1、1.2 直角三角形的性质和判定() 第2课时 1.1.掌握勾股定理的逆定理掌握勾股定理的逆定理, ,会用勾股定理的逆定理判断直角三会用勾股定理的逆定理判断直角三 角形角形. . 2.2.会运用勾股定理的逆定理解决实际问题会运用勾股定理的逆定理解决实际问题.(.(重点、难点重点、难点) ) 一、勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理 如图如图, ,在在ABCABC和和RtRtA A B B C C 中中,AB=A,AB=A B B ,AC=A,AC=A C C ,AB,AB2 2+AC+AC2 2 =BC=BC2 2,A,A =90=90, , 【思考思考】 1.BC1.BC与与B B C C 相
2、等吗相等吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :BC=BC.BC=BC.理由如下理由如下: : 在在RtRtABCABC中中, ,由勾股定理得由勾股定理得ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2, , AB=AB,AC=AC,ABAB=AB,AC=AC,AB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2, , BCBC2 2=BC=BC2 2,BC=BC.,BC=BC. 2.2.你能求出你能求出A A吗吗? ? 提示提示: :BCBC2 2=BC=BC2 2,BC=BC,BC=BC, ABCABCABC(SSS),ABC(SSS), A=A=90A=A=90. . 【总结总结】勾股定理
3、的逆定理勾股定理的逆定理: :如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,ca,b,c满足关满足关 系系: :_, ,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. . a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 二、勾股数二、勾股数 满足满足_的三个的三个_数称为勾股数数称为勾股数. . a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 正整正整 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)三边长为三边长为6,8,96,8,9的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形. . ( )( ) (2)(2)任意直角三角形的三边都满足任意直角三角形的三边都满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2
4、. . ( )( ) (3)(3)三边平方之比为三边平方之比为112112的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形. . ( )( ) (4)(4)三边长为三边长为9,12,159,12,15的三角形的面积是的三角形的面积是27.27. ( )( ) (5)1.5,2,2.5(5)1.5,2,2.5是一组勾股数是一组勾股数. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 【例例1 1】如图所示如图所示, ,在等腰在等腰ABCABC中中,AB=AC,BC=20,D,AB=AC,BC=20,D为为ABAB上一点上一点, , 且且CD=16,BD=12,CD=16,BD=
5、12,求求ACAC的长的长. . 【解题探究解题探究】(1)(1)已知已知BCDBCD的三边长的三边长, ,你能确定它的形状吗你能确定它的形状吗? ? 提示：提示：能，因为能，因为12122 2+16+162 2=20=202 2，所以，所以BCDBCD是直角三角形是直角三角形. . (2)(2)ACDACD是是_三角形三角形. . (3)(3)设设AD=x,AD=x,则则AC=AB=AC=AB=_. . 根据勾股定理可得方程根据勾股定理可得方程_， 解方程得解方程得x=x=_, ,可得可得AC=AC=_. . 直角直角 12+x12+x 16162 2+x+x2 2=(12+x)=(12+x
6、)2 2 14 3 50 3 【总结提升总结提升】由三边判定直角三角形的三步法由三边判定直角三角形的三步法 知识点知识点 2 2 勾股定理的逆定理的实际应用勾股定理的逆定理的实际应用 【例例2 2】B B港有甲、乙两艘渔船港有甲、乙两艘渔船, ,若甲船沿北偏东若甲船沿北偏东6060方向以每方向以每 小时小时8n mile8n mile的速度前进的速度前进, ,乙船沿南偏东某个角度以每小时乙船沿南偏东某个角度以每小时 15n mile15n mile的速度前进的速度前进,2h,2h后后, ,甲船到甲船到M M岛岛, ,乙船到乙船到P P岛岛, ,两岛相距两岛相距 34n mile,34n mil
