1、.淮北市开渠中学 王 毅.相似三角形中的辅助线相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：.例题：如图，D是ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,一、作平行线一、作平行线.DABCEFn2kk解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，P?yyny.DABCEFn解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pn2kkyy4y?yBE：EF=5：1.则，1AEDEFEPE
2、,2DCBDPFBPPE=EFBP=2PF=4EF，所以所以BE=5EF.DABCEFnn2k解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，ykQ?y2y.DABCEFnn解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Q2kk?y2y5yyBE：EF=5：1.，则2EADAEFDQ,3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563.DABCEF2k解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snnk2k?k.DABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snn?y5yy2kk2k.DABCEFnn2k解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，T2k2k?k?k.DABCEFnn2k解法
3、4：过点E作AC的平行线交BC于点T，T2k2ky?y5y，则DCCTDT21BD=2DC，BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE.练习：如图，D是ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，求AF：CF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,.DABCEF解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pnn2x2x2kk3xAF：CF=2：3.DABCEF解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Qnn2x2x2kkxAF：CF=2：3.DABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snnh2h4hy5y4yAF：CF=2：3.DABCEF解法4：过点E作
4、AC的平行线交BC于点T，Tnnhh4h5y6y4yAF：CF=2：3.作平行线作平行线 例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE 证明：证明：过点C作CG/FD交AB于G小结：小结：本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。B G D A C F E.例2.如图，ABC中，ABAE),求证：求证：AEF ECFE EC CD DB BA AF F.2、已知，在、已知，在ABC中，若中，若AB=BC,B=90,AD为为BC边的中线，过边的中线，过B作作直线直线BPAD于
5、于P交交AC于于E，求证：，求证：AE=2EC;AEB=CED.D DA AB BC CE E.二、作垂线二、作垂线 3.如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：2ACAFADAEABABCFDE.ABCFDENMABMACEACABAEAMAMACAEABADNACFACADAFANANACAFAD)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN2)(ACCMAMACAFADAEAB证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N （1）（2）又 AN=CM 又（1）+（2）.2、中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），
6、MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：CNCMPBPA:./45BAAEPRtPFBRtPFPEPBAP:ECPEPFPEPBPAECPCNM90QNCQCN90QCMQCNCNQMCQPECRtMCNRtCNECCMEPCNCMECEPCNCMPBPA2、证明：、证明：过P作PEAC于E，PFCB于F，则CEPF为矩形 PFEC EC=PF （1）在和中：CPMN于Q 又 即 由（1）（2）得（2）.三、作延长线三、作延长线 例5.如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。分析：分析：因为问题涉及四
7、边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。.解：解：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC：SSPADPBC 19SSPCHPBC12：四边形SSPADAHCD 27四边形SAHCD 21SPAD 6SPBC 54SSHBCPBC1227.例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF.解析：解析：欲证式即 由“三点定形”，BFG 与CFG会相似吗？显然不可能。（因为BF
8、G为Rt），但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于HFGCFBFFGECFHEDFGAEAFECFHEDFG则 又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFBBFFHFGCF FGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF.四、作中线 例7 如图，中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。.DCBDBCDBCC1MACDBCBCACDCMC21221BCDCBCMCACAECRtBACRtBCBCCEAC2421ACAC 32AC解：解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=
9、DC 又 DC=1 MC=BC （1）又 又 EC=1 由（1）（2）得，（2）MACDBC小结：小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键.如图，中，那么吗？试说明ABCABACBD ACBCCA CD223、理由？（用三种解法）.方法一：方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。ABACBECEAE BCAECBDCCCBDCAEC 90BCACCDCEBC CEAC CDCEBCBCCA CD1222.方法二：方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC 在BED与BCD中，BD CEBDEBDCDEDCBDBDBEDBCDBECCABACABCC 90ABCBCEACBCBCECBCAC ECAC CD22.方法三：方法三：如图（3），过B作BEBC于B，交CA的延长线于E。ABACCABCCEABCABEEABEABAEABACAEAC 9090易得Rt CBDRt CEBBCCD CECECABCCA CD2222.
