1、 2020 年全国高考冲刺猜想卷 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1复数 2 1i （i为虚数单位）的共轭复数是（ ） Ai1 B1i C
2、1 i Di1 2已知集合|110 ,PxNx 2 |60 ,QxR xx 则PQ等于（ ） A1,2,3 B2,3 C1,2 D 2 3设:0p ba， 11 :q ab ，则p是q成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） A4 B8 C16 D32 5设数列 n a前n项和为 n S，已知3 nn San，则 3 a（ ） A 9 8 B 15 8 C19 8 D 27 8 6圆 22 40xy与圆 22 44120xyxy的公共弦长为( ) A 2 B3 C2 2 D3 2 7已知 为第二象限角，
3、 2 sin 410 ，则tan 2 的值为（ ） A 1 2 B 1 3 C2 D3 8已知 1 e， 2 e是夹角为60的两个单位向量，若 21 eea， 21 24eeb，则a与b的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 9已知函数 22 2cossin2f xxx，则（ ） A f x的最小正周期为，最大值为3 B f x的最小正周期为，最大值为4 C f x的最小正周期为2，最大值为3 D f x的最小正周期为2，最大值为4 10如图所示的正方形 123 SGG G中，EF，分别是 12 GG， 23 G G的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方 形折成一个四面体，使 1
4、G， 2 G， 3 G重合为点G，则有（ ） A SG平面 EFG BEG平面SEF C GF 平面 SEF DSG 平面SEF 11 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2c ，ABC的面积为 22 4 4 ab ， 则ABC 面积的最大值为（ ） A2 3 B31 C2 2 D 21 12若存在唯一的正整数 0 x，使关于x的不等式 32 350xxaxa 成立，则实数a的取值范围是 ( ) A 1 (0, ) 3 B 1 5 ( , 3 4 C 1 3 ( , 3 2 D 5 3 (, 4 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线lnyxx
5、在xe处的切线的斜率k 14 若函数 sin ( ) cos ax f x x 在区间 (,) 6 3 上单调递增，则实数a的取值范围是 15 已知0,0,0abc， 若点,P a b在直线2xyc上， 则 4ab abc 的最小值为_. 16如图，公路MN和PQ在P处交汇，且QPN30，在A处有一所中学，AP160m，假设拖拉 机行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受影响， 已知拖拉机的速度为 18 km/h，那么学校受影响的时间为_s. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(12 分）设
6、 n a是等比数列 ，其前n项的和为 n S ，且 2 2a , 21 30Sa. （1）求 n a的通项公式； （2）若48 nn Sa，求n的最小值. 18(12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，已知 11 ABBBC C侧面，1ABBC， 1 2BB ， 1 3 BCC . （1）求证： 1 C BABC 平面； （2）求点 1 B到平面 11 ACC A的距离. 19（12 分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广 州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对 广东省内的 6
7、 个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下： 车站 怀集站 广宁站 肇庆东站 三水南站 佛山西站 广州南站 满意度得分 70 76 72 70 72 x 已知 6 个站的平均得分为 75 分. （1）求广州南站的满意度得分 x，及这 6 个站满意度得分的标准差； （2）从广东省内前 5 个站中，随机地选 2 个站，求恰有 1 个站得分在区间（68，75）中的概率 20(12 分）已知抛物线 2 2yx，过点 (1,1)P 分别作斜率为 1 k， 2 k的抛物线的动弦AB、CD，设M、N 分别为线段AB、CD的中点 （1）若P为线段AB的中点，求直线AB的方程； （2）若 12 1kk，求证直
8、线MN恒过定点，并求出定点坐标 21(12 分）已知 2 1 x f xaxex. （1）当1a 时，讨论函数 f x的零点个数，并说明理由； （2）若0x是 f x的极值点，证明 2 ln11f xaxxx. (二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22【极坐标与参数方程】（10 分） 设A为椭圆 1 C： 22 1 424 xy 上任意一点， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C 的极坐标方程为 2 10 cos240，B为 2 C上任意一点. （1）写出 1 C参数方程和 2 C普通方程； （2）求A
