1、2.5.2 矩形的判定 1.1.能判断一个四边形为矩形能判断一个四边形为矩形.(.(重点重点) ) 2.2.会用矩形的性质和判定定理进行计算或证明会用矩形的性质和判定定理进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) ) 1.1.如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AC=BD,AC=BD,猜想四边形猜想四边形ABCDABCD的形状的形状. . 【思考思考】(1)(1)ABCABC与与DCBDCB有怎样的关系有怎样的关系? ? 提示提示: :全等全等 (2)ABC,DCB(2)ABC,DCB的度数是多少的度数是多少? ? 提示提示: :ABC=DCB=90ABC=DCB=9
2、0. . (3)(3)由此可判定四边形由此可判定四边形ABCDABCD是哪种特殊平行四边形是哪种特殊平行四边形? ? 提示提示: :矩形矩形 2.2.若一个四边形有三个内角是直角若一个四边形有三个内角是直角. . 【思考思考】(1)(1)这个四边形的第四个角是什么角这个四边形的第四个角是什么角? ? 提示提示: :直角直角. . (2)(2)这个四边形的两组对角相等这个四边形的两组对角相等, ,它是什么四边形它是什么四边形? ? 提示提示: :平行四边形平行四边形. . (3)(3)这个四边形是矩形吗这个四边形是矩形吗? ?理由是什么理由是什么? ? 提示提示: :是是. .有一个角是直角的平
3、行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形. . 【总结总结】矩形的判定方法矩形的判定方法: : (1)(1)有一个角是有一个角是_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形. . (2)(2)对角线对角线_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形. . (3)(3)有三个角是有三个角是_的四边形是矩形的四边形是矩形. . 直角直角 相等相等 直角直角 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)有一个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的四边形是矩形. . ( )( ) (2)(2)对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形. . ( )( ) (3)(3)四个角都相等的四边形是矩形四个
4、角都相等的四边形是矩形. . ( )( ) (4)(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 矩形判定定理的应用矩形判定定理的应用 【例例1 1】已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC, ADBC,ADBC,垂足为点垂足为点D,AND,AN是是ABCABC外角外角 CAMCAM的平分线的平分线,CEAN,CEAN,垂足为点垂足为点E,E, 求证求证: :四边形四边形ADCEADCE为矩形为矩形. . 【思路点拨思路点拨】由由ADBC,CEANADBC,CEAN得得ADC=AEC=90AD
5、C=AEC=90, ,再推证再推证 DAE=90DAE=90, ,即可根据即可根据“三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形”证明证明. . 【自主解答自主解答】在在ABCABC中中,AB=AC,ADBC,AB=AC,ADBC, BAD=DAC,BAD=DAC, ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线的平分线, , MAE=CAE,DAE=DAC+CAE= MAE=CAE,DAE=DAC+CAE= 180180=90=90, , 又又ADBC,CEAN,ADC=CEA=90ADBC,CEAN,ADC=CEA=90, , 四边形四边形ADCEADCE为矩形为矩形. .
6、1 2 【总结提升总结提升】矩形的判定方法矩形的判定方法 已有条件已有条件 需要条件需要条件 平行四边形平行四边形 有一个角是直角有一个角是直角 对角线相等对角线相等 一般四边形一般四边形 有三个角是直角有三个角是直角 对角线互相平分且相等对角线互相平分且相等 知识点知识点 2 2 矩形的性质和判定的综合应用矩形的性质和判定的综合应用 【例例2 2】如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,AB=BC,ABC=,AB=BC,ABC= CDA=90CDA=90,BEAD,BEAD,垂足为垂足为E.E. 求证求证:BE=DE.:BE=DE. 【解题探究解题探究】(1)A(1)A与与EBC
7、EBC有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ? 提示提示: :A=EBC.BEAD,AEB=90A=EBC.BEAD,AEB=90, , ABE+A=90ABE+A=90. .又又ABE+EBC=90ABE+EBC=90, , A=EBC.A=EBC. (2)(2)如图如图, ,作作CFBECFBE于于F,F,则则ABEABE与与BCFBCF全等吗全等吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :ABEABEBCF.A=FBC,AEB=BFC=90BCF.A=FBC,AEB=BFC=90,AB=BC,AB=BC, ABEABEBCF.BCF. (3)(3)由由(2)(2)可知可知BE=CF.B
