1、第 一 章第 一 章 集 合 与 简 易 逻 辑集 合 与 简 易 逻 辑 考 点 搜 索 与命题有关的几个概念 四种命题及其之间的关系 反证法的步骤及应用 利用简易逻辑知识解决数学 综合题 1.4 1.4 逻辑联结词与四种命题逻辑联结词与四种命题 高 考 猜 想 逻辑部分的内容是新教材 新增内容，基本的逻辑知识是人 们认识和研究问题不可缺少的工 具，因此这是高考命题的热点， 常以选择题的形式出现.高考中 主要考查命题与命题间的逻辑关 系以及判断是非的能力和推理能 力，尤其要重视“等价转化”思 想和“反证法”的应用. 1.图片对齐 在我们插入PPT图片或是输入文字的时候，为了整齐都需要将插入的
2、文本框对齐 ，但是又不想一个一个的进行操作，这时按住Ctrl键将需要进行对齐的文本选中 ，点击开始排列对齐垂直居中即可； 2.巧用格式刷 在制作PPT的时候为了保证PPT风格的统一，很多任通常会使用复制粘贴来确保 每一页PPT格式相同，这样对于少页数来说可以进行操作，但是碎玉多页面的话 就有点麻烦了，其实我们可以巧用格式刷：首先，在开始菜单栏下方有一个格式 刷，点击格式刷，很快就能看到效果； 3.去除所有动画效果 很多人在制作PPT的时候都是直接在模板库里下载模板进行使用的，但是下载的 模板大多数都是有幻灯片的，这样在演讲的时候很不方便，怎样将其进行去除呢 ？单击幻灯片放映选择设置幻灯片放映，
3、放映类型选择演讲者放映；换片方式 选择手动即可； 4.PPT快键 PPT逼格提升技巧逼格提升技巧 一、逻辑联结词与命题 1. 逻辑联结词为_、 _、_. 2. 复合命题的定义是 _ _. 二、命题真值表 1. 非p型：若p真，则非p为 _;若p 假，则非p为_. 2. p且且q型型:若若p、q真真,则则p且且q为为_; 若若p、q一真一假，则一真一假，则p且且q为为_;若若p、q 假，则假，则p且且q为为_. “或”或” “且”且” “非”非” 含有逻辑联结词含有逻辑联结词 的命题叫做复合命题的命题叫做复合命题 假假 真真 真真 假假 假假 3. p或q型：若p、q真，则p或 q为_;若p、q
4、一真一假，则p或q 为11_;若p、q假，则p或q为12_. 三、四种命题及其相互关系 1. 四种命题:原命题为“若p则 q”,则它的逆命题为13_;它的否 命题为14_; 它的逆否命题为15_. 2. 相互关系：原命题与它的 16_ 等 价 ; 逆 命 题 与 它 的 17_等价. 真真 真真 若若p则则q 假假 若非若非p则非则非q 若非若非q则非则非p 逆否命题逆否命题 否命题否命题 四、几个重要结论 “至少有一个”的否定形式 为18_;“至多有一个”的 否定形式为19_;“都是” 的否定形式为20_;“某个”的 否定形式为21_;“所有的” 否定形式为22_;“任意两个”的否 定形式为
5、23_;“任意”的否定 形式为24_；“至多有n个”的 否定形式为25_;“p且q” 的否定形式为26_;“p或q”的 否定形式为27_; 一个也没有一个也没有 至少有两个至少有两个 不都是不都是 任意一个任意一个 某些某些 某两个某两个 某个某个 至少有至少有n+1个个 非非p或非或非q 非非p且非且非q “对所有的x成立”的否定形 式为28_；“对任 何 的 x 不 成 立 ” 的 否 定 形 式 为 29_. 五、反证法 反证法常用于证明唯一性、 以否定形式出现、正面考虑较难的 题型.在推证矛盾时，一般有三种表 现形式：一是与30_产生 矛盾；二是与自身产生矛盾；三是 与已知真命题产生矛
6、盾. 存在某个存在某个x不成立不成立 存在某个存在某个x成立成立 已知条件已知条件 盘点指南：“或”； “且”；“非”；含有逻 辑联结词的命题叫做复合命题； 假；真；真；假；假； 真；11真；12假；13若q则p; 14 若非p则非q; 15若非q则非p; 16逆 否命题；17否命题；18一个也没 有；19至少有两个；20不都是；21 任意一个；22某些；23某两个；24 某个；25至少有n+1个；26非p或 非q; 27非p且非q; 28存在某个x不 成立; 29存在某个x成立；30已知 条件 1.在一次模拟打飞机的游戏中, 小王连续射击两次.设命题p：“第一 次击中飞机”,命题q：“第二次
