1、2.2.1 平行四边形的性质(第2课时) 1.1.掌握平行四边形的对角线互相平分掌握平行四边形的对角线互相平分.(.(重点重点) ) 2.2.熟练应用平行四边形的性质进行计算或证明熟练应用平行四边形的性质进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) ) 在在 ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O.O. 【思考思考】 (1)(1)平行四边形有哪些性质平行四边形有哪些性质? ? 提示提示: :平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等, ,对角相等对角相等. . (2)(2)结合平行四边形的性质结合平行四边形的性质, ,你能判断你能判断ABOABO与与CDOC
2、DO有怎样的关有怎样的关 系吗系吗? ? 提示提示: :全等全等. . (3)(3)由此可以得到哪些相等的线段由此可以得到哪些相等的线段? ? 提示提示: :OA=OC,OB=OD.OA=OC,OB=OD. 【总结总结】平行四边形的性质平行四边形的性质: :平行四边形的对角线平行四边形的对角线_. . 互相平分互相平分 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)平行四边形的对角线相等平行四边形的对角线相等. . ( )( ) (2)(2)平行四边形的对角线把平行四边形分成平行四边形的对角线把平行四边形分成4 4个全等的三角形个全等的三角形. . ( )( ) (3)(3)平行四边形的对角
3、线平分一组对角平行四边形的对角线平分一组对角. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 平行四边形性质定理的应用平行四边形性质定理的应用 【例例1 1】(2013(2013南充中考南充中考) )如图如图, ,在在 ABCDABCD中中, , 对角线对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O,O,经过点经过点O O的直线交的直线交ABAB于于 点点E,E,交交CDCD于点于点F.F. 求证求证:OE=OF.:OE=OF. 【思路点拨思路点拨】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形AO=CO,ABCDAO=CO,ABCD AOEAOECOFOE=OFCOFOE=OF 【自主解答自主解答
4、】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , AO=CO,ABCD,AO=CO,ABCD, EAO=FCO,EAO=FCO, 又又AOE=COF,AOE=COF,AOEAOECOF(ASA),COF(ASA), OE=OF.OE=OF. 【总结提升总结提升】平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用 知识点知识点 2 2 平行四边形性质的综合应用平行四边形性质的综合应用 【例例2 2】(2013(2013海南中考海南中考) )如图如图, ,在在 ABCDABCD中中, , ACAC与与BDBD相交于点相交于点O,O,则下列结论不一定成立则下列结论不一定成立 的是的是 ( ( )
5、) A.BO=DO B.CD=ABA.BO=DO B.CD=AB C.BAD=BCD D.AC=BDC.BAD=BCD D.AC=BD 【思路点拨思路点拨】依据平行四边形的性质依据平行四边形的性质: :对边平行且相等对边平行且相等, ,对角相对角相 等等, ,对角线互相平分对角线互相平分, ,逐一判断即可逐一判断即可. . 【自主解答自主解答】选选D.D.根据平行四边形的对角线互相平分根据平行四边形的对角线互相平分, ,可得可得 BO=DO,BO=DO,选项选项A A正确正确; ;根据平行四边形的对边相等根据平行四边形的对边相等, ,可得可得CD=AB,CD=AB,选选 项项B B正确正确;
6、;根据平行四边形的对角相等根据平行四边形的对角相等, ,可得可得BAD=BCD,BAD=BCD,选项选项C C 正确正确; ;而选项而选项D D中中“AC=BDAC=BD”说明对角线相等说明对角线相等, ,平行四边形没有这平行四边形没有这 一性质一性质, ,因此选项因此选项D D错误错误. . 【总结提升总结提升】平行四边形性质的综合运用平行四边形性质的综合运用 研究平行四边形的性质往往从边、角、对角线研究平行四边形的性质往往从边、角、对角线3 3个方面考个方面考 虑虑: :边边: :平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对边平行且相等. .角角: :平行四边形的对平行四边形的对 角相等、邻角
7、互补角相等、邻角互补. .对角线对角线: :平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分. . 题组一题组一: :平行四边形性质定理的应用平行四边形性质定理的应用 1.1.平行四边形的一边长是平行四边形的一边长是10,10,那么它的对角线长可能是那么它的对角线长可能是( ( ) ) A.4A.4和和6 B.66 B.6和和8 8 C.8C.8和和10 D.1010 D.10和和1212 【解析解析】选选D.D.两对角线的一半与平行四边形的边组成三角形两对角线的一半与平行四边形的边组成三角形, , 由三角形三边关系易知选项由三角形三边关系易知选项D D正确正确. . 2.2.如图所示如图
8、所示, ,平行四边形平行四边形ABCDABCD中中, ,对角线对角线 ACAC和和BDBD相交于点相交于点O,O,如果如果AC=12,BD=10,ABAC=12,BD=10,AB =m,=m,则则m m的取值范围是的取值范围是 ( ( ) ) A.10m12A.10m12 B.2m22B.2m22 C.1m11C.1m11 D.5m6D.5m6 【解析解析】选选C.C.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , OA=OC=6,OB=OD=5,OA=OC=6,OB=OD=5, 在在OABOAB中中,OA,OA- -OBABOA+OB,OBABOA+OB, 1m11.1m11.
