1、1 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 空间向量 1.(2014全国 2理 T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM 与AN所成角的余弦值为( ) A. 1 10 B. 2 5 C.30 10 D.2 2 2.(2013北京文T8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同 取值有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 3.(2012陕西理 T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直
2、线AB1 夹角的余弦值为( ) A.5 5 B.5 3 C.25 5 D.3 5 4.(2010大纲全国文 T6)直三棱柱 ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1与 AC1所成的 角等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90 5.(2019天津理 T17)如图,AE平面 ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF平面 ADE; (2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值; (3)若二面角 E-BD-F 的余弦值为1 3,求线段 CF 的长. 2 6.(2019 浙 江 T 19) 如 图 ,
3、 已 知 三 棱 柱ABC-A1B1C1, 平 面A1ACC1 平 面ABC, ABC=90, BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 7.(2019全国 1理 T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别 是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN平面C1DE; (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 8.(2019全国 2理 T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,B
4、EEC1. (1)证明:BE平面EB1C1; (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值. 9.(2019 全国 3 理 T19)图 1 是由矩形 ADEB,RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中 AB=1,BE=BF=2, 3 FBC=60.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合,连接 DG,如图 2. (1)证明:图 2 中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC平面 BCGE; (2)求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小. 10.(2018浙江T 8)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段 AB 上的点(不含端点
5、). 设 SE 与 BC 所成的角为 1,SE 与平面 ABCD 所成的角为 2,二面角 S-AB-C 的平面角为 3,则( ) A.123 B.321 C.132 D.231 11.(2018全国3理T19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M是上异 于C,D的点. (1)证明:平面 AMD平面 BMC; (2)当三棱锥 M-ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值. 12.(2018北京理 T16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中 点,AB=BC= 5,AC
6、=AA1=2. (1)求证:AC平面 BEF; (2)求二面角 B-CD-C1的余弦值; (3)证明:直线 FG 与平面 BCD 相交. 13.(2018天津理 T17)如图,ADBC 且 AD=2BC,ADCD,EGAD 且 EG=AD,CDFG 且 CD=2FG,DG平面 ABCD,DA=DC=DG=2. 4 (1)若 M 为 CF 的中点,N 为 EG 的中点,求证:MN平面 CDE; (2)求二面角 E-BC-F 的正弦值; (3)若点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60,求线段 DP 的长. 14.(2018全国 1理 T18)如图,四边形 ABC
7、D 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把DFC 折 起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PFBF. (1)证明:平面 PEF平面 ABFD; (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 15.(2018全国 2理 T20)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点. (1)证明:PO平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M-PA-C 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值. 16.(2018 浙 江 T9) 如 图 , 已 知 多 面 体ABCA1B1C1,A1A,B1
8、B,C1C均 垂 直 于 平 面ABC, ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 5 17.(2018上海T17)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,半径为 2. (1)设圆锥的母线长为 4,求圆锥的体积; (2)设 PO=4,OA,OB 是底面半径,且AOB=90,M 为线段 AB 的中点,如图,求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大 小. 18.(2017北京理 T16)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD平面 ABCD,点 M 在线段
9、 PB 上,PD平面 MAC,PA=PD=6,AB=4. (1)求证:M 为 PB 的中点; (2)求二面角 B-PD-A 的大小; (3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值. 19.(2017全国 1理 T18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)证明:平面 PAB平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 20.(2017全国 2理 T19)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD, 6 AB=BC=1 2AD,BAD=ABC=90,E 是 PD
10、 的中点. (1)证明:直线 CE平面 PAB; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45,求二面角 M-AB-D 的余弦值. 21.(2017 全国3 理T19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD. (1)证明:平面 ACD平面 ABC; (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角 D-AE-C 的余弦值. 22.(2017山东理 T17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋 转轴旋转 12
11、0得到的,G 是 的中点. (1)设 P 是 上的一点,且 APBE,求CBP 的大小; (2)当 AB=3,AD=2 时,求二面角 E-AG-C 的大小. 23.(2017天津理 T17)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,BAC=90,点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN平面 BDE; (2)求二面角 C-EM-N 的正弦值; (3)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为7 21 求线段 AH 的长. 7 24.(2016 全国1 理T18)如图,在以A,B
