1、 河南省八市河南省八市 20192019 届高三数学第五次测评试题届高三数学第五次测评试题 文文 一、单选题一、单选题 1 1设集合设集合1,2,3,4,5A，2 , n Bx xnZ，则，则AB （ ） A A 4 B B2,4 C C1,2,4 D D1,3,5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】 0 21 ， 1 22 ， 2 24 1,2,4AB 本题正确结果：C 【点睛】 本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2 2已知复数已知复数 2 12 i z i ，则复数，则复数z在复平面内对应的在复平面内对应的点的坐标为（点的坐标为（ ） A
2、A0, 1 B B0,1 C C1, 1 D D1,0 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据复数除法运算求得z，从而可得对应点的坐标. 【详解】 21225 1212125 iiii zi iii z对应的点坐标为：0, 1 本题正确选项：A 【点睛】 本题考查复数的几何意义，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 3 3命题命题“0,x ，1sin x ex ”的否定是（的否定是（ ） A A0,x ，1sin x ex B B 0,x ， 1sin x ex C C0,x ，1sin x ex D D 0,x ， 1sin x ex 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据含全称量词命题的
3、否定即可得到结果. 【详解】 根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：0,x ，1sin x ex 本题正确选项：C 【点睛】 本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 4 4函数函数 1 ln1 y xx 的图象大致为（的图象大致为（ ） A A B B C C D D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由函数 1 ln(1)fxx x ，可得 10f和 2 10fe ，利用排除法，即可 求解，得到答案. 【详解】 由题意，函数 1 ln(1)fxx x ，可得 11 ln20f ，可排除 C、D， 又由 2 22 11 1ln10 11 fee ee ，排除 B，故选 A. 【点睛】
4、 本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式，合理利用排除法求解 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5 5已知已知sin3cos 36 ，则，则tan2（ ） A A4 3 B B 3 2 C C4 3 D D 3 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 由题意利用两角差的正余弦公式展开求得 tan 的值， 再利用二倍角公式求得tan2 的值 【详解】 由题 1331 sincos3cossin 2222 aaaa 骣 琪 -=-+ 琪 桫 ，则 3 tan 2 故tan2 2 2tan =4 3 1 tan a a - - 故选：A 【点睛】
5、 本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题 6 6已知函数已知函数 2 1 x f x x ，则（，则（ ） A A f x在在0,1单调递增单调递增 B B f x的最小值为的最小值为 4 4 C C yf x的图象关于直线的图象关于直线1x 对称对称 D D yf x的图象关于点的图象关于点1,2对称对称 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据0,1x时， 0fx ，可排除A；当10x ， 0f x ，可排除B； 2fxf x，可排除C；114fxfx可知D正确. 【详解】 由题意知： 2 2 222 2122 111 x xxx xxx fx x
6、xx 当0,1x时， 0fx ，则 f x在0,1上单调递减，A错误； 当10x 时， 0f x ，可知 f x最小值为4不正确，B错误； 2 2 2 21 x fxf x x ，则 f x不关于1x 对称，C错误； 22 11 114 xx fxfx xx ，则 f x关于1,2对称，D正确. 本题正确选项：D 【点睛】 本题考查函数单调性、最值、对称轴和对称中心的求解问题，考查函数性质的综合应用，属 于中档题. 7 7已已知圆知圆 22 220xyxya截直线截直线 40xy 所得弦的长度小于所得弦的长度小于 6 6，则实数，则实数a的取的取 值范围为（值范围为（ ） A A217,217
