1、 高考一轮复习热点难点精讲精析：2.3函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。 关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。关于原点对称注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同
2、，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。2、在公共定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 6、可逆性： 是偶函数；奇函数；7、等价
3、性：8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、周期性1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。【热点难点全析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接利用定义判断函数奇偶性的一般步骤，即：（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既
4、不是奇函数又不是偶函数。（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x) f(x)且f(-x)- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。图象法：性质法：一些重要类型的奇偶函数（1） 函数f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数f(x)=ax-a-x为奇函数；（2） 函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/(
5、 ax+1)其中（a0且a1）为奇函数；（3） 函数f(x)=loga()为奇函数（a0且a1）;（4） 函数f(x)= loga()为奇函数（a0且a1）2、例题解析例1讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为R， ，f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：设设当x=0时f(x)=0，也满足f(x)=f(x)；由、知，对xR有f(x) =f(x)， f(x)为奇函数；（3），函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=1) ，即f(x)的图象由两个点 （1，0）与（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，
6、f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）x2a2, 要分a 0与a 0时， ，当a 0时，f(x)为奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数例2f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在5，）上单调递减，试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明解析：任取x1x25，则x1x25因f（x）在5，上单调递减，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2），即f（x）在（，5上单调减函数二、分段函数的奇偶性1、分段函数奇偶性的判定步骤（1） 分析定义域是否关于原点对称；（2） 对x的值进行分段讨论，寻求f(X)与f(-X)在各段上的关系；（3） 综合（2）在定义域内f
7、(X)与f(-X)的关系，从而判断f(X)的奇偶性。注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。2、例题解析例1已知函数。试判断的奇偶性分析：确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关系结论。解答：由题设可知函数的定义域关于原点对称。当时，注：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断例2判断函数的奇偶性解析：显然函数f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对称，当x0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f
8、(x)；当x0时,-x0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，函数f(x)为奇函数；三、抽象函数的奇偶性1、相关链接判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤（1） 利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f(x),f(-x)）;（2） 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；（3） 找出f(X)与f(-X)关系，得出结论。2、例题解析例1已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(
9、-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x)；用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系解答：例2 设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。解析：（1）由，得函数的对称轴为 而，即不是偶函数又 在0，7上只有 从而知函数不是奇函数故函数是非奇非偶函数（2）从而知函数的周期为T=10又 故在0，10和上均有2个根，从而可知函数在0，2000上有400个根，在2000，2005上有2
10、个根，在上有400个根，在上没有根。 函数在上有802个根。注：抽象函数奇偶性的判断，关键是要充分理解题意，灵活选取变量的值。四、函数奇偶性应用1、相关链接应用函数奇偶性可解决的问题及方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.(4)应用奇偶性画
11、图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2、例题解析【例】(1)(2011安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=( )()-3()-1()1()3(2)(2011辽宁高考)若函数为奇函数，则a=( )(3)已知偶函数f(x)在区间0，+)上单调递增，则满足的x的取值范围是( )【方法诠释】(1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解；(2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构建a的方程求解；(3)根据奇偶性得到将原不等式转化为从而求解.【解析】(1)选.由奇函数的定义有f
12、(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3.(2)选.函数f(x)为奇函数,f(x)+f(-x)=0恒成立，即恒成立.可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0,(3)选.f(x)为偶函数，又f(x)在0,+)上单调递增,由得：解得:注：利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想.五、函数的周期性及其应用1、相关链接关于周期函数的常用结论：（1）若对于函数f(x)定义域内的任意
13、一个x都有：，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(x+a)=，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则kT(kZ,k0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；若已知区间m,n(m10时，|lgx|1,因此结合图象及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.例2设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x0,2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x2,4时，求f(x)的解
14、析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).【解析】(1)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,
15、f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.五、函数奇偶性与周期性的综合应用例已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)且在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0，(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论思路分析：(1)判
16、断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，但本题不易出现f(-x)与f(x)，但可先假设该函数是奇函数或偶函数，看能否得出不正确的结论，进而得出结论(即举反例来判断函数的奇偶性).(2)先求函数的周期，然后在它的一个周期内求解，再由其周期性求出定义域内的全部解解析：(1)若y=f(x)为偶函数，则f(-x)=f(2-(x+2)=f(2+(x+2)=f(4+x)=f(x)，f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数，则f(0)=f(-0)=-f(0)，f(0)=0,这与f(x)在闭区间
17、0,7上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)f(x)=f(2+(x-2)=f(2-(x-2)=f(4-x)，f(x)=f(7+(x-7)=f(7-(x-7)=f(14-x)，f(14-x)=f(4-x),即f(10+(4-x)=f(4-x)f(x+10)=f(x),即函数f(x)的周期为10.又f(1)=f(3)=0，f(1)=f(1+10n)=0(nZ)，f(3)=f(3+10n)=0(nZ)，即x=1+10n和x=3+10n(nZ)均是方程f(x)=0的根.由-2 0111+10n2 011及nZ可得n=0，1，2，
18、3， ，201，共403个；由-2 0113+10n2 011及nZ可得n=0，1，2，3， ，200，-201，共402个；所以方程f(x)=0在闭区间-2 011,2 011上的根共有805个.【方法提示】(1)如何判断函数不具有某性质判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可；(2)奇偶函数根的个数问题由于奇偶函数的定义域关于原点对称，且f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，所以，除去根为零外，如果有解，则解的个数为偶数个.注:方程f(x)=A(其中A为非零常数)的解的个数，如果函数f(x)为偶函数时解的个数为偶数个，如果函数f(x)为奇函数时解的个数不一定为偶数个六、函数的奇偶性与单调性的综合应用例定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。解析：（1）令，得 令，得 （2）令，由，得又 又 不恒为0 为偶函数（3）由知 又由（2）知 又 在上为增函数 故的取值集合为注：（1）对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“”脱掉，转化为我们会求的不等式；（2）奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性。12
