1、2.2.2 平行四边形的判定(第1课时) 1.1.熟记平行四边形的两个判定定理熟记平行四边形的两个判定定理.(.(重点重点) ) 2.2.能应用平行四边形的判定定理证明一个四边形是平行四边能应用平行四边形的判定定理证明一个四边形是平行四边 形形.(.(重点、难点重点、难点) ) 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理 1.1.如图如图, ,将两根同样长的木条将两根同样长的木条AB,CDAB,CD平行放置平行放置, ,再用木条再用木条AD,BCAD,BC加加 固固, ,这样就得到一个四边形这样就得到一个四边形. . 2.2.如图四边形如图四边形, ,是由木棒钉制而成的是由木棒钉制而成的. .
2、【思考思考】(1)(1)对于问题对于问题1,1,从图知看似是一个平行四边形从图知看似是一个平行四边形. .怎样说怎样说 明它是一个平行四边形呢明它是一个平行四边形呢? ? 提示提示: :只需证明四边形的两组对边分别平行只需证明四边形的两组对边分别平行, ,根据平行四边形的根据平行四边形的 定义即可判定定义即可判定. . (2)(2)你能说明问题你能说明问题1 1中四边形的形状吗中四边形的形状吗? ? 提示提示: :能能. .连接连接AC,AC,两根木条的长度相等两根木条的长度相等,AB=CD,AB=CD,又因又因 ABCD,BAC=DCA,ABCD,BAC=DCA,又因又因AC=CA,AC=C
3、A,可证可证ABCABCCDA(SAS),CDA(SAS), 故故ACB=CAD,ACB=CAD,进而得进而得ADBC,ADBC,又已知又已知ABCD,ABCD,四边形四边形ABCDABCD是是 平行四边形平行四边形. . (3)(3)对于问题对于问题2 2中中, ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形吗是平行四边形吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :是是. .理由理由: :连接连接AC,AC,由图中可知由图中可知AB=DC=30,BC=DA=40,AB=DC=30,BC=DA=40,又又 AC=CA,AC=CA,故由故由“SSSSSS”得得ABCABCCDA,CDA,又由三角形全等
4、的性质得又由三角形全等的性质得 BAC=DCA,BCA=DAC,BAC=DCA,BCA=DAC,故故ABCD,ADCB.ABCD,ADCB.因此由平行四边因此由平行四边 形的定义知四边形形的定义知四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 【总结总结】 (1)(1)平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理1:1:一组对边一组对边_的四边形是的四边形是 平行四边形平行四边形. . (2)(2)平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理2:2:两组对边两组对边_的四边形是平的四边形是平 行四边形行四边形. . 平行且相等平行且相等 分别相等分别相等 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1
5、)(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形. . ( )( ) (2)(2)三条边分别相等的四边形是平行四边形三条边分别相等的四边形是平行四边形. . ( )( ) (3)(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形. . ( )( ) (4)(4)一组对边平行一组对边平行, ,且一组对角相等的四边形是平行四边形且一组对角相等的四边形是平行四边形.( ).( ) (5)(5)一组对边相等一组对边相等, ,且一组对角相等的四边形是平行四边形且一组对角相等的四边形是平行四边形.( ).( ) 知识点知识
6、点 1 1 平行四边形判定定理平行四边形判定定理1 1的应用的应用 【例例1 1】(2012(2012泰州中考泰州中考) )如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中,ADBC,AEAD,ADBC,AEAD 交交BDBD于点于点E,CFBCE,CFBC交交BDBD于点于点F,F,且且AE=CF.AE=CF.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是平是平 行四边形行四边形. . 【解题探究解题探究】(1)(1)当四边形中已有一组对边平行当四边形中已有一组对边平行, ,再添加什么条再添加什么条 件就可证明这个四边形是平行四边形件就可证明这个四边形是平行四边形? ? 提示提示: :再添加这组