7、 B B217,2 C C15, D D15,2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据圆的半径大于零可求得2a；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离d， 利用弦长 22 26rd 可求得15a；综合可得a的取值范围. 【详解】 由题意知，圆的方程为： 22 112xya，则圆心为1, 1，半径为 2a 则：20a，解得：2a 圆心到直线40xy的距离为： 1 1 4 2 2 2 d 2 286a ，解得：15a 综上所述：15,2a 本题正确选项：D 【点睛】 本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解， 关键是明确弦长等于 22 2 rd ， 易错点是忽略 半径必须大于零的条件. 8 8如
8、图，网格纸上小正方形的边长为如图，网格纸上小正方形的边长为 1 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各 个面中是直角三角形的个数为（个面中是直角三角形的个数为（ ） A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D4 4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案 【详解】 三视图还原为如图所示三棱锥 A-BCD： 由正方体的性质得A,BCBCDACD 为直角三角形，ABD 为正三角形 故选：C 【点睛】 本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档 9 9已知椭圆已知椭圆C： 22
9、 22 10,0 xy ab ab 的右焦点为的右焦点为F，过点，过点F作圆作圆 222 xyb的切线，若的切线，若 两条切线互相垂直，则椭圆两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（的离心率为（ ） A A 1 2 B B 2 2 C C 2 3 D D 6 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意画出图形，可得 2bc ，两边平方后结合隐含条件得答案 【详解】 如图， 由题意可得， 2bc ，则 2b 2c2， 即 2（a 2c2）c2，则 2a23c2， 2 2 2 3 c a ，即e 6 3 c a 故选：D 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 1
10、010ABC中， 角中， 角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c， 若， 若 2b ，4c . .且且cos3 cosaBbA， 则则ABC的面积为（的面积为（ ） A A2 2 B B3 3 C C4 4 D D3 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据余弦定理构造方程可求得10a ，从而得到cosA，根据同角三角函数求得 sin A，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】 由余弦定理得： 222222 3 22 acbbca ab acbc ，即 22 1623 2 16aa 解得：10a 222 2 16 102 cos 222 24 bca A bc 2 2 sin1
11、cos 2 AA 112 sin242 222 ABC SbcA 本题正确选项：A 【点睛】 本题考查余弦定理解三角形、同角三角函数值求解、三角形面积公式的应用，关键是能够利 用余弦定理解得边长和角度. 1111已知函数已知函数 ln ,0 ,0 x x f x ax x ，若方程，若方程 fxf x有五个不同的实数根，则有五个不同的实数根，则a的取的取 值范围是（值范围是（ ） A A0, B B 1 0, e C C,0 D D0,1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（x）f（x）有五个不同的实数 根等价于yf（x）的图象与yg（x）的图象有 5
12、 个交点，作图可知，只需yax与曲线y lnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与ylnx切于 点P（x0，y0） ，得lnx01，即f（e） 1 e ，即过原点的直线与ylnx相切的直线方程为 y 1 e x，即所求a的取值范围为 0 1 a e ，得解 【详解】 设g（x）f（x） ，则yg（x）的图象与yf（x）的图象关于原点对称， 方程f（x）f（x）有五个不同的实数根等价于函数yf（x）的图象与yg（x）的图 象有 5 个交点， 由图可知，只需yax与曲线ylnx在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与ylnx切于点P（x0，y0） ， 由f（x） 1
13、 x ， 则ylnx的切线为ylnx0 0 1 x （xx0） ， 又此直线过点（0，0） ， 所以lnx01， 所以x0e， 即f（e） 1 e ， 即过原点的直线与ylnx相切的直线方程为y 1 e x， 即所求a的取值范围为 0 1 a e ， 故选：B 【点睛】 本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题 1212在一个圆锥内有一个半径为在一个圆锥内有一个半径为R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切， 若该圆锥体积的最小值为若该圆锥体积的最小值为 9 2 ，则，则R （ ） A A1 1 B
