1、高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.1.如果复数为纯虚数，那么实数的值为A2B1C2 D1或 2 2. 已知平面向量=（1，3），=（4，2），与垂直，则是A. 1 B. 2 C. 2 D. -13已知数列为等差数列，且，则的值为A B C D4下列命题中，真命题是A BC命题“若”的逆否命题 D是的充分条件5给定以下说法，其中错误的个数为（1）函数在区间上有唯一的零点；（2）向量与向量共线，则向量与向量方向相同或是方向相反；（3）若角，则一定有；（4）若,使导数，则函数在处取得极大或是极小值。A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个6函数
2、的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.37为全面开展“我与中国梦”活动，2013年我省派出5名优秀大学生去北京的三所大学进行学习交流，每所大学至少派一名大学生，则不同的分配方法有()A80种 B90种 C120种 D150种8. 设,若直线与圆相切,则的取值范围是AB CD9满足，它的前项和为，则满足的最小值是A12 B11 C10 D910. 若实数a、b、c使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则a，b，c的一种可能取值依次为A-2，-1，2B2，0，-2C D二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分.11. 函数的单调递增区间是 。12已知的展开式中的常数项为
3、 13. 三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_.14袋中装有3个红球和2个白球，如果不放回依次抽取两次，记A=第一次抽到红球 B=第二次抽到红球. 则 = . 15. 函数的定义域为，若存在闭区间m,n D，使得函数满足：在m,n上是单调函数；在m,n上的值域为2m,2n，则称区间m,n为的“倍值区间”下列函数中存在“倍值区间”的有 (填上所有正确的序号) ； 三、解答题:本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分13分）已知向量，函数，()求函数的最小正周期；()在中， 分别是角的对边，且，且，求的值。17（本小题满分13分）
4、设，其中为正实数.（1）当时，求的极值点；（2）若为上的单调函数，求的取值范围.18（本小题满分13分） 中华人民共和国道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车. 我省福州市公安局交通管理部门于2013年4月的一天对某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有4人，依据上述材料回答下列问题： （）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数； （）从违法驾车的1
5、0人中抽取4人，求抽取到醉酒驾车人数的分布列和期望； （）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是02和05，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的 依此计算被查处的10名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率.（只需列式，不必求值） 19. （本小题满分13分）已知四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2，是棱的中点()求证：；() 求证：；()求直线与直线所成角的余弦值20（本小题满分13分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，
6、而且施工时只能挖土，不准向河道填土()建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；()试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？ 21（本小题满分14分） (1) 设矩阵所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换（）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程(2)已知直线（t为参数），（为参数）.（）当时，求与的交点坐标；（）过坐标原点做的垂线，垂足为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程.(3)已知均为正实数，且.求的最大值.建瓯二中2013届高中毕业班5月份第二次模拟考试理科数学试卷参考答案及
7、评分标准1-10：ADBDB CDDBC11. 12. 13. 14. 15.16、解：（1） -3分函数的最小周期 -5分（2） -8分 -9分 是三角形内角 ， 即： -10分 即： -11分 将可得： 解之得： ， -13分17.解：，3分00递增极大值递减极小值递增（1）当时，若，则， 是极大值点， 是极小值点；7分（2）记，则，为上的单调函数，则在上不变号， 或对恒成立，11分由或或， 的取值范围是或. 13分18解：（1）违法驾车发生的频率为，醉酒驾车占违法驾车的百分数为；.4分 （2）的所有可能取值为：0,1,2,3,45分的分布列为0123410分 （3）至少有一人发生交通事故
8、的概率为13分19. 解：连结AC、BD交于点O，连结OP。四边形ABCD是正方形，ACBDPA=PC，OPAC，同理OPBD，以O为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系 2分 4分 9分13分20. 解：（ 1）如图：以抛物线的顶点为原点,中垂线为轴建立直角坐标系-1分则设抛物线的方程为，将点代入得 -3分所以抛物线弧AB方程为（） -4分（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于 则过的切线的斜率为 所以切线的方程为：，即 令，得， 令，得，所以梯形面积 -10分当仅当，即时，成立此时下底边长为 12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少 -13分解法二：设等腰梯形上底（较短的
9、边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为， 联立，得， 令，得，或（舍）， 故此腰所在直线方程为， 令，得，故等腰梯形的面积： -10分当且仅当，即时，有 此时，下底边长 -12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少 -13分21.解: （）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；4分（），椭圆在的作用下的新曲线的方程为7分（2）解： （）当时，的普通方程为，的普通方程为.联立方程组，高三强化训练（二）数学（文）试题一.选择题（每小题5分，共60分）1.复数满足，则复数的实部与虚部之差为 （ ）A.0 B.1 C.3 D.32. 观察下列各式：51=5,52=25,53=
