1、1.2 直角三角形的性质和判定() 第1课时 1.1.掌握勾股定理的内容掌握勾股定理的内容. . 2.2.理解勾股定理的证明理解勾股定理的证明. . 3.3.应用勾股定理进行有关计算与证明应用勾股定理进行有关计算与证明. . 星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩, ,同学同学 们看到山势险峻们看到山势险峻, ,查看景区示意图得知查看景区示意图得知: :凌峰山主峰高约为凌峰山主峰高约为900900 米米, ,如图如图: :为了方便游人为了方便游人, ,此景区从主峰此景区从主峰A A处向地面处向地面B B处架了一条处架了一条 缆车线路缆车线路,
2、,已知山底端已知山底端C C处与地面处与地面B B处相距处相距12001200米米, ACB=90, ACB=90, , 请问缆车路线请问缆车路线ABAB长应为多少？长应为多少？ 读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直较长的直 角边称为股角边称为股，斜边称为弦斜边称为弦. .图图1 1- -1 1称为称为“弦图弦图”，最早是由三国最早是由三国 时期的数学家赵爽作出的时期的数学家赵爽作出的. .图图1 1- -2 2是在北京召开的是在北京召开的20022002年国际数年国际数 学家大会学家大会（TCMTCM20022002）的会标
3、的会标，其图案正是其图案正是“弦图弦图”，它标它标 志着中国古代的数学成就志着中国古代的数学成就. . 图1-1 图1-2 相传相传25002500年前，毕达哥拉斯有一次年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系种数量关系 我们也来观察图中的地面，我们也来观察图中的地面， 看看能发现些什么？看看能发现些什么？ 数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现： A A、B B、C C的面积有什么关系？的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么
4、关系？ S SA A+S+SB B=S=SC C 两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）图中每个小方格代表一个单位面积） 图图1 图2 让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系 A A的面的面 积积( (单单 位面积位面积) ) B B的面的面 积积( (单单 位面积位面积) ) C C的面的面 积积( (单单 位面积位面积) ) 图图1 1 图图2 2 9 9 9 9 1818 4 4 4 4 8 8 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）
5、（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图1 图2 1 S C正方形 图中 1 43 318 2 分“割”成若干个直角边为整数的三角形分“割”成若干个直角边为整数的三角形 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图1 图2 1 S C正方形 图中 2 1 6 2 18 把把C“C“补”补” 成边长为成边长为6 6的正方形的正方形 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 图图1 图2 S SA A+S+SB B=S=SC C A A的面的面 积积( (单单 位面积位面积) ) B B的面的
6、面 积积( (单单 位面积位面积) ) C C的面的面 积积( (单单 位面积位面积) ) 图图1 1 9 9 18 图图2 2 A A、B B、 C C面积面积 关系关系 直角三直角三 角形三角形三 边关系边关系 4 4 8 两直角边的平方和两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方 A B C 图图1 A B C 图图2 1.1.观察右边两个图并填写观察右边两个图并填写 下表：下表： A A的面积的面积 B B的面积的面积 C C的面积的面积 图图1 1 图图2 2 1616 9 9 2525 4 4 9 9 1313 你是怎样得到你是怎样得到 表中的结果的？与表中的结果的？与 同伴交
7、流交流同伴交流交流 做做 一一 做做 A B C 图图1 A B C 图图2 2 2如图如图, ,三个正方形三个正方形A A， B B，C C面积之间有什么关面积之间有什么关 系？系？ S SA A+ +S SB B= =S SC C 即：两条直角边上的即：两条直角边上的 正方形面积之和等于正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面斜边上的正方形的面 积积 议议 一一 议议 A A B B C C a a c c b b S SA A+S+SB B=S=SC C 3.3.设直角三角形的三边长分别是设直角三角形的三边长分别是a a，b b，c c，猜想猜想: :两直角两直角 边边a a，b b与斜边
8、与斜边c c 之间的关系？之间的关系？ a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 这是这是20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 赵爽弦图赵爽弦图 abab4+(b4+(b- -a)=ca)=c， a+b =c.a+b =c. a b c 即即2ab+2ab+（bb- -2ab+a2ab+a）=c=c， 1 2 此结论被称为“勾股定理”此结论被称为“勾股定理”. . 在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90 ， 边边BCBC，ACAC，ABAB所对应的边分别所对应的边分别 为为a a，b b，c,c,则存在下列关系，则存在下列关系， 结论：结论： 直角三角形中，两条直
9、角边的平方和，等于斜边的直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的 平方平方. . a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 勾勾 股股 弦弦 c c a a b b B B C C A A 如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a a，b b，斜边为斜边为c c， 那么那么a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2. . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. . 勾股定理勾股定理 C C9090， a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2. . c c a a b b B B C C