14、 B3 C C2 2 D D2 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为r，高为h ,得 22 rhhrR=+ ，进一 步得圆锥体积 223 22 2222 111 V 333 h Rh r hhR hRhR ppp= - ，求导求最值即可求解 【详解】 几何体如图一所示：其正视图如图二所示 设圆锥的底面圆心为 O, 半径为r，高为h,则 OA=h, 22 rhhrR=+ 又圆锥体积 223 22 2222 111 V 333 h Rh r hhR hRhR ppp= - 令 ( ) f h = () 3 2 22 1 3 h RhR hR p - ，则(
15、 ) () () 222 2 2 22 3 1 3 hhR fhR hR p - = - 当 ( )( ) 0,3 ;0,3fhhR fhRhR?，故 ( ) f h在( ) 3 ,R +? 单调递增， 在( ) 3RR，单调递减，故 ( ) f h在 3hR= 取得最小值，此时 4 2 min 22 139 3,3 332 R VRRR RR pp=? - 故选：B 【点睛】 本题考查球的组合体问题，考查利用导数求最值，考查空间想象和转化化归能力，是难题 二、填空题二、填空题 1313已知向量已知向量1,1a ，2,bm ，若若2/ /abb，则实数，则实数m_._. 【答案】【答案】-2
16、【解析】【解析】根据向量坐标运算可求得24,2abm，根据平行关系可构造方程求得结果. 【详解】 由题意得：24,2abm 2/ /abb 42 2mm，解得：2m 本题正确结果：2 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程. 1414设设x，y满足约束条件满足约束条件 340 340 0 xy xy xy ，则，则2xy的最小值是的最小值是_._. 【答案】【答案】-3 【解析】【解析】设2zxy，根据约束条件画出可行域，可知z取最小值时，2yxz在y轴截 距最大；由图象可知当2yxz过A时截距最大，求出A点坐标，代入可得结果. 【详解】 设2zxy，由约束条件可得
17、可行域如下图阴影部分所示： 则z取最小值时，2yxz在y轴截距最大 由图象可知，当2yxz过A时，截距最大 由 340 0 xy xy 得：1,1A min 2 13z ，即min23xy 本题正确结果：3 【点睛】 本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在y轴截距的最值求解问题， 根据图象平移求得结果. 1515已知将函数已知将函数 sin06, 22 f xx 的图象向右平移的图象向右平移 3 个单位长个单位长 度得到函数度得到函数 g x的图象，若的图象，若 f x和和 g x的图象都关于的图象都关于 4 x 对称，则对称，则 _._. 【答案】【答案】 3 4 【解析
18、】【解析】根据左右平移可得 g x解析式；利用对称性可得关于和的方程组；结合和 的取值范围可分别求出和的值，从而得到结果. 【详解】 由题意知： sin 33 g xfxx f x和 g x的图象都关于 4 x 对称 , 42 , 432 kkZ kkZ ，解得：3 kk ，,k kZ 06 3 , 4 kkZ 又 22 4 3 4 本题正确结果： 3 4 【点睛】 本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根 据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组. 1616 已知双曲线 已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、 右顶点分别为的左、
19、 右顶点分别为A，B， 点， 点P在曲线在曲线C上，上， 若若PAB中，中， 2 PBAPAB ，则双曲线，则双曲线C的渐近线方程为的渐近线方程为_._. 【答案】【答案】y x 【解析】【解析】利用已知条件求出P的坐标（x，y）满足的条件，然后求解a，b的关系即可， 【详解】 如图，过B作BMx轴， PBAPAB 2 ，则PABPBM， PAB+PBx 2 即kPAkPB1 设P（x，y） ，又A（a，0） ，B（a，0） 1 yy xa xa ，x 2y2a2， ab，则双曲线C的渐近线方程为yx， 故答案为：yx 【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力属于中档
20、题 三、解答题三、解答题 1717已知等差数列已知等差数列 n a中，中， 3 3a ， 2 2a ， 4 a， 6 2a 顺次成等比数列顺次成等比数列. . （1 1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2 2）记）记 21 1 1 n n n nn a b a a ， n b的前的前n项和项和 n S，求，求 2n S. . 【答案】【答案】(1) n an； （2） 2 21 n n 【解析】【解析】 （1）利用三项成等比数列可得 2 426 22aaa，利用 3 a和d来表示该等式， 可求得d；利用等差数列通项公式求得结果； （2）由（1）可得 11 1 1 n n b
