1、 理科数学试题 （第 1 页，共 8 页） 理科数学试题 （第 2 页，共 8 页） 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前 2020 数学（理科）试卷 本本试题卷试题卷共共 8 页，页，23 题（含选考题） 。全卷满分题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时分。考试用时 120 分钟。分钟。 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3
2、、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1已知集合 A 2 20x xx，B1381 x x，C2 ,x xn nN，则（AB）C A0,2,4 B2,4 C0,2 D 2 2要完成下列三项调查：某商
3、城从 10 台同款平板电脑中抽取 4 台作为商城促销的奖品；某酒厂 从某白酒生产线上抽取 40 瓶进行塑化剂检测；某市从老、中、青三代市民中抽取 100 人调查他 们网络购物的情况适合采用的抽样方法依次为 A用简单随机抽样；均用系统抽样 B用抽签法；均用系统抽样 C用抽签法；用分层抽样；用系统抽样 D用随机数表法；用系统抽样；用分层抽样 3已知 i 是虚数单位，复数 12 2i,2izz，给出下列命题： 2 1121 :pzzz； 1 2 2 : z p z 的虚部 为 4 5 i； 1 3 2 : z p z 在复平面内对应的点位于第四象限； 1 4 2 3 : 5 z p z 是纯虚数其中
4、是假命题的为 Ap2，p4 Bp1，p2，p3 Cp3，p4 Dp2，p3 4皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王” ，对数学界做出了重大贡 献，其中在 1636 年发现了：若 p 是质数，且 a，p 互质，那么 a 的（p1）次方除以 p 的余数恒 等于 1，后来人们称该定理为费马小定理依此定理若在数集2，3，4，5，6中任取两个数，其 中一个作为 p，另一个作为 a，则所取两个数不符合费马小定理的概率为 A 11 20 B 3 5 C 9 20 D 2 5 5已知某几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，其俯视图水平放置的直观图如图 2 中粗线部分所示， 其中四边形 A
5、BCD为平行四边形，BC2AB4OA4，则该几何体的体积为 正视图 俯视图 图 1 图 2 A168 B8 16 C16 16 D8 8 6 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题， “衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减 的比例（百分比）为“衰分比” 。如：已知 A，B，C 三人分配奖金的衰分比为 20%，若 A 分得奖 金 1000 元，则 B，C 所分得奖金分别为 800 元、640 元。某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁 攻关成功，共获得单位奖励 68780 元，若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金，且甲与丙 共获得奖金 36200 元，则衰分比与丁所获得的奖金分别为 A20%
6、，14580 元 B10%，14580 元 C20%，10800 元 D10%，10800 元 7在二项式 8 b ax x 的展开式中，所有项的系数之和记为 S，第 r 项的系数记为 Pr，若 8 9 3 S P ， 则 a b 的值为 A2 或4 B2 C2 或2 D4 8已知 cos0, 2 f xxx R两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于 2 ， 当 2 3 x 时，函数 f x取得最小值，将 f x的图象向左平移 m 个单位得到一个奇函数，则 m 的最小正值是 A 12 B 2 C 3 D 5 12 9设函数 yf x和yfx，若两函数在区间m，n上的单调性相同，则把区间m，n 叫
7、做 yf x的“稳定区间” 已知区间1，2019为函数 1 2 x ya 的“稳定区间” ，则实 数 a 的取值范围是 A 2，1 B 1 ,2 2 C 1 2, 2 D 1，2 理科数学试题 （第 3 页，共 8 页） 理科数学试题 （第 4 页，共 8 页） 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 10已知双曲线 2 2 2 1 x y a （a0）的离心率为 2 3 3 ，抛物线 2 2ypx（p0）的焦点与双曲线的 右焦点 F 重合，其准线与双曲线交于点 M，N（yM0） ，MF2FQ，点 R 在 x 轴上若 RNRQ最大，则点 R 的坐标为 A （6，0） B （8，0
8、） C （9，0） D （10，0） 11若 0x1，则 2 2 ln3 111 , 3 x x xx e e 的大小关系是 A 2 2 1ln3 11 3 x x xx e e B 2 2 11ln3 1 3 x x xx e e C 2 2 ln3 111 3 x x xx e e D 2 2 ln3 111 3 x x xx e e 12如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，E，F 分别是棱 AA1，CC1的中点，过点 E，F 的平 面分别与棱 BB1， DD1交于点 G， H， 设 BGx， x 0， a 。 给出以下四个命题： 平面 EGFH 与平面 ABCD 所成角的