9、3.(20133.(2013云南中考云南中考) )如图如图, ,平行四边形平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD相交相交 于点于点O,O,下列结论正确的是下列结论正确的是 ( ( ) ) A.SA.S ABCD ABCD=4S =4S AOB AOB B.AC=BD B.AC=BD C.ACBD D.C.ACBD D. ABCDABCD是轴对称图形是轴对称图形 【解析解析】选选A.A.平行四边形平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O,O, AO=CO,DO=BO,AO=CO,DO=BO, SS AODAOD=S =S DOCDO
10、C=S =S BOCBOC=S =S AOBAOB, , S S ABCD ABCD=4S =4S AOBAOB, ,故 故A A选项正确选项正确; ;无法得到无法得到AC=BD,AC=BD,故故B B选项错误选项错误; ;无无 法得到法得到ACBD,ACBD,故故C C选项错误选项错误; ;无法得到无法得到 ABCDABCD是轴对称图形是轴对称图形, ,故故D D 选项错误选项错误. . 4.4.如图如图, ,已知已知 ABCDABCD的两条对角线的两条对角线ACAC与与BDBD交于平面直角坐标系的交于平面直角坐标系的 原点原点O,O,点点A A的坐标为的坐标为( (- -2,3),2,3)
11、,则点则点C C的坐标为的坐标为 ( ( ) ) A.(A.(- -3,2)3,2) B.(B.(- -2,2,- -3)3) C.(3,C.(3,- -2)2) D.(2,D.(2,- -3)3) 【解析解析】选选D.D.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,A,A点与点与C C点关于原点点关于原点O O对对 称称,C,C点坐标为点坐标为(2,(2,- -3).3). 5.5.如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,ABCD,ADBC,ABCD,ADBC, AC,BDAC,BD相交于点相交于点O.O.若若AC=6,AC=6,则线段则线段AOAO的长度的长度 等于等于 .
12、. 【解析解析】在四边形在四边形ABCDABCD中中,ABCD,ADBC,ABCD,ADBC, 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . AC=6,AO= AC= AC=6,AO= AC= 6=3.6=3. 答案答案: :3 3 1 2 1 2 6.6.如图所示如图所示, ,平行四边形平行四边形ABCDABCD的周长是的周长是18cm,18cm,对角线对角线AC,BDAC,BD相交相交 于点于点O,O,若若AODAOD与与AOBAOB的周长差是的周长差是5cm,5cm,则边则边ABAB的长是的长是_cm._cm. 【解析解析】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边
13、形, , OA=OC,OB=OD,OA=OC,OB=OD, AODAOD的周长的周长=OA+OD+AD,=OA+OD+AD, AOBAOB的周长的周长=OA+OB+AB,=OA+OB+AB, 又又AODAOD与与AOBAOB的周长差是的周长差是5cm,5cm, AD=AB+5,AD=AB+5,设设AB=x,AD=5+x,AB=x,AD=5+x, 则则2(x+5+x)=18,2(x+5+x)=18,解得解得x=2,x=2,即即AB=2cm.AB=2cm. 答案答案: :2 2 7.7.如图如图, , ABCDABCD和和 EAFCEAFC的顶点的顶点D,B,E,FD,B,E,F在同一条直线上在同
14、一条直线上. .求求 证证:DE=BF.:DE=BF. 【证明证明】连接连接AC,AC,交交BDBD于于O.O. 则则OB=OD,OE=OF,OB=OD,OE=OF, ODOD- -OE=OBOE=OB- -OF,OF,即即DE=BF.DE=BF. 题组二题组二: :平行四边形性质的综合应用平行四边形性质的综合应用 1.1.如图如图, ,在在 ABCDABCD中中, ,过对角线过对角线BDBD上一上一 点点P P作作EFAB,GHAD,EFAB,GHAD,与各边交点分与各边交点分 别为别为E,F,G,H,E,F,G,H,则图中面积相等的平行则图中面积相等的平行 四边形的对数为四边形的对数为 (
15、 ( ) ) A.3 B.4 A.3 B.4 C.5 C.5 D.6D.6 【解析解析】选选A.A.四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,BD,BD为对角线为对角线, , ABDABD的面积等于的面积等于BCDBCD的面积的面积, ,同理同理BFPBFP的面积等于的面积等于BGPBGP 的面积的面积, ,PEDPED的面积等于的面积等于HPDHPD的面积的面积,BCDBCD的面积减去的面积减去 BFPBFP的面积和的面积和PHDPHD的面积等于平行四边形的面积等于平行四边形PFCHPFCH的面积的面积, ,ABDABD 的面积减去的面积减去GBPGBP和和EPDEPD的面积等于