21、nn ，则 2n S 可利用裂项相消的方法来进行求解. 【详解】 （1）设等差数列 n a的公差为d 2 2a ， 4 a， 6 2a 顺次成等比数列 2 426 22aaa 2 333 232adadad，又 3 3a 2 351 3ddd，化简得： 2 210dd ，解得：1d 3 3331 n aandnn （2）由（1）得： 21 1 2111 11 11 1 n nn n n nn an b a an nnn 21232 1111111 1 22334221 nn Sbbbb nn 12 1 2121 n nn 【点睛】 本题考查等差数列通项公式的求解、 裂项相消法求数列的前n项和的
22、问题， 关键是熟练掌握关 于通项中涉及到1 n 的裂项方法. 1818 如图， 三棱柱 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 平面中， 平面 11 ACC A 平面平面ABC， 1 AAAC，90ACB. . （1 1）求证：平面）求证：平面 11 ABC 平面平面 11 A B C； ； （2 2）若）若 1 60A AC， ，22ACCB，求四棱锥，求四棱锥 11 ABCC B的体积的体积. . 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 2 3 3 【解析】【解析】 （1）根据面面垂直性质可证得BC平面 11 ACC A，从而可得 1 BCAC，利用平行 关系可得 111 ACBC；根
23、据四边形 11 ACC A是菱形，可得 11 ACAC；根据线面垂直判定定 理可得 1 AC 平面 11 ABC，根据面面垂直判定定理可证得结论； （2）由图形可知 1 11 111 22 A BCC BA CC BBACC VVV ，可利用三棱锥体积公式求得 11 BACC V ，代入可求得结果. 【详解】 （1）平面 11 ACC A 平面ABC，平面 11 ACC A平面ABCAC，BC 平面ABC， 90ACB BC平面 11 ACC A 1 AC 平面 11 ACC A 1 BCAC 11/ / BCBC 111 ACBC 四边形 11 ACC A是平行四边形，且 1 AAAC 四边
24、形 11 ACC A是菱形 11 ACAC 1111 ACBCC 1 AC平面 11 ABC 又 1 AC 平面 11 A B C 平面 11 ABC 平面 11 A B C （2）四边形 11 ACC A是菱形， 1 60A AC，2AC 1 1 2 2 sin603 2 ACC S 11/ / BCBC， 11 BCBC，BC平面 11 ACC A，1BC 111 11 113 3 1 333 BACCACC VSBC ， 1 11 111 2 3 22 3 A BCC BA CC BBACC VVV 即四棱锥 11 ABCC B的体积为 2 3 3 【点睛】 本题考查面面垂直关系的证明、
25、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定 理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型. 1919某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成 年人安全知识抽样调查年人安全知识抽样调查. .已知该县成年人中已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用 分层抽样的方法抽取了分层抽样的方法抽取了 100100 名成年人，然后对这名成年人，然后对这 100100 人进行问卷调查，所得分数的频率
26、分布人进行问卷调查，所得分数的频率分布 直方图如下图所示直方图如下图所示. .规定分数在规定分数在 8080 以上（含以上（含 8080）的为）的为“安安全意识优秀全意识优秀”.”. 拥有驾驶证拥有驾驶证 没有驾驶证没有驾驶证 合计合计 得分优秀得分优秀 得分不优秀得分不优秀 2525 合计合计 100100 （1 1）补全上面）补全上面22的列联表，并判断能否有超过的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为的把握认为“安全意识优秀与是否拥安全意识优秀与是否拥 有驾驶证有驾驶证”有关？有关？ （2 2）若规定参加调查的）若规定参加调查的 100100 人中分数在人中分数在 7070 以上（含以
27、上（含 7070）的为）的为“安全意识优良安全意识优良”，从参加调，从参加调 查的查的 100100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出 5 5 人，再从人，再从 5 5 人中随机抽取人中随机抽取 3 3 人，试求抽取的人，试求抽取的 3 3 人中恰有一人为人中恰有一人为“安全意识优良安全意识优良”的概率的概率. . 附表及公式：附表及公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中，其中na b cd . . 2 P Kk 0.150.15 0.100.10 0.050.05 0.0250.025 0.0100.010 0.