7、击中 飞机”.试用p,q以及逻辑联结词表示 下列命题: (1)命题S:两次都击中飞机; (2)命题R:两次都没有击中飞机; (3)命题T:恰有一次击中飞机; (4)命题U:至少有一次击中飞 机. 解：(1)p且q；(2) 且 ； (3)p且 ，或 且q;(4)p且q， 或p或q. pq qp 2.命题“存在x0R， 0”的否定 是( ) A. 不存在x0R, 0 B. 存在x0R, 0 C. 对任意的xR,2x0 D. 对任意的xR,2x0 解：由题知命题的否定即“对 任意的 xR,2x0”，故选D. 0 2 x 0 2 x 0 2 x D 3.有下列四个命题: “若xy=1,则x,y互为倒数
8、”的逆命 题; “面积相等的三角形全等”的否 命题; “若m1,则x2-2x+m=0有实根”的 逆否命题; “若AB=B,则AB”的逆命题. 其中真命题是( ) A. B. C. D. 解：“若xy=1，则x,y互为 倒数”的逆命题“若x,y互为倒数， 则xy=1”正确； “面积相等的三角形全等” 的否命题“面积不相等的三角形不 全等”正确； 因为m1=4-4m0 x2- 2x+m=0有实根， 即原命题正确，所以其逆否命 题正确； “若AB=B，则AB”的逆 命题“若AB，则AB=B”错误， 因为ABAB=A.所以选C. 1. (原创)写出以下命题的逆命题、 否命题、 逆否命题，并判断其真假.
9、 (1)若 则 ； (2)若两条直线没有公共点，则这 两直线平行. 解：(1)逆命题：若 , 则 ；(假命题)否命题：若 ， 则 ；(假命题) 逆否命题：若 ， 则 .(真命题) 题型题型1 四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系 3 2 1 cos 2 1 cos 3 3 2 1 cos 2 1 cos 3 (2)逆命题：若两直线平行， 则这两条直线没有公共点；(真命 题) 否命题：若两条直线有公共 点，则这两直线不平行；(真命题) 逆否命题：若两直线不平行， 则这两条直线有公共点.(假命题) 点评：对某一个命题的条 件与结论作相应变换：“互换” 或“否定”，得到相应的命题.判 断一个命题
10、是真命题一般需要证 明，而判断一个命题是假命题还 可通过举反例的方法，另外还可 以根据命题与它的逆否命题的等 价性来判断其真假. 2. 已知mR，设命题p：函 数f(x)=x2-ax-2与x轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点，且不等式|x1- x2|m2-5m-3|对任意实数a-1,1 恒成立；命题q： xR|3x2+2mx+m+ 0的子集只 有一个.求使“p且q”为假，“p或q” 为真的实数m的取值范围. 题型题型2 复合命题的真假判断的应用复合命题的真假判断的应用 3 4 解：函数f(x)=x2-ax-2与x轴交 于 A(x1,0),B(x2,0)两点， 所以x1、x2是方程x2-
11、ax-2=0 的两个根， 则x1+x2=a,x1x2=-2. 所以|x1-x2|= 当a-1,1时，a2+8的最 大值是9， 即|x1-x2|3. 由题意，不等式|x1-x2|m2- 5m-3|对任 意实数a-1,1恒成立 .axx-)x(x84 2 21 2 21 |m2-5m-3|3m-1或0m5或 m6， 所以命题p：m|m-1或0m5或 m6； xR|3x2+2mx+m+ 0的子集 只有一个 xR|3x2+2mx+m+ 0为空 集 3x2+2mx+m+ 0无解 3x2+2mx+m+ 0恒成立 =4m2-12(m+ )0 -1m4, 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 所以命题q：m
12、|-1m4， 又“p且q”为假，“p或q”为 p、q必一真一假. 画数轴图可得实数m的范围 是 m|m-1 或 -1m0 或 4m5 或 m6. 点评：要判断复合命题的真 假，应先判断各简单命题的真假， 而判断各简单命题的真假，需综合 运用各知识. 给出下列两个命 题，p:负数的平方是正数；q:方程x2- x+1=0有实根，则下列哪个复合命题 是真命题( ) A. p或q B. p且q C. p或q D. p且q 解：因为p是真命题，q为假 命题，所以p或q为真命题，故选C. 拓展变式拓展变式 3. 已知函数f(x)是(-，+)上 的增函数，a，bR，对命题“若 a+b0，则f(a)+f(b)