16、平行四边形的面积等于平行四边形AGPEAGPE的面积的面积. . 平行四边形平行四边形PFCHPFCH的面积等于平行四边形的面积等于平行四边形AGPEAGPE的面积的面积,同时同时 加上平行四边形加上平行四边形PHDEPHDE或或BFPG,BFPG,可以得出平行四边形可以得出平行四边形AGHDAGHD的面积的面积 和平行四边形和平行四边形EFCDEFCD的面积相等的面积相等, ,平行四边形平行四边形ABFEABFE的面积和平行的面积和平行 四边形四边形BCHGBCHG的面积相等的面积相等.有有3 3对面积相等的平行四边形对面积相等的平行四边形. . 2.2.如图所示，如图所示， ABCDABC
17、D中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相交相交 于点于点O O，AB=AC=2AB=AC=2，ABC=60ABC=60，则，则BDBD的长的长 为为( )( ) A.4 B. A.4 B. C. D.C. D.以上都不对以上都不对 2 3 2 5 【解析解析】选选B.B.因为因为AB=ACAB=AC，ABC=60ABC=60, , 所以所以ABCABC是等边三角形，是等边三角形， 又因为四边形又因为四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形， 所以所以AO=OC=1AO=OC=1，BO=ODBO=OD， 所以所以BOAC.BOAC. 所以在所以在RtRtABOABO中，中， 所以所以B
18、D=2BO=BD=2BO= 22 BO213， 2 3. 3.3.如图所示如图所示, ,设设M M是是 ABCDABCD中中ABAB边上任意边上任意 一点一点, ,设设CMBCMB的面积为的面积为S S2 2, ,CDMCDM的面积的面积 为为S,S,AMDAMD的面积为的面积为S S1 1, ,则则S,SS,S1 1,S,S2 2之间的之间的 数量关系是数量关系是 . . 【解析解析】平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等, ,所以所以AM+BM=CD,AM+BM=CD,又因为又因为ABCD,ABCD, 所以所以CMBCMB的边的边BMBM上的高、上的高、AMDAMD的边的边AMAM上的高
19、、上的高、CDMCDM的边的边CDCD 上的高相等上的高相等, ,所以所以S=SS=S1 1+S+S2 2. . 答案答案: :S=SS=S1 1+S+S2 2( (或或S S1 1=S=S- -S S2 2或或S S2 2=S=S- -S S1 1) ) 4.4.已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD相相 交于点交于点O,O,直线直线EFEF经过点经过点O O且分别交且分别交AB,CDAB,CD 的延长线于的延长线于E E和和F,F,求证求证:BE=DF.:BE=DF. 【证明证明】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , OB=O
20、D,AECF,OB=OD,AECF, EBO=FDO.EBO=FDO. 又又BOE=FOD,BOE=FOD,BOEBOEDOF,DOF, BE=DF.BE=DF. 5.5.已知已知: :如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AC,BD,AC,BD 交于点交于点O,AEBD,CFBD,E,FO,AEBD,CFBD,E,F为垂足为垂足. .求证求证: : ACAC与与EFEF互相平分互相平分. . 【证明证明】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , OA=OC.OA=OC. AOE=COF,AEO=CFO=90AOE=COF,AEO=CFO=90, , AEOAEOCFO,CFO, OE=OF,OE=OF,即即ACAC与与EFEF互相平分互相平分. . 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图, ,线段线段AB,ADAB,AD相交于点相交于点A,A,若过点若过点B B作作 BEAD,BEAD,在在BEBE上取一点上取一点C,C,使使BC=AD,BC=AD,连接连接CD,CD,则则ACAC与与BDBD的关系的关系 是是 . . 提示提示: :画图时考虑不周全而漏解画图时考虑不周全而漏解, ,点点C C可能在点可能在点B B的左侧的左侧, ,也可能也可能 在点在点B B的右侧的右侧. .
