1、 高三数学答案（第 1 页，共 6 页）20222023 学年度第一学期期末学业水平诊断 20222023 学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 D B B C A C D A 二、选择题二、选择题 9.BC 10.ACD 11.ACD 12.ABD 三、填空题三、填空题 13.1 14.32 15.67 16.12 四、解答题四、解答题 17.解：（1）由正弦定理可得sincos+sinsinsinACACB=，1 分 因为ABC+=，所以sincos+sinsinsin()ACACAC=+，即sincos+sinsinsincoscossinAC
2、ACACAC=+，2 分 整理得：sinsincossinACAC=，因为0C，所以sin0C，所以tan1A=，因为0A，所以4A=.4 分（2）在ABD中，由余弦定理得：2222cosBDABADAB ADA=+，5 分 即2292(22)ABADAB ADAB AD=+，6 分 整理得9(22)2AB AD+，当且仅当ABAD=时，等号成立.所以129(21)sin2444ABDSAB ADAB AD+=，8 分 因为2ADDC=，所以327(21)28ABCABDSS+=，所以ABC面积的最大值为27(21)8+.10 分 18.解：（1）因为12nnna aS+=*()nN，所以()
3、1122nnnaaSn=，两式相减得()()1122nnnnaaaan+=.1 分 高三数学答案（第 2 页，共 6 页）又因为0na，所以()1122nnaan+=，2 分 所以数列21na和2na都是以2为公差的等差数列.因为11a=，所以在12nnna aS+=中，令1n=，得22a=，所以()2112121,nann=+=()22122,nann=+=3 分 所以nan=，4 分 对于数列 nb，因为112nnnbbbb+=，且0nb，所以1*2()nnnbb+=N，6 分 所以数列 nb是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nnb=.7 分（2）因为23=1 22 23 2.2nn
4、Tn+所以()23412=1 22 23 2122nnnTnn+8 分 两式相减得，212222nnnTn+=+9 分 112221 2nnn+=12(1)2nn+=11 分 所以()1122nnTn+=+.12 分 19.解：（1）证明：取BC中点O，连接,OA OD，因为ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以OABC.1 分 因为BCD是等边三角形，所以ODBC.2 分 OAODO=，OA平面AOD，OD 平面AOD，3 分 所以BC 平面AOD.4 分 因为AD 平面AOD，故BCAD.5 分（2）在AOD中，1AO=，3OD=，7AD=，由余弦定理可得，3cos2AOD=，故150
5、AOD=.6 分 如图，以,OA OB 及过O点垂直于平面ABC的方向为,x y z轴 的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，7 分 可得33(,0,)22D，所以33(,1,)22BD=，(0,2,0)CB=，(1,1,0)AB=，zyxODCBA 高三数学答案（第 3 页，共 6 页）设111(,)x y z=n为平面ABD的一个法向量，则 11111033022xyxyz+=+=，令3x=，可得(3,3,5)=n，9 分 设222(,)xyz=m为平面BCD的一个法向量，则 22222033022yxyz=+=，令23x=，可得(3,0,3)=m，11 分 所以30 153 93cos,3
6、13112+=n m，故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为3 9331.12 分 20.解：（1）设该容器的体积为V，则2323Vr lr=+，又1603V=，所以2160233lrr=，2 分 因为6lr，所以02r.4 分 所以建造费用222916029232()34334yrlr mrrr mr=+=+，因此22403(1),02.ymrrr=+5 分（2）由（1）得3222406(1)406(1)(),02.1mymrrrrrm=所以令34001rm=，得3401rm=.7 分 高三数学答案（第 4 页，共 6 页）若34021m，当340(0,)1rm时，0y，()y r为增函数，
7、此时3401rm=为函数()y r的极小值点，也是最小值点.9 分 若34021m，即964m，当(0,2r时，0y，()y r为减函数，此时2r=是()y r的最小值点.11 分 综上所述，当964m时，建造费用最小时340.1rm=12 分 21.解：（1）设(,0)Aa，(,0)B a，11(,)P x y，则2111221110014APBPyyykkxaxaxa=+，1 分 又因为点11(,)P x y在双曲线上，所以2211221xyab=.2 分 于是2222221112144abyxxba=，对任意10 x 恒成立，所以2214ba=，即224ab=.3 分 又因为5c=，22
8、2cab=+，可得24a=，21b=，所以双曲线C的方程为2214xy=.5 分（2）设直线l的方程为：5xty=+，3344(,),(,)M x yN xy，由题意可知2t ，高三数学答案（第 5 页，共 6 页）联立22145xyxty=+，消x可得，22(4)2 510tyty+=，则有3422 54tyyt+=，34214y yt=，6 分 假设存在定点(,0)D m，则3434()()DM DNxm xmy y=+3434(5)(5)tym tymy y=+7 分 223434(1)(5)()(5)ty ym t yym=+2222212 5(5)(5)44tm tmtt+=+222
9、2(4)(48 519)4mtmmt+=8 分 令2248 5194(4)mmm+=，解得7 58m=，10 分 此时224511446464DM DNm=，11 分 所以存在定点7 5(,0)8D，使得DM DN 为定值1164.12 分 22.解：（1）2()e2xf xxaxax=，则()(1)(e2)xfxxa=+，1 分 当0a 时，方程e20 xa=的根为ln(2)xa=.当ln(2)1a ，即12ea 时，当(,1)x 和(ln(2),)xa+时，()0fx，()f x单调递增，当(1,ln(2)xa 时，()0fx，()f x单调递减.2 分 当ln(2)1a ，即102ea，
10、()f x单调递增，当(ln(2),1)xa时，()0fx，()f x单调递减.4 分 当ln(2)1a=，即12ea=时，0y恒成立，函数在R上单调递增，5 分 高三数学答案（第 6 页，共 6 页）综上所述，当102ea时，()f x在(,1)，(ln(2),)a+上单调递增，在(1,ln(2)a上单调递减.6 分（2）存在实数a使得()2fxba对任意x恒成立，即ee2xxbxax+恒成立.令()ee2xxg xxax=+，则min()bg x.7 分 因 为()(2)e2xg xxa=+，当2x时，()0g x 时，()(3)e0 xgxx=+，函数()g x在(2,)+上单调递增，且
11、(2)20ga=，所以，存在0(2,2)xa，使得0()0g x=，且()g x在0(2,)x上单调递减，在0(,)x+上单调递增，所以0min000()()(1)e2xg xg xxax=+.9 分 于是，原命题可转化为存在a使得000(1)e2xbxax+在(2,)+上成立，又因为000()(2)e20 xg xxa=+=，所以002(2)exax=+.所以存在0(2,)x +，使得0002200000(1)e(2)ee(1)xxxbxxxxx+=+成立.10 分 令2()e(1)xh xxx=+，(2,)x+，则2()e(3)xh xxx=，所以当(2,0)x 时，()0h x，()h x单调递增，当(0,)x+时，()0h x，()h x单调递减，所以max()(0)1h xh=，所以1b.12 分