13、f(-a)+f(-b)”. (1)写出逆命题，判断其真假， 并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，并证明 你的结论. 解：(1)逆命题：已知函数f(x) 是 (- ， +) 上 的 增 函 数 ， a ， bR.“ 若 f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) ， 则 a+b0”. 题型题型3 反证法的运用反证法的运用 证明：假设a+b0，则a-b， b-a， 因为f(x)是(-，+)上的增函 数， 则f(a)f(-b)，f(b)f(-a)， 所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，与 条件矛 盾，所以命题为真. (2)逆否命题：若f(a)+f(b)f(- a)+f(-b)， 则a+b
14、0. 下面用反证法给出证明： 假设a+b0，则a-b且b-a; 又又f(x)为增函数，所以为增函数，所以f(a)f(-b)，f(b)f(-a); 两式相加，得两式相加，得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)， 这与题设条件这与题设条件f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾，故矛盾，故 假设不成立假设不成立. 所以所以a+b0. 点评：反证法证题，其根 据是原命题与它的逆否命题等价. 其一般步骤是：反设：作出与 求证结论相反的假设；归谬： 将反设作为条件，并由此通过一 系列的正确推理导出矛盾；结 论：说明反设不成立，从而肯定 原命题成立.值得注意的是：反证 法证题时，一定要用到“反设”
15、 进行推理，否则就不是反证法. 已知下列三个方 程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a- 1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个 方程有实根，则实数a的取值范围 是_. 解:若三个方程均无实根,则 解得- a-1.故三个方程至少 有一个方程有实根的实数a的取值 范围为a|a-1，或a- ， 故填(-，- -1，+). 拓展变式拓展变式 , aa a-)(a- a)-(-a 084 041 043416 2 22 2 2 3 2 3 2 3 已知c0，设p:函数y=cx在R 上单调递减，q:不等式x+|x-2c|1的 解集为R.如果p和q有且仅有一个正 确，求c的取值范围. 解：
16、函数y=cx在R上单调递减 0c1. 不等式x+|x-2c|1的解集为R函 数y=x+|x-2c|在R上恒大于1. 因为x+|x-2c|= 参 考 题参 考 题 题型题型 命题中的逻辑推理命题中的逻辑推理 , c)c(x c)c(xx- 22 222 所以函数y=x+|x-2c|在R上的最 小值为2c. 所以不等式x+|x-2c|1的解集 为R2c 1c . 若p真q假，则c的取值范围是 (0，1)(-， =(0， . 若p假q真，则c的取值范围是 (-,01,+)( ,+)= 1,+). 因此c的取值范围是(0， 1，+). 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1. 复合命题的真假应由构 成复合命题的简单命题的真假， 结合复合命题真值表加以判断. 2. 当原命题的真假不易判 断时，可考虑判断其逆否命题的 真假；当否命题的真假不易判断 时，可考虑判断逆命题的真假. 3. 在证明问题中，若结论 中含有“至少”“至多”“唯 一”“没有”“无”“不”等词， 可考虑用反证法. 4. 反证法中矛盾的构设可 以多种多样，如与已知条件矛盾， 与假设矛盾，与某些定义、定理、 性质或是显而易见的结论矛盾，证 明过程中自相矛盾等.
