1、向量与三角形的五心5,().3MABCABA ABBCACB AMMBBCC AMBMCMD AMAC 、若是的重心 则下列各向量中与共线的是:0,.AMBMCMABDC 解应排除、选C:3,3,AMDADAMABCDAMABAC 解 延长到点 使则为平行四边形6,().3MABCABA ABBCACB AMMBBCC AMBMMCD AMCA 、若是的重心 则下列各向量中与共线的是DABCMD3.ABAMCA 2226,()()|()0,.|OABCOA ABOA ACOB BAOB BCABACBABCOC CAOC CBOABCCACB 、已知点 在平面内则点 是的心222:()|()(
2、)0,|OA ABOA ACABACOB BAOB BCOC CAOC CBBABCCACB 解 由已知得:0,|OA AB OA ACOB BA OB BCOC CA OC CBABACBABCCACB 即2226,()()|()0,.|OABCOA ABOA ACOB BAOB BCABACBABCOC CAOC CBOABCCACB 、已知点 在平面内则点 是的心BEFCAO(1)0,()0,|OA ABOA ACABACOAABACABAC 法 由得:,.OABCOABC同理 点 同时在的三个内角平分线上 即点 是的内心,OAEFOA 即垂直于菱形的对角线在的平分线上CABDEO(2)
3、0,|OA ABOA ACAO ABAO ACABACABAC 法 由得,AOABACOABACOABC 即在与方向上的投影相等可知 到、的距离相等在的平分线上:,.OABCOABC同理 点 同时在的三个内角平分线上即点 是的内心(3)0,|OA ABOA ACAO ABAO ACABACABAC 法 由得|cos,|cos,|cos,cos,AOABAO ABAOACAO ACABACAO ABAO AC 0,:,.OAOABCOABC而两向量的夹角在的平分线上同理 点 同时在的三个内角平分线上即点 是的内心CABO7,:(1);(2).ABCOMOA OB OCOMMABC 、设的外心为取
4、点使求证点是的垂心此三角形的外心、重心、垂心在一直线上:,|,|.OAa OBb OCcOABCOAOBOCabc 证明 如图 设是的外心即2222(1)(),()()|0,.AMOMOAabcabcBCOCOBcbAM BCbc cbcbcbAMBCAMBCBMAC CMABMABC 即同理点是的垂心ABCOPMG(2),:,11()(),22GAGBCPOPPBCOPOBOCbc 设 为重心 延长交于连接由三角形重心的性质知为的中点,2212()(),3333GABCAGAPOPOAbca 又是的重心ABCOPMG,1222(1).3333,:().AOa AMbcAGAMAOAMAOOG
5、M 又点、三点共线即 三角形的外心、重心、垂心在一条直线上 欧拉线:(1)().OPt OAtOB tRABP 注是三点、共线的充要条件:,1,.a b ccab 即 有公共起点的三向量、若且则此三向量的终点在同一条直线上228,|,().OABCBA OABCAB OBACOAABBCCABDABC 、已知 是所在平面内一点 且满足则点 在边的高所在直线上 在平分线所在的直线上在边中线所在的直线上是的外心22:|,()()()0,BA OABCAB OBACBA OAOBBCAC BCAC 解()()0,()0.20,.BA OAOBBA BCACBA OAOBBCACBAOCABOC 即A
6、ABCO9,11 .GABCGABACMNAMxAB ANyACxy 、已知点 为的重心 过 作直线与、两边分别交于、两点 且则:(1),211,3.3MNBCxyxy解法 取平行于直线得ABCGMN9,11 .GABCGABACMNAMxAB ANyACxy 、已知点 为的重心 过 作直线与、两边分别交于、两点 且则ABCGMN(2),11,AMxAB ANyACABAM ACANxy 法111,(),333GAGABACAMANxy 设 为三角形的重心1111,1,3.33MGNxyxy又、共线即ABCGMN1(3)(),31()311(),33GAGABACMGAGAMABACxABx