9、B最大值和最小值. 23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知函数( )2f xxa，( )4g xx，aR. （1）解不等式( )( )f xg xa； （2）任意xR， 2 ( )( )f xg xa恒成立，求a的取值范围. 答案+全解全析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1复数 2 1i （i为虚数单位）的共轭复数是（ ） Ai1 B1i C1 i Di1 【答案】C 【解析】因为 2 1 i i 1 ,所以其共轭复数是1 i，故选 C. 2已知集合|110 ,PxNx 2 |60 ,QxR xx
10、则PQ等于（ ） A1,2,3 B2,3 C1,2 D 2 【答案】D 【解析】 2 |603,2QxR xx 2PQ .故选 D. 3设:0p ba， 11 :q ab ，则p是q成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若0ba，则 11 ab 成立，所以p是q的充分条件,若 11 ab ，则当00ba，时成立，不满 足0ba，所以p不是q的必要条件,所以p是q的充分不必要条件,故选 A. 4如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） A4 B8 C16 D32 【答案】C 【解析】执行如图程序框图：当 n=1，b=1，当
11、n=2，b=2，当 n=3，b=4，当 n=4，b=16，当 n=5 则输出 b, 故选 C. 5设数列 n a前n项和为 n S，已知3 nn San，则 3 a（ ） A 9 8 B 15 8 C19 8 D 27 8 【答案】C 【解析】当2n时， 11 33(1) nnnnn aSSanan ， 整理得 1 231 nn aa ，又 111 31Saa，得 1 1 a 2 ， 21 3 2311 2 aa ，得 2 5 4 a ， 32 15 2311 4 aa ，得 3 19 8 a ，故选 C. 6圆 22 40xy与圆 22 44120xyxy的公共弦长为( ) A 2 B3 C
12、2 2 D3 2 【答案】C 【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为：- +20x y，圆 22 40xy的圆心到公 共弦的距离为 0-0+2 = 2 2 d，所以公共弦长为 2 2 =2 2 -2=2 2l .故选 C. 7已知 为第二象限角， 2 sin 410 ，则tan 2 的值为（ ） A 1 2 B 1 3 C2 D3 【答案】C 【解析】由题意可得： 22 sinsincoscossinsincos 444210 ， 则： 1 sincos 5 ，据此有： 222 222 2sincoscossin2tantan1 11 222222 , 55 sincostan
13、1 222 ， 解得：tan2 2 或 1 tan 23 ， 为第二象限角，则tan0 2 ，综上可得：tan 2 的值为 2.故选 C. 8已知 1 e， 2 e是夹角为60的两个单位向量，若 21 eea， 21 24eeb，则a与b的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 【答案】C 【解析】试题分析：因为 21 eea， 21 24eeb，所以 22 12121122 () ( 42)422a beeeeee ee ，而 0 1212 1 cos60 2 e ee e，所以 22 1122 4224 123a bee ee ，而 22 121122 21 1 13aeeee
14、ee ， 22 121122 421616416842 3beeee ee ，所以与b的夹角的余弦值为 31 cos 232 3 a b a b ，所以a与b的夹角为120，故选 C 9已知函数 22 2cossin2f xxx，则（ ） A f x的最小正周期为，最大值为3 B f x的最小正周期为，最大值为4 C f x的最小正周期为2，最大值为3 D f x的最小正周期为2，最大值为4 【答案】B 【解析】根据题意有 1 cos235 cos212cos2 222 x f xxx ，所以函数 f x的最小正周期为 2 2 T ，且最大值为 max 35 4 22 f x，故选 B. 10
15、如图所示的正方形 123 SGG G中，EF，分别是 12 GG， 23 G G的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方 形折成一个四面体，使 1 G， 2 G， 3 G重合为点G，则有（ ） A SG平面 EFG BEG平面SEF C GF 平面 SEF DSG 平面SEF 【答案】A 【解析】由题意：SGFG，SGEG，FGEGG，FGEG，平面EFG, 所以SG 平面EFG正确，D不正确；又若EG平面SEF，则EGEF，由平面图形可知显然不成立； 同理 GF 平面 SEF不正确；故选 A. 11 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2c ，ABC的面积为 22 4 4 ab
16、 ， 则ABC 面积的最大值为（ ） A2 3 B31 C2 2 D 21 【答案】D 【解析】2c ， 22222 4 44 ABC ababc S 2cos1 sin 42 abC abC. tan1 4 CC =?，由余弦定理得 22222 42cos2cababCabab22abab ， 4 42 2 22 ab ， 112 sin42 2 222 ABC SabC 2 1.故选 D. 12若存在唯一的正整数 0 x，使关于x的不等式 32 350xxaxa 成立，则实数a的取值范围是 ( ) A 1 (0, ) 3 B 1 5 ( , 3 4 C 1 3 ( , 3 2 D 5 3