28、0050.005 0.0010.001 k 2.0722.072 2.7062.706 3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.879 10.82810.828 【答案】【答案】 （1）列联表见解析；有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有 关； （2） 3 5 P 【解析】【解析】 （1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得 2 6.635K ，从而可得结论； （2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根 据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取2人； 采用列举法列出所有基本事件， 找到 符合题
29、意的基本事件个数，利用古典概型求得结果. 【详解】 （1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：100 40%40人 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：40 25 15人 由频率分布直方图知得分优秀的人数为：100 100.015 0.00520人 没有驾驶证且得分优秀的人数为：20 15 5人 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：100 40 555 人 可得列联表如下： 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 15 5 20 得分不优秀 25 55 80 合计 40 60 100 2 2 10015 5525 51225 126.635 40 60 20 8096 K 有超过99%的把握认为“安全意
30、识优秀与是否拥有驾驶证”有关 （2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为： 1000.0200.015 0.0051040 按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2； 其余的3人记为, ,a b c 从中随机抽取3人，基本事件有：1,2,a，1,2,b，1,2,c，1, , a b，1, , a c，1, , b c， 2, , a b，2, , a c，2, , b c， , ,a b c共10个 恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个 恰有一人为“安全意识优良”的概率为： 63 105 P 【点睛】 本题考查利用频率分布直方图计算频率和频数、独立性检验的
31、应用、分层抽样的基本原理、 古典概型的概率求解，属于中档题. 2020已知已知O为坐标原点，过点为坐标原点，过点1,0M的直线的直线l与抛物线与抛物线C： 2 2(0)ypx p交于交于A，B两两 点，且点，且 3OA OB （1 1）求抛物线）求抛物线C的方程；的方程； （2 2）过点）过点M作直线作直线 ll交抛物线交抛物线C于于P，Q两点，记两点，记OAB，OPQ的面积分别为的面积分别为 1 S， 2 S，证明： ，证明： 22 12 11 SS 为定值为定值. . 【答案】【答案】 （1） 2 4yx； （2）详见解析. 【解析】【解析】 （1）设直线l的方程为xmy+1，与抛物线C的
32、方程联立消去x得关于y的方程，利 用根与系数的关系表示 3OA OB ，从而求得p的值； （2）由题意求出弦长|AB|以及原点 到直线l的距离，计算OAB的面积S1，同理求出OPQ的面积S2，再求 22 12 11 SS 的值 【详解】 （1）设直线l：1xmy，与 2 2ypx联立消x得， 2 220ypmyp. 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2yypm， 12 2y yp . 因为g x（ ），所以 11122221 11OA OBx xymyy yyym 2 1212 11my ym yy 22 1221213mppmp ， 解得2p . 所以抛物线C的方程为
33、2 4yx. （2）由（1）知1,0M是抛物线C的焦点，所以 2 1212 244ABxxpmymypm . 原点到直线l的距离 2 1 1 d m ，所以 22 2 11 412 1 2 1 OAB Smm m . 因为直线 l过点1,0且 ll，所以 2 2 2 11 2 12 OPQ m S mm . 所以 2 22 22 12 1111 44 14 1 m SSmm . 即 22 12 11 SS 为定值 1 4 . 【点睛】 本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中 档题 2121已知函数已知函数 lnf xxxab，曲线，曲线 yf x在点在