8、E=CF. (4)CF(4)CF与与DEDE相等吗相等吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :相等相等.在四边形在四边形FEDCFEDC中中,BED=CFE=D=90,BED=CFE=D=90, , 四边形四边形FEDCFEDC是矩形是矩形,CF=DE.,CF=DE. (5)(5)由以上探究可知由以上探究可知_=CF,CF=DE,=CF,CF=DE,_=DE.=DE. BEBE BEBE 【互动探究互动探究】在条件不变的情况下在条件不变的情况下,AE,DE,CD,AE,DE,CD三条线段之间有三条线段之间有 什么关系什么关系? ? 提示提示: :AE+CD=DE.AE+CD=DE. 【总结提
9、升总结提升】矩形的性质应用及常见判定思路矩形的性质应用及常见判定思路 1.1.矩形的性质应用矩形的性质应用: : 矩形的性质较多矩形的性质较多, ,但不能混淆但不能混淆, ,平行四边形具有的性质矩形都具平行四边形具有的性质矩形都具 有有, ,矩形的性质可证明线段相等或对角线互相平分、角相等、矩形的性质可证明线段相等或对角线互相平分、角相等、 直线平行等直线平行等. . 2.2.矩形的判定思路矩形的判定思路: : (1)(1)若给出的图形是一般的四边形若给出的图形是一般的四边形, , 思路一思路一: :证明其三个角都是直角证明其三个角都是直角; ; 思路二思路二: :先证明其为平行四边形先证明其
10、为平行四边形, ,再证明其有一个角是直角或证再证明其有一个角是直角或证 明其对角线相等明其对角线相等. . (2)(2)若给出的四边形是平行四边形若给出的四边形是平行四边形, ,则直接证明其有一个角是直则直接证明其有一个角是直 角或证明其对角线相等角或证明其对角线相等. . 题组一题组一: :矩形判定定理的应用矩形判定定理的应用 1.1.下列关于矩形的说法中正确的是下列关于矩形的说法中正确的是 ( ( ) ) A.A.对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形 B.B.对角线互相平分的四边形是矩形对角线互相平分的四边形是矩形 C.C.矩形的对角线互相垂直且平分矩形的对角线互相垂直且平分
11、D.D.矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分 【解析解析】选选D.D.平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分, ,矩形是特殊的平矩形是特殊的平 行四边形行四边形,矩形的对角线互相平分矩形的对角线互相平分. .根据矩形的性质根据矩形的性质, ,又知矩又知矩 形的对角线相等形的对角线相等,矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分. . 2.2.如图如图, ,在在 ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点 O,OA=2,O,OA=2,若要使若要使 ABCDABCD为矩形为矩形, ,则则OBOB的长应的长应 该为该为 ( (
12、) ) A.4A.4 B.3B.3 C.2C.2 D.1D.1 【解析解析】选选C.C.假如平行四边形假如平行四边形ABCDABCD是矩形是矩形,OA=OC,OB=OD,AC=BD,OA=OC,OB=OD,AC=BD, OA=OB=2.OA=OB=2. 3.3.在在 ABCDABCD中中,AC,AC交交BDBD于点于点O,O,再添加一个条件再添加一个条件, ,仍不能判定四边仍不能判定四边 形形ABCDABCD是矩形的是是矩形的是 ( ( ) ) A.AB=ADA.AB=AD B.OA=OBB.OA=OB C.AC=BDC.AC=BD D.DCBCD.DCBC 【解析解析】选选A.A.根据矩形的
13、判定定理根据矩形的判定定理( (有一个角是直角的平行四有一个角是直角的平行四 边形是矩形边形是矩形) )可得可得DCBCDCBC可证四边形可证四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .矩形的对角线矩形的对角线 相等且相互平分相等且相互平分,OA=OB,AC=BD,OA=OB,AC=BD可证四边形可证四边形ABCDABCD为矩形为矩形. . 4.(20134.(2013宿迁中考宿迁中考) )如图如图, ,一个平行四边一个平行四边 形的活动框架形的活动框架, ,对角线是两根橡皮筋对角线是两根橡皮筋. .若若 改变框架的形状改变框架的形状, ,则则 也随之变化也随之变化, ,两两 条对角线长度也在发生
14、改变条对角线长度也在发生改变. .当当 为为 度时度时, ,两条对两条对 角线长度相等角线长度相等. . 【解析解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形根据对角线相等的平行四边形是矩形, ,矩形的四个角矩形的四个角 都是直角可以得到都是直角可以得到=90=90. . 答案答案: :9090 5.(20135.(2013南通中考南通中考) )如图如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且且BAD=CAE.BAD=CAE. 求证求证: :四边形四边形BCDEBCDE是矩形是矩形. . 【证明证明】BAD=CAE,BAD=CAE, BADBAD- -BAC=CAE
15、BAC=CAE- -BAC,BAC, BAE=CAD.BAE=CAD. 在在BAEBAE和和CADCAD中，中， BAEBAECAD(SAS),CAD(SAS), BEA=CDA,BE=CD,BEA=CDA,BE=CD, DE=BC,DE=BC,四边形四边形BCDEBCDE是平行四边形是平行四边形. . AEAD BAECAD ABAC ， ， ， AE=AD,AED=ADE,AE=AD,AED=ADE, BEA=CDA,BED=CDE,BEA=CDA,BED=CDE, 四边形四边形BCDEBCDE是平行四边形，是平行四边形，BECDBECD， CDE+BED=180CDE+BED=180，