7、ABAC 法 设 为三角形的重心故111()(),333GNyACAGyACABACyACAB ,1111()(),3333MGGNMGGNx ABACyACAB 与共线1111333330,1111()3333113.xxxyxyyyxyxy 两边同时除以得10,|4,|2,().2 .4 .6 .8OABCACABAO BCABCD 、已知点 为的外心 且则等于:,OODBCDDBC解 过 作于则 为中点CCBAOD22()11()()()6.22AO BCADDOBCAD BCABACACABACAB 11,0.OABCA B Ca b cOABCaOAbOBcOC 、设 为所在平面内一
8、点所对的边长分别为则 为内心的充要条件是DABCaEFcbO0,aOAbOBcOCOBOAAB OCOAAC 证明:充分性:若()0,1()abc OAbABcACAObABcACabc|bcABACabcABAC ,|,.|ABACABACABACABACAPAPBACABAC 与分别为和方向上的单位向量设则平分,.AOAPAOBAC 又与共线平分MDABCaEFcbO:,.BOABC COACBOABC同理可证平分平分从而 是的内心,OABCAO BO COD E FBDc BFaDCb FAb必要性 若 为的内心延长交对边于则/,BBMOCADMMOBFa BMBDcOAFAb OCDC
9、b过 作交的延长线于点则,.acMOOA BMOCbb ,0,OBMOBBMMO 在中0,0.caOBOCOAaOAbOBcOCbb xyoFABC2124,0,|().9 .6 .4 .3FyxA B CFAFBFCFAFBFCABCD 、设 为抛物线的焦点为该抛物线上三点 若则:0,1,3ABCFAFBFCFABCxxx 解是的重心D|1116.ABCFAFBFCxxx B11223313,(,)(,)(,),(1);(2);(3).ABCA x yB xyC xyGIO、在中已知、求重心求内心求外心xyoCABGOID2323(1):,(,),222,2.xxyyDBCDAGAGGDGD
10、解是的中点点的坐标为23112322,123Gxxxxxxx 由定比分点的坐标公式可得 的坐标为123123123,(,).333yyyxxxyyyyG同理即点 的坐标为xyoCABGD112233,(,)(,)(,),(1);ABCA x yB xyC xyG在中已知、求重心ICBA:,(),AIBCDBDcADBACDCbcBDDCb 证明 连交于平分长度之比(2),:.IABCOabcABCaOAbOBcOCOIabc 已知 是的内心是该平面内任一点 设、分别是、的对边求证OD,1cOBOCbOBcOCbODcbcb 由定比分点向量公式知:,caBIABCBDbc同理平分且(),1.bc
11、OAODaOAbc ODaOIbcabcaaOAbOBcOCOIabc 由向量公式将式代入得ICBAOD,.AIBAcbccaIDBDabcbcAIIDa故14,1:().3GABCPPGPAPBPC 、已知 为的重心为平面上任一点求证LKMCBAG:3()()()()()0,1(3AGGBGCPGPGPGPGPAAGPBBGPCCGPAPBPCAGBGCGPAPBPCPGPAPB 证明 由力学知识可知).PC:.,1,(),.3GABCPPGPAPBPCGABC 注 此命题的逆命题成立即若 为内一点 若对平面上任一点均有则 为的重心22222215,|,().OABCOABCOBCAOCAB
12、OABCABCD 、已知 为所在平面内一点 满足则点 是的外心 内心 垂心 重心ABCO2222:(1)|,()()()(),OAOBCABCOAOBOAOBACBCACBC 解法 由已知得()0,(2)0,0,.BA OAOBACBCBAOCBA OCOCAB 即,.OABC OBACOABC同理是的垂心22222215,|,().OABCOABCOBCAOCABOABCABCD 、已知 为所在平面内一点 满足则点 是的外心 内心 垂心 重心DDABCO2222(2)|,OAOBCABC 法 由已知得222222222222,(|)(|)(|)(|),|,OODABDCCDABDOAODOBODCACDBCCDADBDADBD 过 作于过 作于则即(|)(|)(|)(|),|,ADBDADBDADBDADBDADBDADBD .,.DDOABOOABC与是同一点在边的垂线上同理 在另两条边的垂线上是的垂心22222215,|,().OABCOABCOBCAOCABOABCABCD 、已知 为所在平面内一点 满足则点 是的外心 内心 垂心 重心DDABCOCDABCO