10、 A A 勾股定理的运用勾股定理的运用1:1: 已知直角三角形的任意两条边长，求第已知直角三角形的任意两条边长，求第 三条边长三条边长. . a a2 2=c=c2 2- -b b2 2 b b2 2=c=c2 2- -a a2 2 c c2 2=a=a2 2+b+b2 2 在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，A A、B B、C C所对的所对的 边分别为边分别为a a，b b，c.c. (1)(1)已知已知a=1a=1，b=2b=2，求，求c.c. (2)(2)已知已知a=10a=10，c=15c=15，求，求b.b. A C B b a c 例：将长为例：将长为5
11、5米的梯子米的梯子ACAC斜靠在墙上，斜靠在墙上， BCBC长为长为2 2米，求梯子上端米，求梯子上端A A到墙的底端到墙的底端 B B的距离的距离. . C C A A B B 解：在解：在RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=90. . BC=2 BC=2 ，AC=5AC=5， ABAB2 2= AC= AC - - BCBC = 5= 5 - -2 2 =21=21， AB= AB= （米）（舍去负值）（米）（舍去负值）. . 21 【跟踪训练跟踪训练】 3.在等腰在等腰RtRtABCABC中中, a=b=1, a=b=1,则则c=c= C C A A B B 第第3 3题图题
12、图 第第4 4题图题图 a a b b c c C B A 2 5.5.在一个直角三角形中在一个直角三角形中, , 两边长分别为两边长分别为3 3，4,4, 则第三边的长为则第三边的长为_ 5 或或 4.4.在在RtRtABCABC中中, A=30, A=30，AB=2AB=2，则，则BC= BC= AC=AC= 1 1 7 3 6.6.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x，y y，z z的值的值. . 8181 144144 y y 625625 576576 x=15x=15 y=7y=7 D A B C 7.7.蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D
13、D点，最少一共爬了多少厘米？点，最少一共爬了多少厘米？ （小方格的边长为（小方格的边长为1 1厘米）厘米） G F E 3 4 12 5 6 8 答：答：最少一共爬了最少一共爬了2828厘米厘米 【解析解析】选选D.B=30D.B=30,ACAB,AC=5,ACAB,AC=5米米, ,所以所以BC=10BC=10米，米， 米米. . 大树折断前的高度为大树折断前的高度为AC+BC=15(AC+BC=15(米米).). 2222 AB= BC -AC = 10 -5 = 75 3.3.如图所示，一棵大树在一如图所示，一棵大树在一 次强台风中离地面次强台风中离地面5 5米处折米处折 断倒下，倒下部
14、分与地面断倒下，倒下部分与地面 成成3030角，则这棵大树在角，则这棵大树在 折断前的高度和折断前的高度和ABAB的长分的长分 别为（别为（ ） （A A）1010米，米， 米米 （B B）1515米，米， 米米 （C C）1010米，米， 米米 （D D）1515米，米， 米米 75125 12575 4.(4.(广东广东中考）如图（中考）如图（1 1），已知小正方形），已知小正方形ABCDABCD的面积的面积 为为1 1，把它的各边延长一倍得到新正方形，把它的各边延长一倍得到新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1；把正；把正 方形方形A A1 1B B1 1C C1 1D
15、 D1 1边长按原法延长一倍得到正方形边长按原法延长一倍得到正方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2（如（如 图（图（2 2）；）；以此下去，则正方形以此下去，则正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面积的面积 为为_._. 图（图（1） A1 B1 C1 D1 A B C D D2 A2 B2 C2 D1 C1 B1 A1 A B C D 图（图（2） 【解析解析】由勾股定理得：新正方形由勾股定理得：新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1边长为边长为 ，正，正 方形方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2边长为边长为5 5， ，正
16、方形，正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的边长为的边长为2525， 正方形正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面积为的面积为625.625. 答案：答案：625625 5 5.5.（宜宾（宜宾中考）已知，在中考）已知，在ABCABC中，中，A=45A=45， AB= +1AB= +1，则边，则边BCBC的长为的长为_._. 【解析解析】过点过点C C作作CDAB,CDAB, A=45A=45,AD=CD,AD=CD, 2AD2AD2 2=AC=AC2 2=2,=2, DC=AD=1,DC=AD=1, BD=ABBD=AB- -AD= +1AD= +1-
17、-1= 1= 在在RtRtCDBCDB中，中， 答案：答案：2 2 AC= 2, 3 33. 22 CB= CD +BD = 1+3= 4=2. 6.6.请你根据图请你根据图1 1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及 符号语言叙述）；符号语言叙述）； 以图以图1 1中的直角三角形为基础，可以构造出以中的直角三角形为基础，可以构造出以a a、b b为底，为底， 以以a+ba+b为高的直角梯形（如图为高的直角梯形（如图2 2），请你利用图），请你利用图2 2，验证勾，验证勾 股定理股定理. . 【解析解析】定理表述如果直角三角形的两直角边长分定理表述如果直角三角
18、形的两直角边长分 别为别为a a、b b，斜边长为，斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, , 证明：证明： RtRtABERtABERtECD,AEB=EDC,ECD,AEB=EDC, 又又EDC+DEC=90EDC+DEC=90，AEB+DEC=90AEB+DEC=90, , AED=90AED=90. . SS梯形 梯形ABCDABCD=S =SRt RtABEABE+S +SRt RtDECDEC+S +SRt RtAEDAED， ， （a+b)(a+b)= ab+ ab+ ca+b)(a+b)= ab+ ab+ c2 2. . 整理，得整理，得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 1 2 1 2 1 2 1 2 通过本课时的学习，需要我们通过本课时的学习，需要我们 1.1.掌握勾股定理的内容：掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方. . 2.2.理解勾股定理的证明过程理解勾股定理的证明过程. . 3.3.应用勾股定理计算线段的长度应用勾股定理计算线段的长度. .注意使用勾股定理的注意使用勾股定理的 前提条件是在直角三角形中前提条件是在直角三角形中. . 理想是指路明灯.没有理想，就没有坚定 的方向，而没有方向，就没有生活. 托尔斯泰