7、对边相等或另一组对边平行再添加这组对边相等或另一组对边平行, ,就可证明这个四就可证明这个四 边形是平行四边形边形是平行四边形. . (2)(2)由已知条件可知由已知条件可知EADEAD与与FCBFCB有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ? 提示提示: :全等全等.ADBC,.ADBC, ADB=CBD.ADB=CBD. AEAD,CFBC,AEAD,CFBC, EAD=FCB=90EAD=FCB=90. . AE=CF,AE=CF, EADEADFCB.FCB. (3)(3)结合以上探究你能确定四边形结合以上探究你能确定四边形ABCDABCD是平行四边形吗是平行四边形吗? ?为什么为什
8、么? ? 提示提示: :能能.EADEADFCB,AD=CB.FCB,AD=CB.又又ADBC,ADBC,四边形四边形ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形. . 【互动探究互动探究】把题目中的条件“把题目中的条件“ADBC”ADBC”改为“改为“AD=BC”,AD=BC”,结论结论 还成立吗还成立吗? ? 提示提示: :成立成立. . 【总结提升总结提升】由一组对边平行且相等证平行四边形的几种情况由一组对边平行且相等证平行四边形的几种情况 1.1.已知四边形中一组对边平行已知四边形中一组对边平行, ,通过证明三角形全等再得这组通过证明三角形全等再得这组 对边相等对边相等, ,进而证明该四
9、边形是平行四边形进而证明该四边形是平行四边形. . 2.2.已知四边形中一组对边相等已知四边形中一组对边相等, ,通过证明三角形全等通过证明三角形全等, ,得角相等得角相等 进而得这组对边平行进而得这组对边平行, ,进而证明该四边形是平行四边形进而证明该四边形是平行四边形. . 知识点知识点 2 2 平行四边形判定定理平行四边形判定定理2 2的应用的应用 【例例2 2】如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中, ,点点E,FE,F分别是分别是AD,BCAD,BC的中点的中点. . 求证求证:(1):(1)ABEABECDF.CDF. (2)(2)四边形四边形BFDEBFDE是
10、平行四边形是平行四边形. . 【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据平行四边形的性质和已知可证根据平行四边形的性质和已知可证 AE=CF,BAE=DCF,AB=CD,AE=CF,BAE=DCF,AB=CD,故根据故根据SASSAS可证可证ABEABECDF.CDF. (2)(2)由由(1)(1)可证可证BE=DF,BE=DF,由已知可证由已知可证DE=BF,DE=BF,故可证四边形故可证四边形BFDEBFDE是平是平 行四边形行四边形. . 【自主解答自主解答】(1)(1)在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AB=CD,AB=CD, AD=CB,AD=CB, 又又点点E,FE,F分别是
11、分别是AD,BCAD,BC的中点的中点,AE=CF,AE=CF, BAE=DCF,BAE=DCF, ABEABECDF(SAS).CDF(SAS). (2)(2)ABEABECDF,BE=DF,CDF,BE=DF, 又又点点E,FE,F分别是分别是AD,BCAD,BC的中点的中点,DE=BF,DE=BF, 四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形. . 【总结提升总结提升】由两组对边分别相等判定平行四边形的思路由两组对边分别相等判定平行四边形的思路 当在欲证为平行四边形的四边形中当在欲证为平行四边形的四边形中, ,有一组对边相等时有一组对边相等时, ,一一 般可思考证明这组对边平行
