1、 数学（理） 共 6 页 第 2 页 陕西省渭南市大荔县陕西省渭南市大荔县 20202020 届高三数学届高三数学 4 4 月模拟考试试题月模拟考试试题 理理 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合31,06 2 xxNxxZxM，则NM（ ） A. 1，3） B. 1，3 C. 1，2 D. 1，2，3 2.若复数)3(2iiz，则z的共轭复数z=（ ） A.i 26 B.i 62 C. i 62 D. i 26 3.若向量3 , 2a，3 , xb，
2、且)2(baa=3，则实数x的值为（ ） A. 2 1 B. 2 1 C. -2 D. 2 4.某食品的保鲜时间y（单位： 小时） 与储存温度x（单位： ） 满足函数关系 bkx ey （ 2.718e 为自然对数的底数，bk,为常数） ， 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时， 在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）小时. A. 22 B. 23 C. 33 D. 24 5.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数 为（ ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 6.设Rba,，若ba，则 A. ba B. ba
3、11 C. 22 ba D. ba 33 7.平面平面 ，点CA,DB,，则直线AC直线BD的充要条件是 （ ） A.ABCD B.ADCB C.AB与CD相交 D.DCBA,四点共 面 数学（理） 共 6 页 第 1 页 8.抛物线xy4 2 的焦点F是椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点，且它们的交点 M到F的距离为 3 5 ，则a的值为（ ) A. 4 B. 2 C. 3 1 D. 9 1 9.设函数)2 2 sin(32cos)(xxxf ，则下列结论错误的是（ ） A.2为)(xf的一个周期 B.)(xfy 的图像关于直线 2 x对称 C.)(xf 的一个
4、零点为 4 x D.)(xf的最大值为 2 10.已知 5 4 2cos), 4 , 0(aa ，则) 4 (sin 2 a（ ） A. 5 1 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 11.已知以双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的右焦点F为圆心，以a为半径的圆与 直线x a b y 交于BA,两点，若aAB2，求双曲线C的离心率为（ ） A. 2 B.3 C. 2 D. 2 6 12.定义域为R的函数)(xf满足)(2) 1(xfxf，且当1 , 0x时，xxxf 2 )(， 则当1, 2 x时，)(xf的最小值为（ ） A. 16 1 B. 8 1 C.
5、 4 1 D. 0 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.某车间为了规定工时定额， 需要确定加工零件所花费的时间， 为此进行了 5 次试验， 根据收集到的数据（如表） ， 零件数x个 10 20 30 40 50 加工时间(min)y 62 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程546 . 0xy.由于后期没有保存好， 导致表中有一个 数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 . 14.已知函数)(xf是定义在R上的奇函数,当0x时, x xf21)(,则)(xf的解析 式是 . 15.在ABC中， 角CBA,所对的边分别为cba, 已知7, 5, 3cba，
6、 则A B C 的面积为 16.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有： “割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式 1 1 1 1 1 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 )0( 1 1xx x 求得 2 51 x，类似上述过程，则 2323= . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分）已知正项数列 n a满足 2 2 1
7、nnn aaa,且9, 1 31 aa。 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设nab nn 2,求数列 n b的前 4 项和 4 S。 18. （12 分） 如图， 四棱锥ABCDP中，ABCD,2, 2 ABBDPABCD ， 1BCCDPDPA. （1）求证：平面PAD平面ABCD； （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 19.（12 分）为推进“千村百镇计划”,2018 年 4 月某新能源公司开展“电动莆田 绿色 数学（理） 共 6 页 第 3 页 数学（理） 共 6 页 第 4 页 出行” 活动， 首批投放 200 台 P 型新能源车到莆田多个村镇， 供当地村民免费试用三
8、个月 试 用到期后， 为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况， 该公司要求每位试用者填写 一份性能综合评分表（满分为 100 分） 最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如下茎叶图： （1）求 40 个样本数据的中位数m； （2）已知 40 个样本数据的平均数80a，记m与a的最大值为M该公司规定样本 中试用者的“认定类型” ：评分不小于M的为“满意型” ，评分小于M的为“需改进型” 请根据 40 个样本数据，完成下面22列联表： 根据22列联表判断能否有%99的把握认为“认定类型”与性别有关？ 为做好车辆改