10、125,54=625,=3125，=15625，=78125，则的末四位数字为 （ ）A3125 B5625 C0625 D81253.数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若平面上的三个不共线的向量满足且A、B、C三点共线，则S2012=（ ）A1006B1010C2006D20104.不等式且对任意都成立，则的取值范围为 （ ）A B C D 5.已知向量，若，则等于（ ）A. B. C. D. 6. 在区间上任取两个实数，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是 （ ）A. B. C. D.7. 等比数列中，=4，函数，则 （ ）A B. C. D. 8.下图a是某市参加2012年高考的学
11、生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、Am 如A2表示身高（单位：cm）在150，155内的学生人数。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A9 B8 C7 D69.定义：数列,满足d为常数，我们称为等差比数列，已知在等差比数列中，则的个位数 （ ） A，3 B，4 C，6 D，810. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF轴，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D11. 的图像关于对称，且当时，（其
12、中是的导函数），若，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 12.在直角坐标平面上的点集，那么的面积是 （ ）A B C D二.填空题（每小题5分，共20分）13. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。14.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_cm3。15.已知抛物线上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为 _。16. 已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为， 的导函数为，则有。若函数，则可求得： .三、解答题，本大题共5小题，满分60分. 解答须写出文字说明，证明过程或
13、演算步骤. 17.(本小题满分12分) 设的内角所对的边长分别为，且（1）求的值；（2）求的最大值。PABCDE18. （本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，DABABC90o，PA底面ABCD，PAABAD2，BC1，E为PD的中点(1) 求证：CE平面PAB；(2) 求PA与平面ACE所成角的正弦值；19.（本小题满分12分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支
14、持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上（含20岁）100150300（）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值；（）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有人20岁以下的概率20.（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ex-1-x（1）求y=f(x)
15、在点(1,f(1)处的切线方程；（2）当x时，f(x)恒成立，求的取值范围。请从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。22、（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，是内接于O，直线切O于点，弦，与相交于点（1） 求证：；（2）若，求。23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为 圆心、为半径。（1） 写出直线的参数方程和
16、圆的极坐标方程；（2）试判定直线和圆的位置关系。24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数。（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围。参考答案一.选择题1.A 2.D 3.A 4. B 5. B 6. D 7. C 8 .B 9.C 10. B 11.C 12.C二.填空题13. ，14. ， 15. ，16.-8046 三、解答题17.解析：（1）在中，由正弦定理及可得即，则（2）由得18题图当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.18.解（1）. 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则FEBC，且FEADBC，BCE
17、F是平行四边形，CEBF，而BF平面PAB，CE平面PAB(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EGAP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则GEH为直线EG与平面ACE所成的角现用等体积法来求GH VEAGCSAGCEG，又AE，ACCE，易求得SAEC，VGAEC GHVEAGC，GH在RtEHG中，sinGEH，即PA与平面ACE所成的角正弦值为 19.解：(2)设所选取的人中，有人20岁以下，则，解得.6分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为
18、(A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. 8分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， 10分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为. 12分20. 解：（1）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（2）显然直
19、线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又,又，即 故由、得或21.解（1）在处的切线方程为即 2分 （2）由已知得时，恒成立，设 由先证知当且仅当时等号成立，故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意. 由可得从而当时，故当时，为减函数，又于是当时，即故不符合题意.综上可得的取值范围为 。12分选做题答案：22解:（1）在ABE和ACD中， ABE=ACD 2分又BAE=EDC BD/MN EDC=DCN直线是圆的切线，DCN=CAD BAE=CAD（角、边、角） 5分（2）EBC=BCM BCM=BDCEBC=BDC=BAC BC=CD=4又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB BC=BE=4 8分设AE=，易证 ABEDEC 又 .10分23.解：（1）直线的参数方程是，（为参数）圆的极坐标方程是。 .5分（2）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离。10分24.解：（1）由（2）由（1）知 18
