1、 - 1 - 黑龙江省绥滨县第一中学 2017-2018 学年高一数学下学期期末考试试题 一、选择题 (每小题 5 分 ,共 12 小题 60 分 ) 1、已知 ，则以 为直径的圆的方程是 ( ) A. B. C. D. 2、直线 过点 ，且与以 ， 为端点的线段 相交，则 的斜率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 4、设 满足 ，则 ( ) A.有最小值 ，最大值 B.有最小值 ，无最大值 C.有最大值 ，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 5、从动点 向圆 作切线，则切线长最小值为 ( ) A.
2、B. C. D. 6、若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为 ，则半径 的 取值范围是 ( ) A. B. C. D. 7、已知实数 满足 ，那么 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 8、如下图所示，正四棱锥 的底面面积为 ，体积为 ， 为侧棱 的中点，则 与 所成的角为 ( ) - 2 - A. B. C. D. 9、直线 经过 两点，那么直线 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 10、下列函数中， 的最小值为 的是 ( ) A. B. C. D. 11、已知直线 与曲线 有两个不同交点，则 ( ) A. B. C. D. 12、如图，正方体 的棱长为 1，线段 上
3、有两个动点 ，且，则下列结论中错误的是 ( ) A.AC BE B. 平面 ABCD C.三棱锥 A BEF 的体积为定值 D.异面 直线 AE， BF 所成的角为定值 二、填空题 (每小题 5 分 ,共 4 小题 20 分 ) 13、已知圆 内一点 ，过 点最 短的弦所在的直线方程是 _ 14、已知点 在圆 上运动，则 的最大值与最小值分别为_. - 3 - 15、已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 _ 16、设 ， 为互不重合的两个平面， ， 为互不重合的两条直线，给出下列四个命题： 若 ， ，则 ； 若 ， ， ， ，则 ； 若 ， ， ， ，则 ； 若 ， ， ，则 其中所
4、有正确命题的序号是 _ 三、解答题 (第 17 题 10 分 ,第 18 题 12 分 ,第 19 题 12 分 ,第 20 题 12 分 ,第 21 题 12 分 ,第 22题 12 分 ,共 6 小题 70 分 ) 17、已知圆 ，直线 (1)求证：直线 恒过定点 (2)判断直线 被圆 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时 的值以及最短长度 18、如图，在直三棱柱 中， 是 的中点， 且交 于 ， (1)证明： 平面 ； (2)证明： 平面 19、已知数列 是等差数列，且 ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）令 ，求数列 的前 项和 20、 的角 的对边分别为 ，已知 (
5、1)求角 ； (2)若 ，三角形的面积 ，求 的值 21、如图，圆锥的顶点为 ，底面圆为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧 的中点，为劣弧 的中点，已知 ， ，求三棱锥 的体积，并求异面直线和 所成角的余弦值 - 4 - 22、已知圆 ： .直线 ： ，点 为坐标原点 . （ 1）求过圆 的圆心且与直线 垂直的直线 的方程； （ 2）若直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求实数 的值 . - 5 - 高一下学期期末数学试题答案解析 第 1 题答案 B 第 1 题解析 圆心为 ，半径 ， ，故答案选 B 第 2 题答案 C 第 2 题解析 设 ， ， 的倾斜角分别 ， ， ， 与线段 相交， ，