9、进工作， 公司先从样本 “需改进型” 的试用者按性别用分层抽样的方法， 从中抽取 8 人进行回访， 根据回访意见改进车辆后， 再从这 8 人中随机抽取 3 人进行二次试 用，记这 3 人中男性人数为X，求X的分布列及数学期望. 附公式附公式: )()()( )( 2 2 dcbadbca bcadn K 2 0 ()P KK 0.05 0.01 0.005 0.001 0 K 3.841 6.635 7.879 10.828 20.（12 分）已知椭圆1 2 : 2 2 2 y a x C过点) 1 , 2(P （1）求椭圆C的方程，并求其离心率； （2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限
10、内一点且在椭圆C上（点A不在直线 l上） ， 点A关于l的对称点为 A ， 直线P A 与C交于另一点B 设O为原点， 判断直线AB 与直线OP的位置关系，并说明理由 21.（12 分）已知函数n x xxf1 ) 1 ()(x， x k xxg)(. （1）证明：函数)(xf的极小值点为 1； （2）若函数)()(xgxfy在, 1有两个零点，证明: 8 17 1 k. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 数学（理） 共 6 页 第 5 页 数学（理） 共 6 页 第 6 页 的第一题计分。 22. （10 分） 22. （10 分） 在
11、直角坐标系xoy中， 曲线 1 C的参数方程为: sin5 cos51 y x (为参数)，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标 方程为)( 4 R . （1）求 1 C的极坐标方程； （2）若直线 2 C与曲线 1 C相交于NM,两点，求MN. 23.（10 分）已知函数21)(xaxxxf. （1）当1a时，求不等式0)(xf的解集； （2）设1a，且存在1 , 0 ax，使得0)( 0 xf，求a的取值范围. ? ?高三数学（理科）试卷高三数学（理科）试卷 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 D 2.【答案】 B 3.【答案】 C 4.
12、【答案】D 5.【答案】 A 6.【答案】 D 7.【答案】D 8.【答案】 B 9.【答案】 D 10.【答案】 D 11.【答案】D 12.【答案】 A 二、填空题 13.【答案】 53 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】3 三、解答题 17.【解析】解：（1）正项数列 满足 , 数列 为等比数列且公比， 3 分 =1, =9 ， ， ， 数列 的通项公式6 分 （2） 数列的前 4 项和为.12 分 18.【答案】 （1）证明：ABCD ， BCD ，PAPDCDBC1， BD ，ABC ， ， ， AB2，AD ，AB 2AD2+BD2 ， ADBD ， 3 分 PABD
13、， PAADA ， BD平面PAD ， BD 平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD 6 分 （2）解：取AD中点O ， 连结PO ， 则POAD ， 且PO ， 由平面PAD平面ABCD ， 知PO平面ABCD ， 以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴， 直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（ ，0），B（ ，0），C（ ，0），P（0，0， ）， （1，0，0）， （ ， ），8 分 设平面PBC的法向量 （x ， y ， z）， 则 ，取z ，得 （0， ， ）， （ ， ），10 分 cos ， 直线PA与平面PBC所成角的
14、正弦值为 12 分 19.【答案】 （1）解：由茎叶图可知： 3 分 （2）解：因为 ， ，所以 5 分 由茎叶图值，女性试用者评分不小于 的有 个，男性试用者评分不小于 的有 个，根据题 意得 列联表： 满意型 需改进型 合计 女性 男性 合计 由于 查表得： 所以有 的把握认为“认定类型”与性别有关8 分 由知， 从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性 名， 男性 名 的所有可能取值为 ， ， 则 ， ， 所以 的分布列如下： 所以 的数学期望为： 12 分 20.【答案】 （1）解：由椭圆方程椭圆 过点 ，可得 ， 椭圆 的方程为 ，离心率 4 分 （2）解：直线 与
15、直线 平行证明如下： 设直线 ， ， 设点 的坐标为 ， ， 由 得 ， ， ，同理 ， ，8 分 由 ， ，有 ， 在第四象限， ，且 不在直线 上 ， 又 ，故 ，直线 与直线 平行12 分 21.【答案】 （1）证明：因为 ， 当 时， ， ， 所以 在区间 递减；3 分 当 时， ， 所以 ，所以 在区间 递增； 且 ，所以函数 的极小值点为 15 分 （2）解：函数 在 有两个零点， 即方程 在区间 有两解， 令 ，则 令 ，则 ，7 分 所以 在 单调递增， 又 ， 故存在唯一的 ，使得 ， 即 ， 所以 在 单调递减，在区间 单调递增， 且 ， 又因为 ，所以 ， 10 分 方程关于 的方程 在 有两个零点， 由 的图象可知， ， 即 .12 分 22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)， 转换为普通方程为: ， 转换为极坐标方程为: .5 分 （2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为: (为参数). 把直线的参数方程代入 ， 得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)， 故: ， ， 所以 .10 分 23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于 或 或 解得 或 或 即不等式 的解集为 .5 分 （2）当 时， ，不等式 可化为 ， 若存在 ，使得 ，则 ， 所以 的取值范围为 10 分