12、,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90, 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60. (1)证明:平面 ABEF平面 EFDC; (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值. 25.(2016全国 2理 T19)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF=5 4 ,EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置,OD=10. (1)证明:DH平面 ABCD; (2)求二面角 B-DA-C 的正弦值. 26.(2016山东理 T17)在如图
13、所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O的直径,FB 是圆台 的一条母线. (1)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点.求证:GH平面 ABC; (2)已知EF=FB=1 2AC=23,AB=BC,求二面角 F-BC-A的余弦值. 8 27.(2016 浙 江 理T17) 如 图 , 在 三 棱 台ABC-DEF中 , 平 面BCFE 平 面ABC, ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF平面 ACFD; (2)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值. 28.(2016全国 3理 T19)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面
14、 ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (1)证明:MN平面 PAB; (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 29.(2015全国 2理 T19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF与平面所成角的正弦值. 9 30.(2015上海理 T19)如图,在长方体ABCD-A1B1
15、C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是棱AB,BC的中点.证明 A1,C1,F,E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小. 31.(2015北京理 T17)如图,在四棱锥 A-EFCB 中,AEF 为等边三角形,平面 AEF平面 EFCB,EF BC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O 为 EF 的中点. (1)求证:AOBE; (2)求二面角 F-AE-B 的余弦值; (3)若 BE平面 AOC,求 a 的值. 32.(2015浙江理 T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为
16、BC的中点,D是B1C1的中点. (1)证明:A1D平面A1BC; (2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值. 10 33.(2015 福建 理T17)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF平面 ADE; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 34.(2015山东理 T17)如图,在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD平面 FGH; (2)若 CF平面 ABC,ABBC,CF=DE,BAC
17、=45,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小. 35.(2015全国 1理 T 18)如图,四边形 ABCD 为菱形,ABC=120,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE平 面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)证明:平面 AEC平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 36.(2015陕西理 T18)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD= 2,AB=BC=1,AD=2,E 是AD的中点,O是 AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图. (1)证明:CD平面A1OC; (2)若平面A1B
18、E平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值. 11 37.(2015湖北理 T19)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 P-ABCD 中,侧棱 PD底面 ABCD,且 PD=CD,过棱 PC 的中点 E,作 EFPB,交 PB 于点 F,连接 DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB平面 DEF,试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑.若是,写出 其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由; (2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 3,求 的值. 38.(2014全国 1理 T
19、19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C. (1)证明:AC=AB1; (2)若ACAB1,CBB1=60,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值. 39.(2014全国 2理 T18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60,AP=1,AD=3,求三棱锥 E-ACD 的体积. 12 40.(2014江西理 T19)如图,四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD平面 ABCD. (1)求证:ABPD; (2
20、)若BPC=90,PB= 2,PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P-ABCD 的体积最大?并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值. 41.(2014湖南理 T19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四边形 ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O底面ABCD; (2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 42.(2014辽宁理 T19)如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F 分别为 AC,DC 的中点. (1)求证:EFBC
21、; (2)求二面角 E-BF-C 的正弦值. 43.(2014天津理 T17)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明:BEDC; (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; 13 44.(2014安徽理 T20)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形,ADBC,且 AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为,BB1与的交点为Q. (1)证明:Q为BB1的中点; (2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比; (3)若AA1=4,C