9、最大值为 45 ； 四边形 EGFH 的面积的最小值为 a2； 四棱锥 C1EGFH 的体积为 3 6 a ； 点 B1到平面 EGFH 的距离的最大值为 6 3 a 其中命题正确的序号为 A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 a（1，2） ，b（k，1） ，且 2ab 与向量 a 的夹角为 90，则向量 a 在向量 b 方向上 的投影为 14设 222 :p xyr（x，yR，r0） ； 1 :40 0 x qxy xy （x，yR） ，若 p 是 q 的必要不充分条 件，则 r 的取值范围为 15正整数数列 n a满足 1 1 , 2
10、 31, nn n nn a a a aa 是偶数 是奇数 ，已知 a64， n a的前 6 项和的最大值为 S， 把 a1的所有可能取值从小到大排成一个新数列 n b， n b所有项和为 T， 则 ST 16母线长为 23，底面半径为3的圆锥内有一球 O，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小 球，小球与圆锥底面、侧面、球 O 都相切，这样的小球最多可放入 个 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，a3 1 16 ，a1a2 1 8 ，数列 n b满足 b13，且 1 bn1与 1bn的等
11、差中项是 an （）求数列 n b的通项公式； （）若 cn（1）nbn， n c的前 n 项和为 Sn，求 S2n 18 （本小题满分 12 分） 以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实 现周年规模化生产某鲜花批发店每天早晨以每支 2 元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰， 经过保鲜加工后全部装箱 （每箱 500 支， 平均每支玫瑰的保鲜加工成本为 1 元） ， 然后以每箱 2000 元的价格整箱出售由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午 3 点以前所购进的 玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱 1200 元的价格降价处理根据经验，降
12、价后能够把剩 余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工 6 箱 （）若某天该鲜花批发店购入并加工了 6 箱该种玫瑰，在下午 3 点以前售出 4 箱，且被 6 位不 同的顾客购买现从这 6 位顾客中随机选取 2 人赠送优惠卡，则恰好一位是以 2000 元价格 购买的顾客，另一位是以 1200 元价格购买的顾客的概率是多少？ （）该鲜花批发店统计了 100 天内该种玫瑰在每天下午 3 点以前的销售量 t（单位：箱 ） ，统计结果如下表所示（视频率为概率） ： t/箱 4 5 6 频数 30 x y 估计接下来的一个月（30 天）内该种玫瑰每天下午 3 点以前的销售量不少
13、于 5 箱的天数 是多少？ 若批发店每天在购进 5 箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本） ，求 x 的取值范围 E A B C D G F A1 H D1 C1 B1 理科数学试题 （第 5 页，共 8 页） 理科数学试题 （第 6 页，共 8 页） 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 19 （本小题满分 12 分） 如图 1 所示，在矩形 ABCD 中，AB22，BC2，M 为 CD 中点，将DAM 沿 AM 折起，使 点 D 到点 P 处，且平面 PAM平面 ABCM，如图 2 所示 （）求证：PBAM； （）在棱 PB 上取点 N，使平面 A
14、MN平面 PAB，求平面 CMN 与 AMN 所成锐二面角的余弦值 图 1 图 2 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab （ab0）的右焦点为 F（1，0） ，A，B，C 是椭圆上任意三点，A、B 关于原点对称且满足 kACkBC 1 2 （）求椭圆 E 的方程； （） 若斜率为 k 的直线与圆： 22 1xy相切， 与椭圆 E 相交于不同的两点 P， Q， 求PQ 4 3 5 时，k 的取值范围 P A M N B C D A B C M 理科数学试题 （第 7 页，共 8 页） 理科数学试题 （第 8 页，共 8 页） 外 装 订 线 请不要在装订线内
15、答题 内 装 订 线 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xxx （）若函数 2 20g xfxaxax a，试研究函数 g x的极值情况； （）记函数 x x F xf x e 在区间（1，2）内的零点为 x0，记 m（x）min , x x f x e ， 若 m（x）n（nR）在区间（1，）内有两个不等实根 x1，x2（x1x2） ，证明：x1 x22x0 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题号涂黑。 22 （本小题满分 10 分） 选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 3cos 2sin x y （为参数） ，将直线 6xy 210 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标缩短到原来的 1 3 倍得到直线 l （）求直线 l的普通方程； （）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l的距离的最小值及此时点 P 的坐标 23 （本小题满分 10 分） 选修 45：不等式选讲 已知函数 215f xxx （）求不等式 7f x 的解集； （）若函数 f x的最小值为 3 2 m，求证：,0,p q， 11m pqpq 恒成立
