量的作用辅助变量的作用:简化流率方程的作用简化流率方程的作用辅助变量的形式辅助变量的形式:流率变量方程的形式流率变量方程的形式辅助变量的计算辅助变量的计算:在流位变量之后在流位变量之后,流率变量之前流率变量之前辅助变量方程的一般形式辅助变量方程的一般形式:A A1(t)=(LEV(t),A 2(t),RAT(t-t)其中其中LEV(t)表示方程右边含流位表示方程右边含流位,应为应为t时刻时刻A2(t)表示方程右边含另一辅助变量表示方程右边含另一辅助变量,应为应为t时刻时刻RAT(
46、t-t)表示方程右边含流率变量表示方程右边含流率变量,应应为为t-t时刻时刻指数辅助变量的含意指数辅助变量的含意:并非按指数增长的变量并非按指数增长的变量,而是为了化有而是为了化有单位变量为无单位变量单位变量为无单位变量,化大数值为相对更化大数值为相对更小的数值计算小的数值计算,是是而得到而得到.标准形式标准形式:A A1(t)=A2(t)/A2(t0)例如：例如：世界模型世界模型中指数辅助变量中指数辅助变量CR(t)-拥挤拥挤指数指数MSL(t)-物质生活水平物质生活水平指数指数NRFR(t)-自然资源剩余率自然资源剩余率指数指数FR(t)-食物食物指数指数POLR(t)-污染污染指数指数分
47、解辅助变量的实际意义分解辅助变量的实际意义:具有平均的意义具有平均的意义例例3：世界模型：世界模型(续）续）人均资本人均资本CIR(t)(资本单位资本单位/人人)A CIR(t)=CI(t)/P(t)其中其中:CI(t)为为t年资本年资本,P(t)为为t年人口数年人口数人均资本人均资本CIR(t)是资本子系统的输出变量是资本子系统的输出变量 人均农业资本人均农业资本CIRA(t)(资本单位资本单位/人人)A CIRA(t)=CIR(t)CIAF(t)/CIAFNCIR(t)为人均资本为人均资本CIAF(t)为为t年农业资本比重年农业资本比重CIAFN（=0.3）为标准年农业资本比重）为标准年农
48、业资本比重 人均有效资本人均有效资本ECIR(t)(资本单位资本单位/人人)A ECIR(t)=NREM(t)CIR(t)(1-CIAF(t)/(1-CIAFN)CIR(t)为人均资本为人均资本CIAF(t)为为t年农业资本比重年农业资本比重CIAFN（=0.3）为标准年（为标准年（1970年）农业年）农业资本比重资本比重NREM(t)为自然资本采掘因子为自然资本采掘因子 无法用一般初等函数的解析式子来表无法用一般初等函数的解析式子来表出出,而只能通过插值或者预测的办法给出方而只能通过插值或者预测的办法给出方程在某些点的取值程在某些点的取值.表函数辅助变量方程极表函数辅助变量方程极大的丰富了大
49、的丰富了SD建模的思想方法建模的思想方法.它大量存在它大量存在于于SD的建模过程之中。的建模过程之中。28个辅助变量：个辅助变量：5个指数辅助变量，个指数辅助变量，3个资本分解辅助变量，个资本分解辅助变量，20个表函数辅助变量个表函数辅助变量注意：注意：1）表函数的增减性）表函数的增减性2）表函数的最大最小值）表函数的最大最小值3）表函数的自变量的取值间隔）表函数的自变量的取值间隔4）表函数的特殊点）表函数的特殊点5）表函数的端点值）表函数的端点值6）表函数的非间隔点的取值）表函数的非间隔点的取值何为增补变量何为增补变量:在因果关系图中在因果关系图中,不连接在反馈环中不连接在反馈环中,且且不影
50、响任何反馈环中其他变量的变量不影响任何反馈环中其他变量的变量.增补变量方程形式增补变量方程形式:类似辅助变量方程类似辅助变量方程,可以是表函数形式可以是表函数形式,也可以是其他形式也可以是其他形式.增补变量方程的一般形式增补变量方程的一般形式:S A1(t)=(LEV(t),A2(t),RAT(t-t)其中：其中：LEV(t)表示方程右边含流位表示方程右边含流位,应为应为t时刻时刻A2(t)表示方程右边含另一辅助或增补变表示方程右边含另一辅助或增补变量量,应为应为t时刻时刻RAT(t-t)表示方程右边含流率变量表示方程右边含流率变量,应应为为t-t时刻时刻3个增补变量个增补变量:拥挤生活质量拥