22、D=2,梯形ABCD的面积为 6,求平面与底面ABCD所成二面角的大小. 45.(2014四川理 T18)三棱锥 A-BCD 及其侧视图、俯视图如图所示.设 M,N 分别为线段 AD,AB 的中点,P 为线段 BC 上的点,且 MNNP. (1)证明:P 是线段 BC 的中点; (2)求二面角 A-NP-M 的余弦值. 46.(2014山东理 T17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,DAB=60,AB=2CD=2,M 是线段AB的中点. (1)求证:C1M平面A1ADD1; (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角
23、(锐角)的余弦值. 14 47.(2014湖北理T19)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中 点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(00),则 F(1,2,h). 依题意, =(1,0,0)是平面ADE的法向量, 又 =(0,2,h),可得 =0,又因为直线BF平面ADE,所以BF平面ADE. (2)解依题意, =(-1,1,0), =(-1,0,2), =(-1,-2,2). 设 n=(x,y,z)为平面BDE的法向量, 21 则 = 0, = 0, 即- + = 0, - + 2 = 0,不妨令
24、z=1, 可得 n=(2,2,1). 因此有 cos= | |=- 4 9. 所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为4 9. (3)解设 m=(x,y,z)为平面BDF的法向量, 则 = 0, = 0, 即- + = 0, 2 + = 0, 不妨令y=1,可得 m=1,1,-2 . 由题意,有|cos|=| | = |4-2 | 32+ 4 2 = 1 3, 解得h=8 7,经检验,符合题意. 所以,线段CF的长为8 7. 6.(2019 浙 江 T 19) 如 图 , 已 知 三 棱 柱ABC-A1B1C1, 平 面A1ACC1 平 面ABC, ABC=90, BAC=30,A1A=A1
25、C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 【解析】方法一: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点, 所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC,则A1EBC. 又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F. 所以BC平面A1EF.因此EFBC. 22 (2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1 为矩形. 由(1)得BC平面EGFA1,则
26、平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角). 不妨设AC=4,则在 RtA1EG中,A1E=23,EG= 3 . 由于O为A1G的中点,故EO=OG=1 2 = 15 2 , 所以 cosEOG= 2+2-2 2 = 3 5. 因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是3 5. 方法二: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC. 如图,以点
27、E为原点,分别以射线EC,EA1 为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz. 不妨设AC=4,则A1(0,0,2 3), B(3,1,0),B1( 3,3,23), F 3 2 , 3 2,2 3 , C(0,2,0). 因此, = 3 2 , 3 2,23 , =(-3,1,0). 由 =0 得EFBC. 23 (2)设直线EF与平面A1BC所成角为. 由(1)可得 =(-3,1,0),1 =(0.2,-23). 设平面A1BC的法向量为 n=(x,y,z). 由 = 0, 1 = 0, 得-3 + = 0, -3 = 0. 取 n=(1,3,1), 故 sin =|cos|= |
28、| | | = 4 5. 因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为3 5. 7.(2019全国 1理 T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别 是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN平面C1DE; (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 【解析】(1)连接B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以MEB1C,且ME= B1C. 又因为N为A1D的中点,所以ND= A1D. 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D, 故MEND, 因此四边形MNDE为平行四边形,MNED. 又MN平面EDC1,
29、所以MN平面C1DE. (2)由已知可得 DEDA. 以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),1 =(0,0,-4),1 =(-1,3,-2),1 =(-1,0,-2), =(0,- 24 3,0). 设 m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量, 则1 = 0, 1 = 0. 所以- + 3-2 = 0, -4 = 0. 可取 m=(3,1,0). 设 n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量, 则 = 0, 1 = 0. 所以-3 = 0, -2 = 0.可取 n
30、=(2,0,-1). 于是 cos= | = 23 25 = 15 5 , 所以二面角A-MA1-N的正弦值为10 5 . 8.(2019全国 2理 T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1. (1)证明:BE平面EB1C1; (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值. 【解析】(1)证明由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1. (2)解由(1)知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E,所以AEB=45, 故AE=AB,AA1=2AB. 以D
31、为坐标原点, 的方向为x轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 25 则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1), =(1,0,0), =(1,-1,1),1 =(0,0,2). 设平面EBC的法向量为 n=(x,y,z),则 = 0, = 0, 即 = 0, - + = 0, 所以可取 n=(0,-1,-1). 设平面ECC1的法向量为 m=(x,y,z),则 1 = 0, = 0, 即2 = 0, - + = 0, 所以可取 m=(1,1,0). 于是 cos= |=- 1 2. 所以,二面角B-EC-C1的正弦值为3 2 . 9
32、.(2019 全国 3 理 T19)图 1 是由矩形 ADEB,RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中 AB=1,BE=BF=2, FBC=60.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合,连接 DG,如图 2. (1)证明:图 2 中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC平面 BCGE; (2)求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小. 【解析】(1)证明由已知得 ADBE,CGBE,所以 ADCG, 故 AD,CG 确定一个平面,从而 A,C,G,D 四点共面. 由已知得 ABBE,ABBC,故 AB平面 BCGE. 又因为 AB平面 ABC, 所以平面 A