7、e,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗你知道乙船是沿哪个方向航行的吗? ? 【思路点拨思路点拨】先判断以先判断以B,M,PB,M,P三点为顶点的三角形的形状三点为顶点的三角形的形状, ,再判再判 断航行的方向断航行的方向. . 【自主解答自主解答】甲船航行的距离为甲船航行的距离为BM=8BM=82=16(n mile),2=16(n mile), 乙船航行的距离为乙船航行的距离为BP=15BP=152=30(n mile).2=30(n mile). 16162 2+30+302 2=1156,34=1156,342 2=1156,BM=1156,BM2 2+BP+BP2 2=MP=MP2 2,
8、, MBPMBP为直角三角形为直角三角形,MBP=90,MBP=90,乙船是沿着南偏东乙船是沿着南偏东3030 方向航行的方向航行的. . 【总结提升总结提升】勾股定理逆定理的实际应用的一般步骤勾股定理逆定理的实际应用的一般步骤 1.1.要把实际问题转化成数学问题要把实际问题转化成数学问题, ,对于需要画图表示的对于需要画图表示的, ,一定要一定要 从数学问题中抽象出正确的几何图形从数学问题中抽象出正确的几何图形. . 2.2.通过分析通过分析, ,运用勾股定理的逆定理来验证它是否为直角三角运用勾股定理的逆定理来验证它是否为直角三角 形形, ,然后利用直角三角形的性质解决实际问题然后利用直角三
9、角形的性质解决实际问题. . 题组一题组一: :勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 1.1.在在ABCABC中中,AB=9,AC=12,BC=15,AB=9,AC=12,BC=15,则该三角形为则该三角形为 ( ( ) ) A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形 【解析解析】选选B.9B.92 2+12+122 2=15=152 2, ,即即ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2,由勾股定理的逆由勾股定理的逆 定理得此三角形是直角三角形定理得此三角形是直角三角形. . 2.2.如图如图,AD,AD
10、为为ABCABC的中线的中线, ,且且AB=13,BC=10,AD=12,AB=13,BC=10,AD=12,则则ACAC等于等于 ( ( ) ) A.10 B.11A.10 B.11 C.12 D.13C.12 D.13 【解析解析】选选D DADAD为为ABCABC的中线，的中线， BD=5BD=5，BDBD2 2+AD+AD2 2=AB=AB2 2， ADBADB为直角三角形，在为直角三角形，在ABDABD和和ACDACD中，中， ABDABDACDACD，AC=AB=13AC=AB=13 BDCD, ADBADC90 , ADAD, 3.3.已知三组数据已知三组数据: :2,3,4;2
11、,3,4;3,4,5;3,4,5;1, ,2.1, ,2.分别以每组数分别以每组数 据中的三个数为三角形的三边长据中的三个数为三角形的三边长, ,构成直角三角形的有构成直角三角形的有( ( ) ) A.A. B.B. C.C. D.D. 【解析解析】选选D.D.因为因为2 22 2+3+32 2=4+9=13,4=4+9=13,42 2=16,=16,所以所以2 22 2+3+32 2442 2, ,不能构不能构 成直角三角形成直角三角形; ;因为因为3 32 2+4+42 2=9+16=25,5=9+16=25,52 2=25,=25,所以所以3 32 2+4+42 2=5=52 2, ,能
12、构成能构成 直角三角形直角三角形; ;因为因为1 12 2+( )+( )2 2=1+3=4,2=1+3=4,22 2=4,=4,所以所以1 12 2+( )+( )2 2=2=22 2, ,能能 构成直角三角形构成直角三角形. .所以能构成直角三角形的有所以能构成直角三角形的有. . 3 33 4.4.在在ABCABC中中, ,若三边长若三边长a=na=n2 2- -1,b=2n,c=n1,b=2n,c=n2 2+1,+1,则则ABCABC是是( ( ) ) A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.钝角三角形钝角三角形 C.C.等腰三角形等腰三角形 D.D.直角三角形直角三角形 【解析解析】选
13、选D.aD.a2 2+b+b2 2=(n=(n2 2- -1)1)2 2+(2n)+(2n)2 2=n=n4 4- -2n2n2 2+1+4n+1+4n2 2= = n n4 4+2n+2n2 2+1=(n+1=(n2 2+1)+1)2 2=c=c2 2. . ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 5.(20135.(2013枣庄中考枣庄中考) )如图如图1 1、 图图2 2是两张形状、大小完全相是两张形状、大小完全相 同的方格纸同的方格纸, ,方格纸中的每个方格纸中的每个 小正方形的边长均为小正方形的边长均为1,1,点点A,BA,B在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上. . (1)(1