12、般可思考证明这组对边平行, ,如果无法证明这组对边平行如果无法证明这组对边平行, ,则只则只 需证另一组对边相等即可需证另一组对边相等即可. . 题组一题组一: :平行四边形判定定理平行四边形判定定理1 1的应用的应用 1.1.如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,E,E是是BCBC边的中点边的中点, , 连接连接DEDE并延长并延长, ,交交ABAB的延长线于的延长线于F F点点,AB=BF.,AB=BF. 添加一个条件添加一个条件, ,使四边形使四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 你认为下面四个条件中可选择的是你认为下面四个条件中可选择的是( ( ) ) A
13、.AD=BCA.AD=BC B.CD=BFB.CD=BF C.A=CC.A=C D.F=CDED.F=CDE 【解析解析】选选D.F=CDE,CDAF,D.F=CDE,CDAF, 在在DECDEC与与FEBFEB中中,DCE=EBF,CE=BE,CED=BEF,DCE=EBF,CE=BE,CED=BEF, DECDECFEB,FEB, DC=BF,C=EBF,ABDC.DC=BF,C=EBF,ABDC. AB=BF,DC=AB,AB=BF,DC=AB,四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. . 2.(20122.(2012济南中考济南中考) )如图如图, ,在在RtRtABCA
14、BC中中,C=90,C=90,AC=4,AC=4,将将 ABCABC沿沿CBCB向右平移得到向右平移得到DEF,DEF,若平移距离为若平移距离为2,2,则四边形则四边形ABEDABED 的面积等于的面积等于 . . 【解析解析】因为将因为将ABCABC沿沿CBCB向右平移得到向右平移得到DEF,DEF,平移距离为平移距离为2,2, 所以所以ADBE,AD=BE=2,ADBE,AD=BE=2, 所以四边形所以四边形ABEDABED是平行四边形是平行四边形, , 所以四边形所以四边形ABEDABED的面积的面积=BE=BEAC=2AC=24=8.4=8. 答案答案: :8 8 3.3.已知如图已知
15、如图, , ABCDABCD中中,G,H,G,H是对角线是对角线DBDB上的两点上的两点, ,且且DG=BH,DF=BE,DG=BH,DF=BE, 四边形四边形EHFGEHFG是平行四边形吗是平行四边形吗? ?为什么为什么? ? 【解析解析】四边形四边形EHFGEHFG是平行四边形是平行四边形. . 理由理由: :在在 ABCDABCD中中,ABCD,ABCD, BDC=DBA.BDC=DBA. 又又DG=BH,DF=BE,DG=BH,DF=BE, DGFDGFBHE(SAS).BHE(SAS). GF=HE,DGF=EHB.GF=HE,DGF=EHB. FGH=EHG(FGH=EHG(等角的
16、补角相等等角的补角相等).). GFEH.GFEH.又又GF=EH.GF=EH. 四边形四边形EHFGEHFG是平行四边形是平行四边形. . 4.(20134.(2013梧州中考梧州中考) )如图如图, ,已知已知:ABCD,BEAD,:ABCD,BEAD,垂足为点垂足为点 E,CFAD,E,CFAD,垂足为点垂足为点F,F,并且并且AE=DF.AE=DF. 求证求证: :四边形四边形BECFBECF是平行四边形是平行四边形. . 【证明证明】BEAD,CFAD,BEAD,CFAD, AEB=DFC=90AEB=DFC=90, , ABCD,A=D,ABCD,A=D, 在在AEBAEB与与DF
17、CDFC 中中,AEB=DFC,AE=DF,A=D,AEB=DFC,AE=DF,A=D,AEBAEBDFC(ASA),DFC(ASA), BE=CF.BEAD,CFAD,BECF.BE=CF.BEAD,CFAD,BECF.四边形四边形BECFBECF是平行四是平行四 边形边形. . 5.5.已知已知,E,F,E,F是四边形是四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC上的两上的两 点点,AE=CF,BE=DF,BEDF.,AE=CF,BE=DF,BEDF.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形. . 【证明证明】DFBE,DFA=BEC,DFBE,DFA=BEC