16、BED=CDE=90BED=CDE=90,四边形四边形BCDEBCDE是矩形是矩形. . 题组二：题组二：矩形的性质和判定的综合应用矩形的性质和判定的综合应用 1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，ACAC的垂直平分线分别的垂直平分线分别 交交ACAC，ABAB于点于点D D，F F，BEDFBEDF交交DFDF的延长线的延长线 于点于点E E，已知，已知A=30A=30，BC=2BC=2，AF=BFAF=BF，则，则 四边形四边形BCDEBCDE的面积是的面积是( )( ) A 2 3 B 3 3 C 4 D 4 3 【解析解析】选选A ADEDE是是ACAC的垂直平分线，的垂直平分线
17、，D D是是ACAC的中点，又的中点，又 F F是是ABAB的中点，的中点，DFBCDFBC，C=90C=90，四边形四边形BCDEBCDE是矩是矩 形形A=30A=30，C=90C=90，BC=2BC=2，AB=4AB=4， 四边形四边形BCDEBCDE的面积为的面积为 AC2 3 BECD3 232 3 2.2.在四边形在四边形ABCDABCD中中,A=60,A=60,ABC=ADC=90,ABC=ADC=90,BC=2,CD=11,BC=2,CD=11, 过过D D作作DHABDHAB于于H,H,则则DHDH的长是的长是 ( ( ) ) A.7.5 B.7 A.7.5 B.7 C.6.5
18、 C.6.5 D.5.5D.5.5 【解析解析】选选A.A.过过C C作作DHDH的垂线的垂线CECE交交DHDH于于E,DHAB,CBAB,E,DHAB,CBAB, CBDH,CBDH,又又CEDH,CEDH, 四边形四边形BCEHBCEH是矩形是矩形. . HE=BC=2,HE=BC=2,在在RtRtAHDAHD中中,A=60,A=60,ADH=30,ADH=30, , 又又ADC=90ADC=90,CDE=60,CDE=60, , DCE=30DCE=30, , 在在RtRtCEDCED中中,DE= CD=5.5,DH=2+5.5=7.5.,DE= CD=5.5,DH=2+5.5=7.5
19、. 1 2 3.3.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中, ,对角线对角线ACBD,E,F,G,ACBD,E,F,G, H H分别是各边的中点分别是各边的中点, ,若若AC=8,BD=6,AC=8,BD=6,则四边形则四边形 EFGHEFGH的面积是的面积是 . . 【解析解析】E,F,G,HE,F,G,H分别是四边形分别是四边形ABCDABCD各边的中点各边的中点, , EHBDEHBD且且EH= BD,FGBDEH= BD,FGBD且且FG= BD,EHFG,EH=FG,FG= BD,EHFG,EH=FG,同理同理 EFHG,EF=HG,EFHG,EF=HG, 又又ACBD,AC
20、BD,四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形, , 四边形四边形EFGHEFGH的面积的面积=EF=EFEH= ACEH= AC BD= BD= 8 8 6=12.6=12. 答案答案: :1212 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4.4.如图如图,ABCD,A=B=90,ABCD,A=B=90,AB=3cm,BC=,AB=3cm,BC= 2cm,2cm,则则ABAB与与CDCD之间的距离为之间的距离为 cm.cm. 【解析解析】ABCD,A+D=180ABCD,A+D=180,B+C=180,B+C=180, , A=B=90A=B=90,C=D=90,C=D=90, ,
21、四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形,AB,AB与与CDCD之间的距离为之间的距离为BC,BC=2cm,BC,BC=2cm, ABAB与与CDCD之间的距离为之间的距离为2cm.2cm. 答案答案: :2 2 5.(20135.(2013云南中考云南中考) )已知在已知在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC =5,BC=6,AD=5,BC=6,AD是是BCBC边上的中线边上的中线, ,四边形四边形ADBEADBE是是 平行四边形平行四边形. . (1)(1)求证求证: :四边形四边形ADBEADBE是矩形是矩形. . (2)(2)求矩形求矩形ADBEADBE的面积的面积. . 【解析解
22、析】(1)AB=AC(1)AB=AC，ADAD是是BCBC边上的中线，边上的中线， ADBCADBC，ADB=90ADB=90，四边形四边形ADBEADBE是平行四边形，是平行四边形，平平 行四边形行四边形ADBEADBE是矩形是矩形. . (2)AB=AC=5(2)AB=AC=5，BC=6BC=6，ADAD是是BCBC的中线，的中线， BD=DC=6BD=DC=6 =3=3，在，在RtRtACDACD中，中， AD= AD= S S矩形 矩形ADBEADBE=BD =BDAD=3AD=34=124=12 1 2 2222 ACDC534 ， 【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知已知: :如图如图, , ABCDABCD各角的平分线分别相交各角的平分线分别相交 于点于点E,F,G,H,E,F,G,H,求证求证: :四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形. . 提示提示: :一个角是一个角是9090的四边形不一定是矩形的四边形不一定是矩形, ,还要说明它是平行还要说明它是平行 四边形或还有另外两个角是直角四边形或还有另外两个角是直角. .