17、(, 4 2 【答案】B 【解析】设 32 ( )35f xxxaxa ，则存在唯一的正整数 0 x，使得 0 ()0f x， 设 32 ( )35g xxx，( ) (1)h xa x ，因为 2 ( )36g xxx， 所以当 (,0)x 以及(2, )时，( )g x为增函数，当(0,2)x 时，( )g x为减函数， 在0x处，( )g x取得极大值5，在2x处，( )g x取得极大值1.而( )h x恒过定点( 1,0) ， 两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数 0 x，使得 0 ()0f x，只要满足 (1)(1) (2)(2) (3)(3) gh gh gh ，即 1 35
18、2 8 1253 272754 a a a ，解得 15 34 a ，故选 B. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线lnyxx在xe处的切线的斜率k 【答案】2 【解析】因为lnyxx，所以 ln1yx，所以它在xe处的切线的斜率ln12ke . 14 若函数 sin ( ) cos ax f x x 在区间 (,) 6 3 上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】2,) 【解析】因为函数 sin ( ) cos ax f x x 在区间 (,) 6 3 上单调递增， 所以( )0fx在区间 (,) 6 3 恒成立， 22 cossin(sin ) ( si
19、n )sin1 ( ) coscos xxaxxax fx xx 因为 2 cos0x ，所以sin10ax 在区间 (,) 6 3 恒成立，所以 1 sin a x ， 因为(,) 6 3 x ，所以 132 31 sin2 223sin x x ， 所以a的取值范围是2,) . 15 已知0,0,0abc， 若点 ,P a b在直线2xyc 上， 则 4ab abc 的最小值为_. 【答案】2 2 2 【解析】,P a b在2xyc上，2abc ，20abc ， 442 2 abc abccc 42 1 2cc ，设 2cm cn ，则2mn， 424242 22 mn ccmnmn 22
20、 33232 2 nmmm mnmn ， 当 22 2mn，即2 22c 时，“=”成立， 42 132 2122 2 2cc ， 即 4ab abc 的最小值为2 2 2 ，故答案为2 2 2 . 16如图，公路MN和PQ在P处交汇，且QPN30，在A处有一所中学，AP160m，假设拖拉 机行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受影响， 已知拖拉机的速度为 18 km/h，那么学校受影响的时间为_s. 【答案】24 【解析】学校受到噪音影响。理由如下：作 AHMN 于 H，如图， PA=160m,QPN=30 ，AH= 1 2 PA=80m
21、， 而 80m100m，拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受到噪音影响， 以点 A 为圆心，100m 为半径作 A 交 MN 于 B. C，如图，AHBC， BH=CH，在 RtABH 中，AB=100m，AH=80m， 22 60BHABAHm ，BC=2BH=120m， 拖拉机的速度=18km/h=5m/s，拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间=1205=24(秒)， 学校受影响的时间为 24 秒。 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(12 分）设 n a是等比数列 ，其前n项的和为 n S ，且 2 2a , 21 30
22、Sa. （1）求 n a的通项公式； （2）若48 nn Sa，求n的最小值. 【解析】（1）设 n a的公比为 q，因为 21 30Sa，所以 21 20aa，所以 2 1 2 a q a ， 又 2 2a ，所以 1 1a ，所以 11 1 2 nn n aa q . （2）因为 1 1 21 1 n n n aq S q ，所以 11 2123 21 nnn nn Sa ，由 1 3 2148 n ，得 1 3 249 n ，即 1 49 2 3 n ，解得6n，所以 n 的最小值为 6. 18(12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，已知 11 ABBBC C侧面，1ABBC
23、， 1 2BB ， 1 3 BCC . （1）求证： 1 C BABC 平面； （2）求点 1 B到平面 11 ACC A的距离. 【解析】（1）因为侧面AB 11 BBC C, 1 BC 侧面 11 BBC C，故 1 ABBC, 在 1 BCC中, 111 1,2, 3 BCCCBBBCC ， 由余弦定理得： ， 所以 1 3BC =故 222 11 BCBCCC,所以 1 BCBC, 而 1 ,BCABBBCABC 平面 . （2）点 1 B转化为点B， 1 3 6 CABC V ， 1 7 2 ACC S, 又 111 CABCBACC VV ,所以点 1 B到平面 11 ACC A的
24、 距离为 21 7 . 19(12 分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州 南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对广 东省内的 6 个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下： 车站 怀集站 广宁站 肇庆东站 三水南站 佛山西站 广州南站 满意度得分 70 76 72 70 72 x 已知 6 个站的平均得分为 75 分. （1）求广州南站的满意度得分 x，及这 6 个站满意度得分的标准差； （2）从广东省内前 5 个站中，随机地选 2 个站，求恰有 1 个站得分在区间（68，75）中的