14、)在图在图1 1中画出中画出ABC(ABC(点点C C在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上),),使使ABCABC为直为直 角三角形角三角形( (画一个即可画一个即可).). (2)(2)在图在图2 2中画出中画出ABD(ABD(点点D D在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上),),使使ABDABD为等为等 腰三角形腰三角形( (画一个即可画一个即可).). 【解析解析】(1)(1)如图如图:(:(以下各图画出一个即可以下各图画出一个即可, ,答案不唯一答案不唯一) ) (2)(2)如图如图:(:(以下各图画出一个即可以下各图画出一个即可, ,答案不唯一答案不唯一) ) 题组二题组二: :勾股
15、定理的逆定理的实际应用勾股定理的逆定理的实际应用 1.1.园丁住宅小区有一块草坪如图所示园丁住宅小区有一块草坪如图所示. .已知已知AB=3m,BC=4m,AB=3m,BC=4m, CD=12m,DA=13m,CD=12m,DA=13m,且且ABBC,ABBC,这块草坪的面积是这块草坪的面积是( ( ) ) A.24mA.24m2 2 B.36mB.36m2 2 C.48mC.48m2 2 D.72mD.72m2 2 【解析解析】选选B.B.连接连接AC,AC,则由勾股定理得则由勾股定理得AC=5m,AC=5m, 因为因为ACAC2 2+DC+DC2 2=AD=AD2 2, ,所以所以ACD=
16、90ACD=90. . 这块草坪的面积这块草坪的面积= AB= ABBC+ ACBC+ ACDC= (3DC= (34+54+512)=36(m12)=36(m2 2).). 1 2 1 2 1 2 2.2.如图如图, ,做一个宽做一个宽80cm,80cm,高高60cm60cm的长方形木框的长方形木框, ,需在相对角的顶需在相对角的顶 点之间加一根加固木条点之间加一根加固木条, ,则木条的长为则木条的长为 ( ( ) ) A.90 cmA.90 cm B.100 cmB.100 cm C.105 cmC.105 cm D.110 cmD.110 cm 【解析解析】选选B.B.设木条的长度为设木
17、条的长度为xcm,xcm, 由勾股定理得由勾股定理得x x2 2=80=802 2+60+602 2, , 解得解得x=100.x=100. 3.3.小强在操场上向东走小强在操场上向东走200m200m后后, ,又走了又走了150m,150m,再走再走250m250m回到原地回到原地. . 小强在操场上向东走了小强在操场上向东走了200m200m后后, ,又走又走150m150m的方向是的方向是_._. 【解析解析】因为因为2002002 2+150+1502 2=62500=250=62500=2502 2, ,所以小强走了一个直角三所以小强走了一个直角三 角形角形. .开始他是向东走开始他
18、是向东走, ,当他再向正北或者正南走的时候当他再向正北或者正南走的时候, ,恰好恰好 构成直角构成直角. . 答案答案: :正南或正北正南或正北 4.4.如图所示如图所示, ,在某市的地图上有三个景点在某市的地图上有三个景点A,B,A,B, C,C,已知景点已知景点A,BA,B之间的距离为之间的距离为0.4cm,0.4cm,景点景点C,BC,B 之间的距离为之间的距离为0.3cm,0.3cm,景点景点A,CA,C之间的距离为之间的距离为 0.5cm,0.5cm,问以这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗问以这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗? ?为什为什 么么? ? 【解析解析】因为因为0
19、.30.32 2+0.4+0.42 2=0.5=0.52 2, ,由勾股定理的逆定理可知这个三由勾股定理的逆定理可知这个三 角形一定是直角三角形角形一定是直角三角形. . 5.5.在新农村建设中在新农村建设中, ,一农民在建房时挖了一个一农民在建房时挖了一个 地基地基, ,如图是平面图形如图是平面图形. .按建房标准按建房标准, ,四边形四边形 ABCDABCD应为长方形应为长方形.AB=DC=8cm,AD=BC=6cm,AC=.AB=DC=8cm,AD=BC=6cm,AC= 9cm,9cm,请你帮他看一下挖的地基是否合格请你帮他看一下挖的地基是否合格. . 【解析解析】先看先看ADCADC是
20、不是直角是不是直角. . 在在ADCADC中中, ,因为因为ADAD2 2+DC+DC2 2=6=62 2+8+82 2=100,AC=100,AC2 2=9=92 2=81,=81,所以所以 ADAD2 2+DC+DC2 2ACAC2 2, ,所以所以ADCADC不是直角三角形不是直角三角形, ,所以所以ADCADC不是直角不是直角. . 但标准是长方形的四个角都应是直角但标准是长方形的四个角都应是直角, ,所以该农民挖的地基不所以该农民挖的地基不 合格合格. . 【想一想错在哪？想一想错在哪？】下列三角形中是直角三角形的是下列三角形中是直角三角形的是( ( ) ) A.A.三边之比为三边之比为567 B.567 B.三边之比为三边之比为9404194041 C.C.三边之长为三边之长为3 32 2,4,42 2,5,52 2 D.D.三边之长为三边之长为13,14,1513,14,15 提示提示: :三边之长分别为三边之长分别为3,4,53,4,5的三角形为直角三角形的三角形为直角三角形, ,而不是三而不是三 边之长分别为边之长分别为3 32 2,4,42 2,5,52 2的三角形的三角形. .