33、BC平面 BCGE. (2)解作 EHBC,垂足为 H. 因为 EH平面 BCGE,平面 BCGE平面 ABC,所以 EH平面 ABC. 由已知,菱形 BCGE 的边长为 2,EBC=60,可求得 BH=1,EH=3. 以 H 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz, 26 则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3), =(1,0,3), =(2,-1,0). 设平面ACGD的法向量为 n=(x,y,z), 则 = 0, = 0, 即 + 3 = 0, 2- = 0. 所以可取 n=(3,6,-3). 又平面BCGE的法向量可取为 m=(
34、0,1,0), 所以 cos= | = 3 2 . 因此二面角 B-CG-A 的大小为 30. 10.(2018浙江T 8)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段 AB 上的点(不含端点). 设 SE 与 BC 所成的角为 1,SE 与平面 ABCD 所成的角为 2,二面角 S-AB-C 的平面角为 3,则( ) A.123 B.321 C.132 D.231 【答案】D 【解析】当点 E 不是线段 AB 的中点时,如图,点 G 是 AB 的中点,SH底面 ABCD,过点 H 作 HFAB,过点 E 作 EFBC,连接 SG,GH,EH,SF. 可知1=SEF,2=
35、SEH,3=SGH. 由题意可知EFSF,故 tan 1= = =tan 3. 13. 又 tan 3= =tan 2, 32.132. 当点 E 是线段 AB 的中点时, 即点 E 与点 G 重合,此时1=3=2. 综上可知,132. 11.(2018全国3理T19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M是上异 于C,D的点. 27 (1)证明:平面 AMD平面 BMC; (2)当三棱锥 M-ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值. 【解析】(1)由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所
36、以 BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC. 而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC. (2)以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz. 当三棱锥 M-ABC 体积最大时,M 为 的中点.由题设得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), =(-2,1,1), =(0,2,0), =(2,0,0). 设 n=(x,y,z)是平面 MAB 的法向量, 则 = 0, = 0. 即-2 + +
37、 = 0, 2 = 0. 可取 n=(1,0,2), 是平面MCD的法向量,因此 cos= | | = 5 5 ,sin=25 5 . 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是25 5 . 12.(2018北京理 T16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中 点,AB=BC= 5,AC=AA1=2. (1)求证:AC平面 BEF; (2)求二面角 B-CD-C1的余弦值; (3)证明:直线 FG 与平面 BCD 相交. 28 【解析】(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中, CC1平面ABC,四边形A1ACC1为矩形
38、. 又E,F分别为AC,A1C1的中点,ACEF. AB=BC,ACBE,AC平面BEF. (2)解由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1. CC1平面ABC,EF平面ABC. BE平面ABC,EFBE. 建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz. 由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1). =(2,0,1), =(1,2,0). 设平面BCD的法向量为 n=(a,b,c), 则 = 0, = 0, 2 + = 0, + 2 = 0, 令a=2,则b=-1,c=-4, 平面BCD的法向量 n=(2,-1,-4), 又平面CDC1的法向量
39、为 =(0,2,0), cos= | |=- 21 21 . 由图可得二面角B-CD-C1为钝角,二面角B-CD-C1的余弦值为-21 21 . (3)证明平面 BCD 的法向量为 n=(2,-1,-4), G(0,2,1),F(0,0,2), =(0,-2,1), 29 n =-2,n 与 不垂直, FG 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内, FG 与平面 BCD 相交. 13.(2018天津理 T17)如图,ADBC 且 AD=2BC,ADCD,EGAD 且 EG=AD,CDFG 且 CD=2FG,DG平面 ABCD,DA=DC=DG=2. (1)若 M 为 CF 的中点,N 为
40、 EG 的中点,求证:MN平面 CDE; (2)求二面角 E-BC-F 的正弦值; (3)若点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60,求线段 DP 的长. 【解析】依题意,可以建立以D为原点,分别以 , , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐 标 系 ( 如 图 ), 可 得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0, 3 2 ,1 ,N(1,0,2). (1)证明:依题意 =(0,2,0), =(2,0,2). 设 n0=(x,y,z)为平面 CDE 的法向量,
41、 则0 = 0, 0 = 0, 即2 = 0, 2 + 2 = 0, 不妨令z=-1,可得 n0=(1,0,-1).又 = (1,-3 2,1),可得 n0=0. (2)依题意,可得 =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2).设 n=(x,y,z)为平面 BCE的法向量,则 = 0, = 0, 即- = 0, -2 + 2 = 0,不妨令 z=1,可得 n=(0,1,1).设 m=(x,y,z)为平面BCF的法向量, 则 = 0, = 0, 即- = 0, - + 2 = 0, 30 不妨令z=1,可得 m=(0,2,1). 因此有 cos= | = 310 10 ,于是
42、 sin=10 10 .所以,二面角E-BC-F的正弦值为10 10 . (3)设线段DP的长为h(h0,2),则点P的坐标为(0,0,h),可得 =(-1,-2,h).易知, =(0,2,0)为平面 ADGE的一个法向量,故|cos|=| | | | | = 2 2+5.由题意,可得 2 2+5=sin 60= 3 2 ,解得h=3 3 0,2. 所以,线段DP的长为3 3 . 14.(2018全国 1理 T18)如图,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把DFC 折 起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PFBF. (1)证明:平面 PEF平面
43、ABFD; (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 【解析】(1)由已知可得,BFPF,BFEF, 所以 BF平面 PEF. 又 BF平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD. (2)作 PHEF,垂足为 H. 由(1)得,PH平面 ABFD. 以H为坐标原点, 的方向为y轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz. 由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE= 3 .又PF=1,EF=2,故 PEPF. 可得PH=3 2 ,EH=3 2. 则H(0,0,0),P(0,0, 3 2 ),D(-1,- 3 2,0), = (1,3 2, 3 2 ), = (0,0,3 2 )为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为, 31 则 sin =|