34、点 1,1f处的切线为处的切线为 210xy . . （1 1）求）求a，b的的值；值； （2 2）若对任意的）若对任意的1,x， 1f xm x恒成立，求正整数恒成立，求正整数m的最大值的最大值. . 【答案】【答案】 （1）1a ，0b； （2）3 【解析】【解析】 （1）根据切线方程可求得 1f且 12 f ，从而构造方程求得结果； （2）利用分 离变量的方式可得 ln1 1 xx m x 在1,x上恒成立；令 ln1 1 xx g x x ，1x ， 通过导数可知 0 3,4x，当 0 1,xx时， 0g x，当 0, xx时， 0g x， 从而可得 0 min g xg x，可求得
35、00 3,4g xx，则 0 3,4mx，得到所求结果. 【详解】 （1）由 lnf xxxab得： ln1fxxa 由切线方程可知： 12 1 1f 112fa ， 11fab，解得：1a ，0b （2）由（1）知 ln1f xxx 则1,x时， 1f xm x恒成立等价于1,x时， ln1 1 xx m x 恒成立 令 ln1 1 xx g x x ，1x ，则 2 ln2 1 xx gx x . 令 ln2h xxx，则 11 1 x h x xx 当1,x时， 0h x ，则 h x单调递增 31 ln30h ， 422ln20h 0 3,4x，使得 0 0h x 当 0 1,xx时，
36、 0g x； 0, xx时， 0g x 00 0 min 0 ln1 1 xx g xg x x 000 ln20h xxx 00 ln2xx 00 00 min 0 2 1 3,4 1 xx g xg xx x 0 3,4mx，即正整数m的最大值为3 【点睛】 本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立 问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得 函数的最值，从而求得结果. 2222选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系在直角坐标系xOy中，曲线中，曲线 1 C： 5cos
37、25sin x y （为参数）为参数）. .以原点以原点O为极点，为极点，x轴的轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C： 2 4 cos3. . （1 1）求）求 1 C的普通方程和的普通方程和 2 C的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2 2）若曲线）若曲线 1 C与与 2 C交于交于A，B两点，两点，A，B的中点为的中点为M，点点0, 1P，求，求PMAB的的 值值. . 【答案】【答案】 （1） 1 C的普通方程为 2 2 25xy， 2 C的直角坐标方程为 22 430xyx； （2）3. 【解析】【解析】 （1）直接消去参数可得C1的普通方程；结合
38、 2x2+y2，xcos 得 C2的直角坐 标方程； （2）将两圆的方程作差可得直线AB的方程，写出AB的参数方程，与圆C2联立，化 为关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义及根与系数的关系求解 【详解】 （1）曲线 1 C的普通方程为 2 2 25xy. 由 222 xy， cosx ，得曲线 2 C的直角坐标方程为 22 430xyx. （2）将两圆的方程 2 2 25xy与 22 430xyx作差得直线AB的方程为 10xy . 点0, 1P在直线AB上，设直线AB的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 代入 22 430xyx化简得 2 3 240tt ，所以
39、 12 3 2tt， 1 2 4t t . 因为点M对应的参数为 12 3 2 22 tt ， 所以 2 12 12121 2 3 2 4 22 tt PMABttttt t 3 2 184 43 2 . 【点睛】 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t 的几何意义，是中档题 2323选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数已知函数 21f xxax. . （1 1）当）当1a 时，求不等式时，求不等式 1f x 的解集；的解集； （2 2）若）若 20f xa恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围. . 【答案】【
40、答案】 （1）,0； （2） 1,1 . 【解析】【解析】 （1）将a1 代入f（x）中去绝对值，然后分别解不等式； （2）f（x）a20 恒 成立等价于f（x）maxa+2，求出f（x）的最大值后解不等式 【详解】 （1）当1a 时， 3,2 211 2 ,12 3,1 x f xxxxx x ， 当2x 时，3 1 ，无解； 当12x 时，1 21x，得0x，所以10x ； 当1x时，31，符合. 综上，不等式 1f x 的解集为,0. （2）因为 20f xa恒成立等价于 max2f xa， 因为212121xaxxaxa， 所以212121axaxa . 所以212aa，所以2212aaa ，解得11a . 所以所求实数a的取值范围为 1,1 . 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题