6、又， ，且 ， ， 或 第 3 题答案 A 第 3 题解析 该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，所以体积为. 第 4 题答案 B 第 4 题解析 根据约束条件画出可行域，如图，当直线 过直线 与 直线的交点 时， 取得最小值 ，因为可行域是个开放性的区域，故目标函数无最大值故选 第 5 题答案 B 第 5 题解析 - 6 - 设切线长为 l， 圆心为 ，半径 ， ， 故选 B 第 6 题答案 A 第 6 题解析 圆心 到直线 的距离 ，由已知得 ，即 第 7 题答案 C 第 7 题解析 由已知方程得它表示圆，且圆心坐标为 ，半径为 ，易知原点在圆内，的几何意义为圆上的 点到原点的距离，则圆上到
7、原点距离最近的点为圆心和原点的连线与圆的交点到原点的距离最近的点，而 圆心和原点的距离为 ，则 的最小值为 第 8 题答案 C 第 8 题解析 , , 记 ， 即： , 连接 ， 由三角形中位线定理， , 为所求的角， 连接 ，等腰三角形 , 为 的中点， , 正方形棱长 ，所以 ， ， ， ， , . 第 9 题答案 D 第 9 题解析 设直线 的倾斜角为 ，因为直线 的斜率 ，所以，因为 ，所以直线 的倾斜角的取值范围是- 7 - 第 10 题答案 C 第 10 题解析 , 可以为负值； ， 当 时，则 不成立，等号不能取到； ，当 时， ，满足题意； ，当 时， 不满足题意 .综上可知，
8、故选 C. 第 11 题答案 A 第 11 题解析 如图，曲线 表示的是半圆 ，平行直线系由经过原点时的位置向右上方平移至 相切 (不包括相切 )时满足题意，当直线与半圆相切时得 ，解得 或 （舍去），故满足题意的 的取值范 围是 . 第 12 题答案 D 第 12 题解析 选项 A，动直线 BE 在下底面 ABCD 内 的射影即为 BD，显然 AC、 BD 垂直；选项 B，直线 EF和直线 B1D1重合，显然直线 B1D1平行于下底面 ABCD；选项 C，显然，若保证 EF 的长度为定值，则 VA BEF，为定值所以答案为 D - 8 - 第 13 题答案 第 13 题解析 将圆的方程整理成
9、标准方程得 ，则圆心 的坐标为 ，所以由圆的几何性质得，当所求直线的斜率为 时，弦最短，故所求直线方程为 ，即 . 第 14 题答案 ， 第 14 题解析 设 ，则 表示点 与点 连线的斜率当该直线与圆相切时， 取得最大值与最小值 由 ，解得 . 第 15 题答案 第 15 题解析 ， ，又， 恒成立 ， 恒成立， 第 16 题答案 第 16 题解析 显然成立； 此两平面可以相交 由面面垂直的性质定理可知其正确； 错，因为直线 可以在平面 内。 第 17 题答案 解： (1)证明略； (2)直线 被圆 截得的弦最短时 的值是 ，最短长度是 第 17 题解析 解： (1)直线 的方程 经整理得由
10、于 的任意性，于是有 ，- 9 - 解此方程组，得 即直线 恒过定点 (2)因为直线 恒经过圆 内一点 ，所以 (用几何画板软件，探究容易发现 )当直线经过圆心 时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线 垂直于 时被截得的弦长最短由， ，可知直线 的斜率为 ，所以当直线 被圆 截得弦最短时，直线 的斜率为 ，于是有 ，解得 此时直线 l 的方程为，即 又所以，最短弦长为 直 线被圆 截得的弦最短时 的值是 ，最短长度是 第 18 题答案 证明见解析 . 第 18 题解析 证明： (1) 三棱柱 中， ，又 平面 ，且平面 ， 平面 (2) 三棱柱 中， ， 中， 又， ， 是等腰三角形 是等腰三
11、角形底边 的中点， 又 ，且 ， 平面 第 19 题答案 （ 1） ；（ 2） 第 19 题解析 （ 1） ，则 ， ， ， 设等差数列 的公差为 ，则 . （ 2） ，令数列 的前 项和为 ， 由 得： ， 即 . 第 20 题答案 （ 1） ； - 10 - （ 2） . 第 20 题解析 （ 1） ， ， ， ， ； （ 2） ， ， ， . 第 21 题答案 ， . 第 21 题解析 解： ， ， ； ， 为劣弧 的中点； ，又 ； ； 便是异面直线 和 所成角； 在 中， ， ， 如图，取 中点 ，连接 ，则 ， ， 在 中， ， 异面直线 与 所成角的余弦值为 . 第 22 题答案 （ 1）