25、概率 【解析】（1）由题意，得 1 (7076727072)75 6 x，解得90x. 222222222 126 11 ()()() (5135315 )7 66 sxxxxxx. （2）前 5 个站中随机选出的 2 个站，基本事件有 （怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集 站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站， 佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共 10 种， 这 5 个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站. 设 A 表示随机事件“从前 5 个站中，随机地选 2
26、个站，恰有 1 个站得分在区间（68，75）中”，则 A 中的 基本事件有 4 种，则 42 ( ) 105 P A . 20(12 分）已知抛物线 2 2yx，过点 (1,1)P 分别作斜率为 1 k， 2 k的抛物线的动弦AB、CD，设M、N 分别为线段AB、CD的中点 （1）若P为线段AB的中点，求直线AB的方程； （2）若 12 1kk，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标 【解析】（1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 2 11 2yx， 2 22 2yx ，得 121212 2yyyyxx 又因为1,1P是线段AB的中点，所以 12 2yy 所以， 21 1 212
27、1 2 =1 yy k xxyy 又直线AB过1,1P，所以直线AB的方程为y x . （2）依题设, MM M xy，直线AB的方程为 1 11ykx ，即 11 1yk xk ， 亦即 12 yk xk，代入抛物线方程并化简得 222 11 22 220k xk kxk 所以， 1212 12 22 11 2222k kk k xx kk ,于是， 12 2 1 1 M k k x k ， 12 1212 2 1 1 1 1 MM k k ykxkkk k k 同理， 12 2 2 1 N k k x k ， 2 1 N y k 易知 12 0k k ，所以直线MN的斜率 2 1 2 1
28、1 MN MN yyk k k xxk k 故直线MN的方程为 2 11 2 2 12 11 11 1 k kk k yx kk kk ，即 2 1 2 1 1 1 k k yx k k 此时直线过定点0,1 故直线MN恒过定点0,1 21(12 分）已知 2 1 x f xaxex. （1）当1a 时，讨论函数 f x的零点个数，并说明理由； （2）若0x是 f x的极值点，证明 2 ln11f xaxxx. 【解析】（1）当1a 时， 2 1 x f xxex， 2 3 240f e ， 010f ， 110f ， 200 x fxx ex ， 00fxx ， f x在,0上递减，在0,上
29、递增， f x恒有两个零点. （2） 12 x fxeaxax，0x是 f x的极值点， 0101faa ； 2 1 x f xxex,故要证：1ln11 x xexx ，令1xt ，即证 1 ln2 t tett ， 设 ln20 x h xex exxx ，即证 0h x ， 11 111 xx h xe exe xe xex ，令 1 x u xe ex ， 2 1 0 x uxe ex ， u x在0,上递增，又 1 10ue e ， 2 2 0 e u eee , 故 0u x 有唯一的根 0 0,1x ， 0 0 1 x e ex ， 当 0 0xx时， 00u xh x，当 0
30、xx时， 00u xh x， 00 1 000000 0 1 ln2ln2 xx h xh xexexxexex ex 00 1120xx . 综上得证. (二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22【极坐标与参数方程】（10 分） 设A为椭圆 1 C： 22 1 424 xy 上任意一点， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C 的极坐标方程为 2 10 cos240，B为 2 C上任意一点. （1）写出 1 C参数方程和 2 C普通方程； （2）求AB最大值和最小值. 【解析】（1）由题意可得 1 C的参
31、数方程为： 2cos, 2 6sin, x y （为参数）， 又 2 10 cos240， 且 222 xy， cosx ， 2 C的普通方程为 22 10240xyx， 即 2 2 51xy. （2）由（1）得，设2cos ,2 6sinA，圆 2 C的圆心5,0M， 则 2 2 |2cos52 6sinAM 2 20cos20cos49 2 1 20 cos54 2 ， cos1,1 ，当 1 cos 2 时， max |3 6AM； 当cos1时， min |3AM.当 1 cos 2 时， maxmax |13 6 1ABAM ； 当cos1时， minmin |12ABAM . 23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知函数( )2f xxa，( )4g xx，aR. （1）解不等式( )( )f xg xa； （2）任意xR， 2 ( )( )f xg xa恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）不等式 f xg xa即24xx，两边平方得 22 44816xxxx，解得 1x，所以原不等式的解集为1, . （2）不等式 2 f xg xa可化为 2 24aaxx， 又 24246xxxx，所以 2 6aa，解得23a ， 所以a的取值范围为2,3.
