1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题 【考点自测】 1 (2016 全国 ) 若将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 12个单位长度，则平移后图像的对称轴为 ( ) A x k2 6(k Z) B x k2 6(k Z) C x k2 12(k Z) D x k2 12(k Z) 答案 B 解析 由题意将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 12个单位长度后得到函数的解析式为 y2sin? ?2x 6 ，由 2x 6 k 2 (k Z)得函数的对称轴为 x k2 6(k Z)，故选 B. 2 (2016 全国 ) 在 ABC 中， B 4
2、， BC 边上的高等于 13BC，则 cos A 等于 ( ) A.3 1010 B. 1010 C 1010 D 3 1010 答案 C 解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B 4 ，可知 BD 13BC， DC 23BC， tan BAD 1， tan CAD 2， tan A tan( BAD CAD) 1 21 12 3， 所以 cos A 1010 . 3在直角三角形 ABC中，点 D是斜边 AB的中点，点 P为线段 CD的中点，则 PA2 PB2PC2 等于 ( ) A 2 B 4 C 5 D 10 答案 D 解析 将 ABC 的各边均赋予向量， 则 PA2
3、 PB2PC2 PA 2 PB 2PC 2 ?PC CA ?2 ?PC CB ?2PC 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 2PC 2 2PC CA 2PC CB CA 2 CB 2PC 2 2|PC |2 2PC ?CA CB ? |AB |2|PC |2 2|PC |2 8|PC |2 |AB |2|PC |2 |AB |2|PC |2 6 42 6 10. 4 (2016 全国 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 cos A 45， cos C 513，a 1，则 b . 答案 2113 解析 在 ABC 中，由 cos A 45， cos C 513
4、，可得 sin A 35， sin C 1213， sin B sin(A C) sin Acos C cos Asin C 6365，由正弦定理得 b asin Bsin A 2113. 5.若函数 y Asin(x )? ?A0， 0， | |0) (1)求函数 f(x)的值域； (2)若函数 y f(x)的图像与直线 y 1 的两个相邻交点间的距离为 2 ，求函数 y f(x)的递增区间 解 (1)f(x) 32 sin x 12cos x 32 sin x 12cos x (cos x 1) 2? ?32 sin x 12cos x 1 2sin? ?x 6 1. 由 1sin ? ?
5、x 6 1 ， 得 32sin ? ?x 6 11 ， 所以函数 f(x)的值域为 3,1 (2)由题设条件及三角函数图像和性质可知， y f(x)的周期为 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 2 ，即 2. 所以 f(x) 2sin? ?2x 6 1， 再由 2k 2 2 x 6 2 k 2(k Z)， 解得 k 6 x k 3(k Z) 所以函数 y f(x)的递增区间为 ?k 6 ， k 3 (k Z) 2 (2016 北京 )在 ABC 中， a2 c2 b2 2ac. (1)求 B 的大小； (2)求 2cos A cos C 的最大值 解 (1)由 a2 c2 b2 2ac
6、，得 a2 c2 b2 2ac. 由余弦定理，得 cos B a2 c2 b22ac 2ac2ac 22 . 又 0 B ，所以 B 4. (2)A C B 4 34 ， 所以 C 34 A,0 A 34 . 所以 2cos A cos C 2cos A cos? ?34 A 2cos A cos34 cos A sin 34 sin A 2cos A 22 cos A 22 sin A 22 sin A 22 cos A sin? ?A 4 . 因为 0 A 34 ，所以 4 A 4 ， 故当 A 4 2 ，即 A 4 时， 2cos A cos C 取得最大值 1. 3 (2018 合肥质
7、检 )已知 a (sin x， 3cos x)， b (cos x， cos x)，函数 f(x) ab=【 ;精品教育资源文库 】 = 32 . (1)求函数 y f(x)图像的对称轴方程； (2)若方程 f(x) 13在 (0， ) 上的解为 x1， x2，求 cos(x1 x2)的值 解 (1)f(x) ab 32 (sin x， 3cos x)(cos x， cos x) 32 sin xcos x 3cos2x 32 12sin 2x 32 cos 2x sin? ?2x 3 . 令 2x 3 k 2(k Z)，得 x 512 k2 (k Z) 即函数 y f(x)图像的对称轴方程为
8、 x 512 k2 (k Z) (2)由条件知 sin? ?2x13 sin?2x23 130， 且 0x1512x223 ， (x1， f(x1)与 (x2， f(x2)关于直线 x 512 对称，则 x1 x2 56 ， cos( x1 x2) cos? ?x1 ? ?56 x1 cos? ?2x156 cos?2x13 2 sin? ?2x13 13. 4 (2017 东北三省四市二模 )已知点 P( 3， 1)， Q(cos x， sin x)， O 为坐标原点，函数f(x) OP QP . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 A 为 ABC 的内角， f(A) 4， BC
9、 3，求 ABC 周长的最大值 解 (1)由已知，得 OP ( 3， 1)， QP ( 3 cos x,1 sin x)， 所以 f(x) OP QP 3 3cos x 1 sin x =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 2sin? ?x 3 ， 所以函数 f(x)的最小正周期为 2. (2)因为 f(A) 4，所以 sin? ?A 3 0， 又 0A ，所以 3A 343 ， A 23 . 因为 BC 3， 所以由正弦定理，得 AC 2 3sin B， AB 2 3sin C， 所以 ABC 的周长为 3 2 3sin B 2 3sin C 3 2 3sin B 2 3sin? ? 3 B
10、 3 2 3sin? ?B 3 . 因为 0B 3 ， 所以 3B 323 ， 所以当 B 3 2 ，即 B 6 时， ABC 的周长取得最大值，最大值为 3 2 3. 5.已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，且 acos C 3asin C b c 0. (1)求 A； (2)若 AD 为 BC 边上的中线， cos B 17， AD 1292 ，求 ABC 的面积 解 (1)acos C 3asin C b c 0， 由正弦定理得 sin Acos C 3sin Asin C sin B sin C， 即 sin Acos C 3sin Asin C sin(A C) sin C， 亦即 sin Acos C 3sin Asin C sin Acos C cos Asin C sin C，