18、, CF=AE,EF=EF,CF=AE,EF=EF, AF=CE,AF=CE, 在在ADFADF和和CBECBE中中,DF=BE,DFE=BEF,AF=EC,DF=BE,DFE=BEF,AF=EC, ADFADFCBE(SAS),CBE(SAS), AD=BC,DAC=BCA,ADBC,AD=BC,DAC=BCA,ADBC, 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 题组二题组二: :平行四边形判定定理平行四边形判定定理2 2的应用的应用 1.1.如图如图, ,点点A A是直线是直线l外一点外一点, ,在在l上取两点上取两点B,C,B,C,分别以分别以A,CA,C为圆为圆 心
19、心,BC,AB,BC,AB长为半径画弧长为半径画弧, ,两弧交于点两弧交于点D,D,分别连接分别连接AB,AD,CD,AB,AD,CD,则四则四 边形边形ABCDABCD一定是一定是 ( ( ) ) A.A.平行四边形平行四边形 B.B.矩形矩形 C.C.菱形菱形 D.D.梯形梯形 【解析解析】选选A.A.分别以分别以A,CA,C为圆心为圆心,BC,AB,BC,AB长为半径画弧长为半径画弧, ,两弧交两弧交 于点于点D,AD=BC,AB=CD,D,AD=BC,AB=CD,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 2.2.如图如图, ,在由六个全等的正三角形拼成的图中在由六个全
20、等的正三角形拼成的图中, ,不重不漏的平行不重不漏的平行 四边形共有四边形共有 ( ( ) ) A.3A.3个个 B.4B.4个个 C.5C.5个个 D.6D.6个个 【解析解析】选选D.D.如图如图, ,可知可知,EFADBC,EDFCAB,CDBEAF,EFADBC,EDFCAB,CDBEAF, 有有ED=EF=AF=AB=BC=CD=GE=GF=GA=GB=GC=GD,ED=EF=AF=AB=BC=CD=GE=GF=GA=GB=GC=GD,四边形四边形 EDGF,EDCG,FGBA,GCBA,EGAF,CDGBEDGF,EDCG,FGBA,GCBA,EGAF,CDGB是平行四边形是平行四
21、边形, ,共共6 6个个. . 3.3.如图如图, ,延长延长ABCABC的中线的中线ADAD至点至点E,E,使使DE=AD,DE=AD, 连接连接BE,CE,BE,CE,则四边形则四边形ABECABEC的形状为的形状为 . . 【解析解析】易证易证ABDABDECD,ECD,EDBEDBADC,ADC, 故故AB=CE,AC=BE,AB=CE,AC=BE,所以四边形所以四边形ABECABEC是平行四边形是平行四边形. . 答案答案: :平行四边形平行四边形 4.4.如图如图, ,在四边形在四边形PONMPONM中中,MOON,MOON于于O,O, 各边长在图中已标出各边长在图中已标出, ,则
22、四边形则四边形PONMPONM 是是 . . 【解析解析】在在RtRtMONMON中中, ,由勾股定理由勾股定理, ,得得4 42 2+(x+(x- -5)5)2 2=(x=(x- -3)3)2 2, ,解得解得 x=8,x=8,所以所以1111- -x=3,xx=3,x- -5=3,x5=3,x- -3=5,3=5,所以所以PM=ON,PO=MN.PM=ON,PO=MN.所以四边形所以四边形 PONMPONM是平行四边形是平行四边形. . 答案答案: :平行四边形平行四边形 5.5.若一个四边形的边长依次是若一个四边形的边长依次是a,b,c,d,a,b,c,d,且且a a2 2+b+b2 2
23、+c+c2 2+d+d2 2= = 2(ac+bd),2(ac+bd),则这个四边形是则这个四边形是 . . 【解析解析】已知条件可变形为已知条件可变形为(a(a- -c)c)2 2+(b+(b- -d)d)2 2=0,=0,所以所以a=c,b=d,a=c,b=d,根根 据两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形据两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形. . 答案答案: :平行四边形平行四边形 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,BC,BC的垂直的垂直 平分线平分线DEDE交交BCBC于于D,D,交交ABAB于于E,FE,F在直线在直线DEDE上上, ,且且AF=CE=AE.AF=CE=AE.求证求证: :四四 边形边形ACEFACEF是平行四边形是平行四边形. . 提示提示: :没有一组对边平行没有一组对边平行, ,另一组对边相等的四边形是平行四边另一组对边相等的四边形是平行四边 形的判定方法形的判定方法, ,本题可用本题可用EFEF CACA或或EF=CA,AF=CEEF=CA,AF=CE进行判定进行判定. .
